S11. 迹公式接口（Selberg / Kuznetsov）

谱侧—几何侧的试验核范式、非渐近误差与母映射语法的统一

作者：Auric 日期：2025-10-20

摘要

构建与 S2–S10 完全对齐的迹公式接口化模板：以满足可检条件的偶核 $h$ 及其“几何侧变换“ $\mathcal{K}h$ 为纽带，实现谱侧（离散本征模与连续谱）与几何侧（闭测地长度谱 / Kloosterman 和）的缝合。解析层面严格采用 S4 的有限阶 Euler–Maclaurin（EM），保持“极点 = 主尺度“；方向—增长以 S5 的方向亚纯化与 S10 的支持函数上界统一控制；核选择由 S6 的信息势 $\Lambda$ 与凸对偶给出变分准则；数值上用 S8 的Nyquist–Poisson–EM 三分解提供非渐近误差预算；并与 S7 的显式公式在“素数—零/谱—几何“两端实现窗形一致与误差同源。全文按定义—引理—定理—证明要点—可检清单组织。

0. 记号与前置（与 S2–S10 对齐）

0.1 母映射与方向化（承接 S2/S5）

固定母映射

$$F(\theta ,\rho )=\sum _j{c}_j{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩},$$

沿方向切片 $\rho ={\rho }_{\perp }+s\mathbf{v}$ 的拉普拉斯–Stieltjes 变换在适当竖条内亚纯，其全部极点由主尺度项决定（S5）。一切换序、截断、端点仅以有限阶 EM 执行（S4）。

0.2 双曲曲面与谱分解（Selberg 侧）

令 $\Gamma \subset {\mathrm{PSL}}_2(\mathbb{R})$ 为第一类余有限 Fuchs 群，Γ</span>H 具有限体积（可含抛物端）。拉普拉斯算子 Δ 的谱为

$$\mathrm{spec}(\Delta )=\{\frac{1}{4}+r_j^2{\}}_{j\ge 1}\cup {\mathrm{spec}}_{\mathrm{cts}},r_j\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}\cup i(0,\frac{1}{2}].$$

其中 $r_j\in i(0,\frac{1}{2}]$ 对应小本征值 $0\le {\lambda }_j<\frac{1}{4}$（含常值本征态 $\lambda =0$ 时 $r=i/2$）。

【归一声明（散射归一）】本文约定 $\varphi (s)$ 为去除 $\Gamma /\pi$ 因子的散射行列式（纯算术部分）；相应地，在抛物项中保留 $\frac{{\Gamma }^{\prime }}{\Gamma }$。因此本文的连续谱项号记为“正号 ${\varphi }^{\prime }/\varphi$”，相应的 ${\Gamma }^{\prime }/\Gamma$ 归并入抛物项 $P_{\mathrm{par}}[h]$。

0.3 Hecke–Kloosterman 与 Bessel（Kuznetsov 侧）

在 $\Gamma ={\mathrm{SL}}_2(\mathbb{Z})$（权 $0$）下，设 $\{u_j\}$ 为 Hecke–Maass 本征基（$|u_j{|}_2=1$），谱参数 $\frac{1}{4}+r_j^2$，Hecke 特征值 ${\lambda }_j(n)$ 取标准归一 ${\lambda }_j(1)=1$。Kloosterman 和

$$S(m,n;c)=\sum _{\begin{array}{c}d\mathrm{mod}c\\ \gcd (d,c)=1\end{array}}e\left(\frac{m\bar{d}+nd}{c}\right),e(x):=e^{2\pi ix},\bar{d}d\equiv 1(\mathrm{mod}c).$$

Bessel 记号：第一类 $J_{\nu }$、修正第二类 $K_{\nu }$。

Maass 形式 $u_j$ 的 Fourier–Whittaker 展开系数记作 ${\rho }_j(n)$，满足 $${\rho }_j(n)={\rho }_j(1){\lambda }_j(n),|u_j{|}_2=1,{\lambda }_j(1)=1.$$ 此处 $n\ge 1$。

