S10. Amoeba 几何与增长论

—— Ronkin 凸性、Phragmén–Lindelöf 指标与镜像—几何—信息的一体化

摘要

建立以有限指数和为核心对象的 amoeba–Ronkin–增长 统一框架：在尺度空间的 amoeba 外部，Ronkin 势呈现近似分段仿射，其方向增长由 Newton 支持函数控制；在“平衡骨架“邻域，二项闭合决定弯折与小值分布；在解析层面，与有限阶 Euler–Maclaurin和“极点 = 主尺度“原则无缝拼接，若需实现关于中心轴 $a$ 的镜像配平（取 $r(s)=r(a-s)$ 且两侧垂线同阶指数衰减），则需具备完成功能方程；在无功能方程时仅可借 $\Gamma /\pi$ 因子改善单侧垂线增长，通常无法保证镜像配平；在数值层面，Nyquist–Poisson–EM 的三分解与 Pretentious 小球控制给出非渐近、可计算的误差与阈值。全文给出可检条件与严格证明要点。

0. 记号、对象与前置

• 指数和与参数。设

$$F(\theta ,\rho )=\sum _{j=1}^J{c}_j{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩},\theta \in {\mathbb{T}}^m,\rho \in {\mathbb{R}}^n,$$

其中 ${\alpha }_j\in {\mathbb{R}}^m,{\beta }_j\in {\mathbb{R}}^n,c_j\in \mathbb{C}\setminus \{0\}$，内积取欧氏标准形。记 Newton 多面体

$$\mathrm{New}(F):=\mathrm{conv}\{{\beta }_1,\dots ,{\beta }_J\}\subset {\mathbb{R}}^n,$$

其支持函数

$$H_{\mathrm{New}(F)}(\mathbf{v}):=\underset{1\le j\le J}{\max }⟨{\beta }_j,\mathbf{v}⟩,\mathbf{v}\in {\mathbb{S}}^{n-1}.$$

• Amoeba 与 Ronkin 势。定义 amoeba

$$\mathcal{A}(F):=\{\rho \in {\mathbb{R}}^n:\exists \theta \in {\mathbb{T}}^m,F(\theta ,\rho )=0\},$$

以及 Ronkin 型势

$$ N_F(\rho):=\fint_{\mathbb T^m}\log|F(\theta,\rho)|,d\theta =\frac{1}{(2\pi)^m}\int_{\mathbb T^m}\log|F(\theta,\rho)|,d\theta . $$

零点的对数奇性在紧致环面上可积。为保证 $N_F(\rho )$ 对任意 $\rho$ 有限，作如下对象假设： （i）$m\ge 1$（$\theta$ 环面非空）； （ii）对每个相同 $\alpha$ 的分组先行聚合 ${\sum }_k{c}_k{e}^{⟨{\beta }_k,\rho ⟩}$，并约定不存在某个 $\rho$ 使所有分组系数同时为 0（否则 $F(\cdot ,\rho )\equiv 0$ 导致平均为 $-\infty$）。

• 信息势与软最大。定义

$$\Lambda (\rho ):=\log (\sum _{j=1}^J|c_j|e^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}),p_j(\rho ):=\frac{|c_j|e^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}}{e^{\Lambda (\rho )}}.$$

则 $\Lambda$ 凸，且 $\nabla \Lambda (\rho )={\sum }_j{p}_j(\rho ){\beta }_j,{\nabla }^2\Lambda (\rho )={\mathrm{Cov}}_{\rho }(\beta )⪰0$。

• 幅度平衡骨架。对 $j\ne k$ 定义超平面

$$H_{jk}:=\{\rho \in {\mathbb{R}}^n:⟨{\beta }_j-{\beta }_k,\rho ⟩=\log \frac{|c_k|}{|c_j|}\},$$

并以

$$\delta (\rho ):=\underset{j<k}{\min }|⟨{\beta }_j-{\beta }_k,\rho ⟩-\log \frac{|c_k|}{|c_j|}|$$

度量 $\rho$ 与平衡骨架的距离（以自然标度计）。

以下关于命题 10.2 至定理 10.5 的讨论均取 $J\ge 2$。若 $J=1$，则 $\delta$ 无需定义且相关结论平凡成立。

• 解析换序纪律。一切“求和—积分—微分“互换仅在 S1/S4 的管域内使用有限阶 Euler–Maclaurin（仅有限伯努利层；余项整/全纯），确保亚纯/整函数性与极点结构不受误差层污染。

