S9. Pretentious—几乎周期—指数和

—— 近零复访率、Pretentious 距离与方向化指数和的非渐近上界

摘要

建立 Pretentious 距离、几乎周期信号与方向化指数和三者的统一框架：以母映射的一维切片为核心对象，给出非 Pretentious 区的统一上界与 Pretentious 区的大值（几乎周期）窗口；在有限观测窗内，结合 Nyquist/Poisson 与有限阶 Euler–Maclaurin（“伯努利层”）给出指数和的小球概率与近零复访率的非渐近控制，并以信息量刻度刻画“典型幅度“。全文的假设尽可能以可检条件表达，并与 S2 的横截几何、S4 的有限阶 EM、S5 的方向亚纯化、S6 的信息刻度、S7 的 $L$-函数接口、S8 的离散一致逼近逐一拼接。

0. 记号与框架（与 S1–S8 对齐）

设 $f:\mathbb{N}\to \mathbb{C}$ 为乘法函数且 $|f(n)|\le 1$。对 $s=\sigma +it$（$\sigma >1$）定义母映射切片（Dirichlet 级数与其截断）：

$$F_f(s):=\sum _{n\ge 1}\frac{f(n)}{n^s},P_f(X;\sigma ,t):=\sum _{n\le X}\frac{f(n)}{n^{\sigma +it}}.$$

这是沿方向 $(\theta ,\rho )=(-t,\sigma )$ 在离散谱 ${\beta }_n=-\log n$ 上的一元切片（S5 的“方向化“）。

Pretentious 模型与距离。设模型族

$$\mathcal{G}:=\{g(n)=\chi (n)n^{i\tau }:\chi \text{狄利克雷特征},\tau \in \mathbb{R}\}.$$

对 $X\ge 2$ 定义 Pretentious 距离

$$\mathbb{D}(f,g;X{)}^2:=\sum _{p\le X}\frac{1-\Re (f(p)\overline{g(p)})}{p}.$$

记

$${\mathbb{D}}_X(f):=\underset{\chi ,\tau }{\inf }\mathbb{D}(f,\chi (\cdot )(\cdot {)}^{i\tau };X).$$

信息量刻度（S6）。取

$$p_n(\sigma ):=\frac{n^{-\sigma }}{\zeta (\sigma )}(\sigma >1),$$

定义参与率 $N_2(\sigma ):=({\sum }_{n\ge 1}{p}_n(\sigma {)}^2{)}^{-1}=\zeta (\sigma {)}^2/\zeta (2\sigma )$。典型能量尺度

$$A_{\sigma }(X):=(\sum _{n\le X}{n}^{-2\sigma }{)}^{1/2},A_{\sigma }(X)\nearrow \zeta (2\sigma {)}^{1/2},A_{\sigma }(X)\le \zeta (2\sigma {)}^{1/2}.$$

有限阶 EM 与 Nyquist/Poisson（S4+S8）。全文所有“和–积/和–积–积分“换序仅使用有限阶 Euler–Maclaurin（伯努利层），其余项在 $s$ 上整/全纯且可显式上界；频域交叉项以 Nyquist/Poisson 别名控制。为便于引用，列出本篇的可检正则条件：

• C9.1：固定 $\sigma >1$。涉及换序与边界项的所有操作满足 S1/S4 的管域与有限阶 EM 约束。

• C9.2（观测窗与截断）：窗 $[-T,T]$ 与截断 $X$ 满足下述之一：

  (a) 近对角计数/误差并入：对满足 $|T(\log m-\log n)|<\Omega$ 的近零频对 $(m,n\le X)$，统一作为受控误差项按 A.2 的最后一项处理（或给出其局部计数/上界)；不要求全体 $m\ne n$ 的全局最小分离；或