0.4 核—变换对

设 $h:\mathbb{R}\to \mathbb{C}$ 为偶函数。Selberg 侧取余弦傅里叶变换

$$(\mathcal{C}h)(\ell )=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }h(r)e^{ir\ell }dr=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }h(r)\cos (r\ell )dr,$$

Kuznetsov 侧取 Bessel 双变换（归一固定为）

$$\begin{array}{rl}({\mathcal{B}}^{+}h)(x)& :=\frac{2i}{\pi }{\int }_0^{\infty }\frac{rh(r)}{\cosh (\pi r)}{J}_{2ir}(x)dr,\\ ({\mathcal{B}}^{-}h)(x)& :=\frac{4}{\pi }{\int }_0^{\infty }rh(r)K_{2ir}(x)dr.\end{array}$$

0.5 信息势与增长（承接 S6/S10）

S6 的软最大势 $\Lambda (\rho )=\log {\sum }_j|c_j|e^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}$ 之 Hessian 给出方向方差；S10 的支持函数上界给出沿方向 $\mathbf{v}$ 的 Phragmén–Lindelöf 指标 $\le {\max }_j⟨{\beta }_j,\mathbf{v}⟩$。

0.6 EM 纪律与“极点 = 主尺度“（承接 S4）

所有展开仅用有限阶 EM；端点/伯努利层带来整/全纯修正，不引入新极点。由此在迹公式推导中保留“极点仅来自主尺度项“的解析纪律。

1. 可检试验核

定义 11.1（$\mathcal{K}$-可检核族）

记 $\mathcal{K}\in \{\mathcal{C},{\mathcal{B}}^{+},{\mathcal{B}}^{-}\}$。偶函数 $h$ 属于 ${\mathcal{H}}_{\mathcal{K}}(M,\sigma ,\Omega )$（$M\ge 2$，$\sigma >1$，带宽 $\Omega >0$），若：

• (H1) 条带全纯与衰减：$h$ 在 $|\Im r|<\sigma$ 全纯，且 $|h(r)|\ll (1+|r|{)}^{-2-\epsilon }$（均匀于该条带；$\sigma >1$ 已覆盖如 $r=i/2$ 等纯虚点）；
• (H2) 光滑与可积：$h\in C^M(\mathbb{R})$，且 $h^{(k)}\in L^1(\mathbb{R})$ $(0\le k\le M)$；
• (H3) 几何侧带限/指数衰减：

$$\mathrm{supp}(\mathcal{K}h)\subset [-\Omega ,\Omega ]\text{或}|\mathcal{K}h(x)|\le C{e}^{-\mu |x|}(\mu >0);$$

• (H4) EM 相容：涉及 $h$ 的和—积—积分与移线在固定竖条内可交换；EM 余项在参数上全纯/整。

引理 11.2（变换良定与能量估计）

若 $h\in {\mathcal{H}}_{\mathcal{K}}$，则 $\mathcal{C}h,{\mathcal{B}}^{\pm }h$ 连续，并有

$$|\mathcal{C}h{|}_{L^{\infty }}\ll |h{|}_{L^1},|{\mathcal{B}}^{\pm }h{|}_{L^{\infty }}\ll |h{|}_{W^{1,1}},|h{|}_{W^{1,1}}:=|h{|}_{L^1}+|h^{\prime }{|}_{L^1}.$$

特别地，若 $\mathcal{K}=\mathcal{C}$ 且 $\mathrm{supp}(\mathcal{C}h)\subset [-\Omega ,\Omega ]$，当采样步长 $\Delta \le \pi /\Omega$ 时离散重构无别名误差（Nyquist）。对 $\mathcal{K}={\mathcal{B}}^{\pm }$，不存在精确的 Nyquist 消失律，仅能随 $|{\mathcal{B}}^{\pm }h|$ 的尾界与平滑度给出快速衰减的离散化误差控制。

证明要点：由 (H1)–(H2) 的分部积分与 Paley–Wiener 控制；(H3) 保证几何侧卷积/求和绝对收敛；(H4) 保障移线与 EM 换序的合法性。