1. Ronkin 上界、凸性与近分段仿射

定理 10.1（上包与梯度包含）

对一切 $\rho \in {\mathbb{R}}^n$，有

$$N_F(\rho )\le \Lambda (\rho ),\partial N_F(\rho )\subseteq \mathrm{New}(F).$$

此外，$\rho \mapsto N_F(\rho )$ 为凸且局部 Lipschitz。

证明要点。固定 $\rho$，记 $A_j(\theta ,\rho ):=c_j{e}^{i⟨{\alpha }_j,\theta ⟩}{e}^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}$。三角不等式给 $|F(\theta ,\rho )|\le {\sum }_j|A_j|={\sum }_j|c_j|e^{⟨{\beta }_j,\rho ⟩}$，取对数并在 $\theta$ 上平均即得 $N_F\le \Lambda$。先证凸性与局部 Lipschitz：固定方向 $\mathbf{v}$，令 $G_{\theta }(z):=F(\theta ,\rho +z\mathbf{v})$。则 $z\mapsto \log |G_{\theta }(z)|$ 为次调和，其 Riesz 质量（零点计数测度）非负；由一元 Jensen–Poisson 公式知，$t\mapsto N_F(\rho+t\mathbf v)=\fint_{\mathbb T^m}\log|G_\theta(t)|,d\theta$ 的分布二阶导等于上述非负测度在 $\theta$ 上的平均，故为非负测度，遂 $t\mapsto N_F(\rho +t\mathbf{v})$ 凸。沿任意直线皆凸 $\Rightarrow$ $N_F$ 在 $\rho$ 上凸，且由凸函数一般理论得局部 Lipschitz。基于已证凸性（割线斜率单调），对任意单位向量 $\mathbf{u}$，有链式上界 $$D^{+}{N}_F(\rho ;\mathbf{u})\le \underset{r\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{N_F(\rho +r\mathbf{u})-N_F(\rho )}{r}\le \underset{r\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{{\sup }_{\theta }\log |F(\theta ,\rho +r\mathbf{u})|}{r}\le H_{\mathrm{New}(F)}(\mathbf{u}),$$ 其中末步由三角不等式与 ${\sup }_{\theta }\log |F(\theta ,\rho +r\mathbf{u})|\le \log {\sum }_j|c_j|e^{⟨{\beta }_j,\rho +r\mathbf{u}⟩}\le r{H}_{\mathrm{New}(F)}(\mathbf{u})+O(1)$ 得到。由引理 A.1（凸分析：方向导数上界 $\Rightarrow$ 次梯度包含）遂得 $\partial N_F(\rho )\subseteq \mathrm{New}(F)$。关于凸性与局部 Lipschitz：固定方向 $\mathbf{v}$，令 $G_{\theta }(z):=F(\theta ,\rho +z\mathbf{v})$。则 $z\mapsto \log |G_{\theta }(z)|$ 为次调和，其 Riesz 质量（零点计数测度）非负；由一元 Jensen–Poisson 公式知，$t\mapsto N_F(\rho+t\mathbf v)=\fint_{\mathbb T^m}\log|G_\theta(t)|,d\theta$ 的分布二阶导等于上述非负测度在 $\theta$ 上的平均，故为非负测度，遂 $t\mapsto N_F(\rho +t\mathbf{v})$ 凸。沿任意直线皆凸 $\Rightarrow$ $N_F$ 在 $\rho$ 上凸，且由凸函数一般理论得局部 Lipschitz。∎ 从而由引理 A.1（凸分析：方向导数上界 $\Rightarrow$ 次梯度包含）得 $\partial N_F(\rho )\subseteq \mathrm{New}(F)$。∎

命题 10.2（主导子和区：近分段仿射）

若 $\delta (\rho )\ge D>\log (J-1)$，则存在唯一指标 $j_{\star }$ 使

$$|N_F(\rho )-(⟨{\beta }_{j_{\star }},\rho ⟩+\log |c_{j_{\star }}|\left)\right|\le \log \frac{1}{1-(J-1)e^{-D}},$$

其中右端仅依赖于 $(J,D)$，与 $\{{\alpha }_j\}$ 无关。

证明要点。单项幅度占优：写 $F=A_{j_{\star }}(1+R)$ 且 $|R(\theta ,\rho )|\le {\sum }_{j\ne j_{\star }}\frac{|A_j|}{|A_{j_{\star }}|}\le (J-1)e^{-D}$，从而 $|(J-1)e^{-D}|<1$。由可积对数的标准不等式 $$ \fint_{\mathbb T^m}\bigl|\log|1+R|\bigr|,d\theta\ \le\ -\log\bigl(1-(J-1)e^{-D}\bigr) $$ 得到所述绝对误差上界。∎

几何结论。在 ${\mathbb{R}}^n\setminus \mathcal{A}(F)$ 的每个“深“连通分量中，$N_F$ 以指数精度近似某个仿射函数 $⟨{\beta }_{j_{\star }},\rho ⟩+\log |c_{j_{\star }}|$；靠近骨架 $H_{jk}$ 时出现两项主导驱动的弯折，决定 amoeba 边界的局部形状。