2. Selberg 迹公式（接口范式）

采用标准测度归一：体积项为 4πArea(Γ</span>H)​∫rh(r)tanh(πr)dr。

定理 11.3（Selberg 迹公式 · 余有限群通式）

令 $\Gamma$ 为第一类余有限 Fuchs 群，$h\in {\mathcal{H}}_{\mathcal{C}}(M,\sigma ,\Omega )$ 为偶核，记 $g:=\mathcal{C}h$。则

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \sum _{j}h(r_j)+\frac{1}{4\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }h(r)\frac{{\varphi }^{\prime }(1/2+ir)}{\varphi (1/2+ir)}dr\\ & =\underset{\text{单位（体积）项}}{\underbrace{\frac{\mathrm{Area}}{4\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }rh(r)\tanh (\pi r)dr}}+\underset{\text{双曲项}}{\underbrace{\sum _{[\gamma {]}_{\mathrm{hyp}}}\sum _{k\ge 1}\frac{\ell ({\gamma }_0)}{2\sinh \left(\frac{k\ell ({\gamma }_0)}{2}\right)}g\left(k\ell ({\gamma }_0)\right)}}\\ & +\underset{\text{椭圆项}}{\underbrace{E_{\mathrm{ell}}[h]}}+\underset{\text{抛物/散射项}}{\underbrace{P_{\mathrm{par}}[h]}}.\end{array}}$$

其中 $\varphi (s)$ 为散射行列式。椭圆项与抛物项为

$$\begin{array}{rl}{E}_{\mathrm{ell}}[h]& =\sum _{[R]}\sum _{m=1}^{m_R-1}\frac{1}{2m_R\sin (\pi m/m_R)}{\int }_{-\infty }^{\infty }h(r)\frac{\cosh \left((1-\frac{2m}{m_R})\pi r\right)}{\cosh (\pi r)}dr,\\ P_{\mathrm{par}}[h]& =\frac{\kappa }{4\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }h(r)\frac{{\Gamma }^{\prime }}{\Gamma }\left(\frac{1}{2}+ir\right)dr+c_{\kappa }h(0),\end{array}$$

其中 $\kappa$ 为 cusp 数，$c_{\kappa }$ 为固定常数（依归一）。

证明要点：取与 $h$ 的 Harish–Chandra 变换对应的球对称核 $k$，构造算子 Kf(z)=∫Γ</span>H​k(d(z,w))f(w)dμ(w)，两侧展开取迹：谱侧给出 ∑h(rj​)+ 连续谱积分；几何侧按共轭类分解为单位/双曲/椭圆/抛物贡献。换序、移线、端点由 (H4) 与有限阶 EM 保障；竖条增长以 tanh(πr) 与 S10 支持函数上界配平。

3. Kuznetsov（Bruggeman–Kuznetsov）公式（接口范式）

定理 11.4（Kuznetsov 迹公式 · 权 0 · 级别 1）

令 $h\in {\mathcal{H}}_{{\mathcal{B}}^{\pm }}(M,\sigma ,\Omega )$ 为偶核。对任意 $m,n\ge 1$，有

$$\boxed{\begin{array}{rl}& \sum _j|{\rho }_j(1){|}^2{\lambda }_j(m)\overline{{\lambda }_j(n)}h(r_j)+\frac{1}{4\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }\frac{\tau (m,r)\overline{\tau (n,r)}}{|\zeta (1+2ir){|}^2}h(r)dr\\ & ={\delta }_{m=n}{\mathcal{H}}_0[h]+\sum _{c\ge 1}\frac{S(m,n;c)}{c}({\mathcal{B}}^{+}h)\left(\frac{4\pi \sqrt{mn}}{c}\right)\\ & +\sum _{c\ge 1}\frac{S(m,-n;c)}{c}({\mathcal{B}}^{-}h)\left(\frac{4\pi \sqrt{mn}}{c}\right).\end{array}}$$

其中 $\tau (n,r)={\sum }_{ab=n}(a/b{)}^{ir}$ 为 Eisenstein 级联系数；${\mathcal{H}}_0[h]$ 为对角（单位）项的线性泛函（仅由 $h$ 的低频决定）。

（实现提示）在本规范下，${\mathcal{H}}_0[h]$ 可由 Poincaré 系列 $P_m$ 的零频项配平直接计算得到，实现时只需保留 $h$ 的低频矩。

证明要点：对 Poincaré 系列 $P_m$ 施加核 $h$ 的谱加权，一方面作 Hecke–Maass 谱展开得左侧；另一方面作几何展开，经 Poisson summation formula 与 Bessel–Fourier 分解得到右侧的 Kloosterman–Bessel 侧。换序与端点由 (H4) 与有限阶 EM 保证；${\mathcal{B}}^{\pm }$ 的带限/指数窗控制模长 $c$ 的非渐近衰减。

4. 试验核的变分准则（与信息势对齐）

命题 11.5（信息—变分核选择）

给定谱窗与几何窗权函数 $W_{\mathrm{spec}},W_{\mathrm{geom}}\ge 0$。对 $h\in {\mathcal{H}}_{\mathcal{K}}$ 定义泛函 $$\mathcal{J}[h]=\int W_{\mathrm{spec}}(r)|h(r){|}^{2}d{\mu }_{\mathrm{spec}}(r)-\lambda \int W_{\mathrm{geom}}(x)|\mathcal{K}h(x){|}^{2}dx+\tau \int |h^{(M)}(t){|}^{2}dt,$$

其中 $d{\mu }_{\mathrm{spec}}$ 为相应谱测度（Selberg：$r\tanh \pi rdr$；Kuznetsov：$dr$）。则：

1. 当 $\tau >0$ 且 $0<\lambda <{\lambda }_{\ast }$ 时，$\mathcal{J}$ 在 ${\mathcal{H}}_{\mathcal{K}}$ 上严格凸，且唯一极小元为 $h_{\star }\equiv 0$，其中 $${\lambda }_{\ast }^{-1}=\Vert ({\mathcal{L}}_{\mathrm{spec}}+\tau D^{2M}{)}^{-1/2}{\mathcal{K}}^{\ast }{W}_{\mathrm{geom}}\mathcal{K}({\mathcal{L}}_{\mathrm{spec}}+\tau D^{2M}{)}^{-1/2}{\Vert }_{\mathrm{op}}.$$

2. 为获得非零核用于选择/设计，采用约束式 Rayleigh 商 $$\mathcal{R}[h]:=\frac{⟨\mathcal{K}h,W_{\mathrm{geom}}\mathcal{K}h⟩}{⟨h,{\mathcal{L}}_{\mathrm{spec}}h⟩+\tau \Vert D^{M}h{\Vert }_{L^2}^2},h\ne 0,$$ 其极值问题等价于广义特征值问题 $$({\mathcal{L}}_{\mathrm{spec}}+\tau D^{2M})h=\mu {\mathcal{K}}^{\ast }\left(W_{\mathrm{geom}}\cdot \mathcal{K}h\right),$$ 最大本征对 $({\mu }_{\max },h_{\star })$ 给出最优核，且 ${\mu }_{\max }={\sup }_{h\ne 0}\mathcal{R}[h]$；

3. 若以 S6 的信息势 $\Lambda$ 与对偶 ${\Lambda }^{\ast }$ 度量目标窗，则上式等价于在信息预算约束下最大化几何灵敏度的问题；${\nabla }^2\Lambda$ 给出方向方差，S10 的“主导子和区“使 ${\mathcal{L}}_{\mathrm{spec}}$ 分段仿射近似良好。

5. 非渐近误差（Nyquist–Poisson–EM 三分解）

定理 11.6（有限窗/离散化误差预算）

以步长 $\Delta$ 对谱积分/和式离散化，截尾阈值 $T$ 截尾，EM 阶数 $M$ 处理端点。记被积核 $g$ 为 Selberg/Kuznetsov 展开中的窗口化对象，则有两类统一上界：