2. Phragmén–Lindelöf 指标与支持函数

定义方向增长指标

$$h_F(\mathbf{v}):=\underset{r\to \infty }{\mathrm{limsup}}\frac{1}{r}\underset{\theta \in {\mathbb{T}}^m}{\sup }\log |F(\theta ,{\rho }_0+r\mathbf{v})|,\mathbf{v}\in {\mathbb{S}}^{n-1}.$$

该定义与基点 ${\rho }_0$ 无关。

定理 10.3（PL 上界 = 支持函数上界）

$$h_F(\mathbf{v})\le H_{\mathrm{New}(F)}(\mathbf{v})=\underset{j}{\max }⟨{\beta }_j,\mathbf{v}⟩.$$

证明。$|F|\le {\sum }_j|c_j|e^{⟨{\beta }_j,{\rho }_0+r\mathbf{v}⟩}$，取 $\log$、${\sup }_{\theta }$、归一化并令 $r\to \infty$。∎

定理 10.4（一般方向取等）

若 $⟨{\beta }_{j_{\star }},\mathbf{v}⟩>{\max }_{j\ne j_{\star }}⟨{\beta }_j,\mathbf{v}⟩$，则

$$h_F(\mathbf{v})=⟨{\beta }_{j_{\star }},\mathbf{v}⟩.$$

证明要点。在该方向上，幅度唯一主导；由命题 10.2 的近分段仿射与 ${\sup }_{\theta }$ 的一致性得到下界，与定理 10.3 的上界吻合。∎

解析接口。S5 的方向拉普拉斯–Stieltjes 变换极点位置由主尺度指数率给出；定理 10.3–10.4 因而把几何支持函数与解析极点/增长严格对齐。

3. Ronkin–信息势比较与变分极限

定理 10.5（信息上包与梯度收敛）

对任意 $\rho$，$\Lambda (\rho )-N_F(\rho )\ge 0$。若 ${\rho }_k={\rho }_0+r_k\mathbf{v}$ 且 $r_k\to \infty$，并且方向 $\mathbf{v}$ 满足定理 10.4 的唯一性，则

$$\nabla \Lambda ({\rho }_k)\to {\beta }_{j_{\star }},N_F({\rho }_k)-(⟨{\beta }_{j_{\star }},{\rho }_k⟩+\log |c_{j_{\star }}|)\to 0.$$

证明要点。第一式即定理 10.1。第二式由命题 10.2 与 $\nabla \Lambda ={\sum }_j{p}_j{\beta }_j$ 得来：主导子和区 $p_{j_{\star }}\to 1$ 且其余 $p_j\to 0$。∎

解释。$\Lambda$ 是“信息上包“（软最大），$N_F$ 是“相位平均“的真实势；两者之差度量相位相干引起的减幅：在主导子和区差消失，在平衡骨架邻域差增大。

4. Amoeba 与竖条亚纯—增长的拼接

• 极点 = 主尺度。沿方向切片 $\rho ={\rho }_{\perp }+s\mathbf{v}$，使用有限阶 Euler–Maclaurin 进行离散—连续桥接，伯努利层仅贡献整/全纯项，极点集合不变；极点位置与阶由指数–多项式律确定（主尺度指数率决定位置，阶不超过对应多项式次数加一）。

• 完成函数与垂线增长。若要实现关于中心轴 $a$ 的镜像配平（取 $r(s)=r(a-s)$ 且使两侧垂线同阶指数衰减），则必须具备相应的完成功能方程。反之，在缺少功能方程时，仍可选取适当 $\Gamma /\pi$ 因子改善单侧垂线增长，但一般无法保证镜像对称的“配平“。与定理 10.3 的支持函数上界配合，可在竖条内统一 amoeba 外的增长与中心轴的镜像纪律，并与 $L$-函数显式公式接口一致。

5. 采样、带限与数值可检

• Nyquist–Poisson–EM 三分解。将 $\theta$-平均、截断与端点误差分离，得到 $N_F$ 的非渐近误差常数；在主导子和区，分段仿射性改善反演条件数。

• 谱抽取与方向识别。Prony/矩法可由方向样本恢复 ${\beta }_{j_{\star }}$，并与定理 10.4 的方向指标一致；必要时采用多方向联合以克服平台退化。