(i) 余弦/傅里叶对（$\mathcal{K}=\mathcal{C}$）

$$|\text{真值}-\text{近似}|\le \underset{\text{别名（Poisson）}}{\underbrace{\sum _{m\ne 0}|\hat{g}(2\pi m/\Delta )|}}+\underset{\text{伯努利层（有限阶 EM）}}{\underbrace{\sum _{k=1}^{M-1}{C}_k{\Delta }^{2k}\cdot \underset{0\le j\le 2k-1}{\max }\left|g^{(j)}\right|}}+\underset{\text{截断（窗尾）}}{\underbrace{{\int }_{|s|>T}|g(s)|ds}}.$$

其中 $\hat{g}(\xi ):={\int }_{\mathbb{R}}g(s)e^{-is\xi }ds$（此处的傅里叶规范与 §0.4 的 $\mathcal{C}$ 记号无关）。

若 $\mathrm{supp}(\mathcal{C}h)\subset [-\Omega ,\Omega ]$ 且 $\Delta \le \pi /\Omega$，则别名项为零（Nyquist 达成）。

(ii) Bessel 双变换（$\mathcal{K}={\mathcal{B}}^{\pm }$）

$$|\text{真值}-\text{近似}|\le \underset{\text{离散化误差（平滑度控制）}}{\underbrace{C_q{\Delta }^q|h^{(q)}{|}_{L^1}}}+\underset{\text{窗尾截断}}{\underbrace{{\int }_{x>X}|{\mathcal{B}}^{\pm }h(x)|w(x)dx}}+\underset{\text{伯努利层}}{\underbrace{\sum _{k=1}^{M-1}{C}_k{\Delta }^{2k}\cdot \underset{0\le j\le 2k-1}{\max }\left|g^{(j)}\right|}},$$

其中 $q\ge 1$ 可选，权 $w(x)$ 为与所用求和/求积一致的正权（如 $x^{-1/2}$ 或常权）；若 $|{\mathcal{B}}^{\pm }h(x)|\ll e^{-\mu x}$ 或超多项衰减，则“窗尾截断“呈对应速率衰减。此处无精确 Nyquist 消失律，仅给出随平滑度与尾界的快速衰减控制。

证明要点：$\mathcal{C}$ 情形直接援引 Poisson 求和；${\mathcal{B}}^{\pm }$ 情形用 Filon/渐近型求积或分部积分构造离散化误差上界，并以 ${\mathcal{B}}^{\pm }h$ 的尾界控制截断；S4 的有限阶 EM 仅引入整/全纯修正，不改变极点结构。

6. Pretentious—谱交互（与 S9 的接口）

命题 11.7（相干/反相干的窗形效应）

令 Pretentious 距离 $\mathbb{D}$ 衡量 $\{{\lambda }_j(\cdot )\}$ 在素数端的相干度。则：

• 非 Pretentious 区（$\mathbb{D}\gtrsim 1$）：${\sum }_j{\lambda }_j(m)\overline{{\lambda }_j(n)}h(r_j)$ 在窗口上能量平均，几何侧由 ${\mathcal{B}}^{\pm }h$ 的带限/指数窗对 Kloosterman 和带宽抑制；
• Pretentious 区（$\mathbb{D}\ll 1$）：存在 $|t-{\tau }^{\star }|\le \delta$ 的大值窗口（S9 的几乎周期效应），并在几何侧对应若干模长 $c$ 的局部增强，幅度受 ${\mathcal{B}}^{\pm }h$ 的窗形上界与 §5 的误差预算控制。

7. 失效边界与对策

• 核不合格：偶性/衰减/光滑不足导致和式不绝对收敛或换序非法。对策：提升 $M$，改用带限/指数窗。
• EM 误用为无穷级数：无穷伯努利叠加可破坏可和性并伪造奇性。对策：仅用有限阶 EM。
• 方向退化：几何或谱参数等速导致识别退化。对策：改向或多方向层析（S10/S5/S8）。
• 竖条增长失控：未施 $(\Gamma /\pi )$ 正规化配平即移线。对策：先正规化。
• 极端 Pretentious：谱侧近完全相干使 $\mathcal{J}[h]$ 的有效凸性恶化。对策：重设权或增大正则 $\tau$。

8. 统一“可检清单“（最小充分条件）

1. 核：$h\in {\mathcal{H}}_{\mathcal{K}}(M,\sigma ,\Omega )$（偶性、条带全纯、衰减、带限/指数窗）。
2. 换序：和—积—积分互换置于 S4 的有限阶 EM 框架；余项整/全纯，极点仅来自主尺度。
3. 增长：施 $(\Gamma /\pi )$ 正规化与 S10 支持函数上界控制竖条/方向增长。
4. 方向：选 $\mathbf{v}$ 并用 S5 的亚纯化识别极点位置/阶。
5. 误差：按 §5 把误差分解为 —（$\mathcal{K}=\mathcal{C}$）别名 + 伯努利层 + 截断； —（$\mathcal{K}={\mathcal{B}}^{\pm }$）离散化（平滑度） + 伯努利层 + 窗尾截断。
6. 变分：用 §4 的 $\mathcal{J}[h]$ 或 S6 的 $\Lambda$–${\Lambda }^{\ast }$ 对偶挑选核（目标窗、正则、预算）。
7. 双轨对齐：在同一核族上联用 S7 显式公式与本篇迹公式，保证“素数—零/谱—几何“的窗形一致与误差同源。

9. 与既有篇章的接口

• ↔ S2（零集几何）：二项闭合与幅度平衡超平面提供长度谱/Kloosterman 的局部化骨架。
• ↔ S3（自反核/完成函数）：$(\Gamma /\pi )$ 正规化用于竖线配平与镜像；与迹公式核相容。
• ↔ S4（有限阶 EM）：保障推导中换序与端点仅生整/全纯层，维持“极点 = 主尺度“。
• ↔ S5（方向亚纯化）：识别几何/谱变量方向上的极点与增长指标。
• ↔ S6（信息刻度）：$\Lambda$ 与方差律指导核窗宽与灵敏度；Bregman–KL 为核更新的代价函数。
• ↔ S7（$L$-函数接口）：显式公式与迹公式在同一核族互补使用，实现“素数—零/谱—几何“的双通道观测。
• ↔ S8（离散一致逼近）：Nyquist–Poisson–EM 三分解提供非渐近误差常数与实现流程。
• ↔ S9（Pretentious/指数和）：谱相干/反相干与 Pretentious 距离的接口化描述，指导 $(m,n)$ 与扭结策略。
• ↔ S10（Amoeba 几何与增长）：支持函数上界与“主导子和区“的分段仿射性提升核选择的稳定性。

附：归一与等价写法速记

• Selberg 侧 $g=\mathcal{C}h$ 亦可写 $g(\ell )=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }h(r)\cos (r\ell )dr$。
• 常用等价 $J$-窗写法（与 0.4 的 ${\mathcal{B}}^{+}$ 规范对齐说明）

$$\tilde{\mathcal{B}}(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }\frac{rh(r)}{\sinh (\pi r)}\cdot \frac{J_{2ir}(x)-J_{-2ir}(x)}{2i}dr.$$

并可用恒等式 $$\frac{J_{2ir}(x)-J_{-2ir}(x)}{2i\sinh (\pi r)}=i\sinh (\pi r)J_{2ir}(x)+\cosh (\pi r)Y_{2ir}(x),r\in \mathbb{R},$$ 将其改写为 $$\tilde{\mathcal{B}}(x)=\frac{1}{\pi }{\int }_0^{\infty }rh(r)(i\sinh (\pi r)J_{2ir}(x)+\cosh (\pi r)Y_{2ir}(x))dr.$$ （注：此写法需同时包含 $Y_{2ir}$ 项方与 0.4 节的规范一致；保持 0.4 节 ${\mathcal{B}}^{+}$ 的主定义不变最为简洁。）

切勿在实现中将上述 $\tilde{\mathcal{B}}$ 与 §0.4 的 ${\mathcal{B}}^{+}$ 互代；两者需按各自规范选择核窗，参数可换算但表达式不可直接互替。

$K$-窗与 ${\mathcal{B}}^{-}$ 在相应规范下等价。

• Kloosterman 和的记号采用 $\gcd (d,c)=1$，$\bar{d}$ 为 $d$ 的模逆，$e(x)=e^{2\pi ix}$。