6. 边界族与失效机制（带标注）

• R10.1（多重平衡）：$\rho$ 接近多条 $H_{jk}$ 的交线时多项近同幅，近分段仿射失效；需回到二项闭合的局部模型。

• R10.2（无限伯努利层）：将 EM 当作无穷级数使用会破坏亚纯/整函数性，导致“极点 = 主尺度“与增长估计失真。

• R10.3（方向退化）：若存在 $j\ne k$ 使 $⟨{\beta }_j-{\beta }_k,\mathbf{v}⟩\equiv 0$，则 $h_F(\mathbf{v})$ 可能出现平台；应改向或多向联合。

• R10.4（近零复访）：有限窗内若相位高度 Pretentious，则 $|F|$ 小球事件更频繁，$N_F$ 数值估计更敏感；需配合小球概率上界与窗函数稳健化。

• R10.5（正规化误用）：将 $\Gamma /\pi$ 正规化混入系数 $c_j$ 会破坏 $\Lambda$ 与 $N_F$ 的比较；正规化仅作为全局乘子用于镜像/增长配平。

7. 统一“可检清单“（最小充分）

1. 几何骨架：计算 $H_{jk}$ 与 $\delta (\rho )$，判定是否处于主导子和区（$\delta >\log (J-1)$）。
2. 信息上界：用 $\Lambda ,\nabla \Lambda ,{\nabla }^2\Lambda ⪰0$ 评估上包与方向方差。
3. Ronkin 比较：$N_F\le \Lambda$；在主导子和区用命题 10.2 得近仿射及偏差界。
4. PL 指标：用定理 10.3–10.4 评估 $h_F(\mathbf{v})$，并与方向极点位置核对一致。
5. 亚纯—增长纪律：离散—连续互换仅用有限阶 EM；若需镜像配平（$r(s)=r(a-s)$ 与两侧同阶垂线衰减），则需具备完成功能方程；否则仅作单侧增长调节，通常不保证镜像配平。
6. 数值稳健：按 Nyquist–Poisson–EM 设定步长与窗函数；检测到 Pretentious 行为时以小球/复访上界校正阈值。

8. 与相关篇章的结构接口

• 零集几何（S2）：$\mathcal{A}(F)$ 的尺度投影与 $H_{jk}$ 骨架一致，Ronkin 弯折位置对应二项闭合的横截。
• 自反核与完成函数（S3）：当对象具备完成功能方程时，$\Gamma /\pi$ 正规化可提供镜像配平与垂线衰减的统一控制。
• 有限阶 EM（S4）：保证换序合法并落实“极点 = 主尺度“。
• 方向亚纯化（S5）：方向指标与极点位置/阶一致；主导子和 $\Rightarrow$ 单极点主控。
• 信息刻度（S6）：$\Lambda$ 的梯度/协方差给出“质心—方差—软最大“的信息几何解释，控制上包与灵敏度。
• $L$-函数接口（S7）：显式公式的核窗可对准 amoeba 骨架的尺度带，竖条增长由 PL 指标协同控制。
• 离散一致逼近（S8）：三分解为 $N_F$ 与方向指标的数值评估提供非渐近误差。
• Pretentious/指数和（S9）：Pretentious 区的小值复访与 $\Lambda -N_F$ 的增大相一致。

结语

以 amoeba–Ronkin–增长 为主线，完成了“几何骨架 ($H_{jk}$) — 信息上包 ($\Lambda$) — 解析增长（PL/极点）“的统一缝合：远离平衡骨架，$N_F$ 以指数精度近仿射，方向增长等于支持函数；靠近骨架，二项闭合决定弯折与小值；在竖条解析层面，有限阶 EM 与方向亚纯化保障“极点 = 主尺度”，完成函数提供镜像/增长配平；数值层面，Nyquist–Poisson–EM 与 Pretentious 小球控制给出非渐近、可复现实验的误差与阈值。由此，S10 将 S2–S9 的结构成果汇聚为几何—增长—镜像的一体化基线。

附录 A：技术引理（可检版）

引理 A.1（凸分析：方向导数上界 $\Rightarrow$ 次梯度包含）

设 $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ 凸，$K\subset {\mathbb{R}}^n$ 为非空闭凸集，$H_K$ 为其支持函数。若对点 $x$ 与一切单位向量 $u$ 有 $$D^{+}f(x;u):=\underset{t\downarrow 0}{\mathrm{limsup}}\frac{f(x+tu)-f(x)}{t}\le H_K(u),$$ 则 $\partial f(x)\subseteq K$。

（证要）取任一 $g\in \partial f(x)$。由次梯度定义，$D^{+}f(x;u)\ge ⟨g,u⟩$ 对一切单位 $u$ 成立。若 $g\notin K$，则存在 $u$ 使 $⟨g,u⟩>H_K(u)$（支持函数的分离性质），与 $D^{+}f(x;u)\le H_K(u)$ 矛盾。故必有 $g\in K$。∎