  (b) 平滑窗抑制：取 $W\in C_c^K(\mathbb{R})$（$K$ 足够大）置换指示窗，存在 $\Omega >0$ 与 $\delta \in (0,1)$ 使 $|\hat{W}(\xi )|\le \delta$（对所有 $|\xi |\ge \Omega$）。能量估计时仅对满足 $|T(\log m-\log n)|\ge \Omega$ 的交叉项使用该尾部小量；其余近零频项按 (a) 的近对角误差并入处理（见 A.2/A.2′）。

• C9.3：伯努利层阶数 $K$ 至少覆盖所用导数与端点项，余项由 S4 的整函数性与 S8 的窗尾上界控制。

1. Pretentious 预备：不变性与最拟合参数

引理 9.0（不变性与单调性）

(1) $\mathbb{D}(f,\chi (\cdot )(\cdot {)}^{i\tau };X)=\mathbb{D}(f\overline{\chi }(\cdot )(\cdot {)}^{-i\tau },1;X)$。

(2) $X\mapsto {\mathbb{D}}_X(f)$ 单调非减。

(3) 若 $({\chi }^{\star },{\tau }^{\star })$ 令 ${\mathbb{D}}_X(f)$ 取到下确界，则称之为最拟合参数，并称 $f$ 在尺度 $X$ 上为 Pretentious（${\mathbb{D}}_X(f)$ 小）或非 Pretentious（${\mathbb{D}}_X(f)$ 大）。

证明。直接由定义与欧拉素因子分离得到。∎

σ-加权 Pretentious 距离（本篇用）。固定 $\sigma >1$ 与 $t\in \mathbb{R}$，定义

$${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(f;t{)}^2:=\underset{\chi ,\tau }{\inf }\sum _{p\le X}\frac{1-\Re (f(p)\overline{\chi (p)}{p}^{-i(t+\tau )})}{p^{\sigma }}.$$

（记号关系说明）对固定 $\sigma >1$ 与任意 $t$，有 $${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(f;t)\le {\mathbb{D}}_X(f),$$ 因为 $p^{-\sigma }\le p^{-1}$。故以 ${\mathbb{D}}_X(f)\le D_0$ 的 Pretentious 假设强于以 ${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}$ 表述的版本，与定理 9.1 的使用相容。

2. 非 Pretentious 区的统一上界（Halasz–Pretentious 型）

下述定理给出对截断指数和的非渐近上界；其振幅尺度与 ${\sum }_{n\le X}{n}^{-\sigma }\sim \zeta (\sigma )$ 同阶，误差仅由有限阶 EM 与窗尾贡献。

定理 9.1（非 Pretentious 上界，$\sigma >1$ 固定）

存在仅依赖 $\sigma$ 的常数 $C_{\sigma },c_{\sigma },{\eta }_{\sigma }>0$，对任意 $X\ge 2$、$t\in \mathbb{R}$，有

$$|P_f(X;\sigma ,t)|\le C_{\sigma }\left(\sum _{n\le X}{n}^{-\sigma }\right)\exp (-c_{\sigma }{\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(f;t{)}^2)+C_{\sigma }{X}^{1-\sigma }.\text{\hspace{1em}(9.1)}$$

证明（纲要）。先用硬截断—全级数桥（由尾和估计或 A.1 的有限阶 EM）得 $$|P_f(X;\sigma ,t)|\le |F_f(\sigma +it)|+O_{\sigma }(X^{1-\sigma }).$$ 对任意使 ${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(f;t)$ 近取下确界的 $g(n)=\chi (n)n^{i\tau }\in \mathcal{G}$，由附录 A.4（欧拉因子比较，吸收 $p>X$ 的贡献于 $O(1)$）得到 $$|F_f(\sigma +it)|\le C_{\sigma }\exp (-c_{\sigma }{\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(f;t{)}^2)|F_g(\sigma +it)|.$$ 再以 $$|F_g(\sigma +it)|\le |P_g(X;\sigma ,t)|+O_{\sigma }(X^{1-\sigma })\le \sum _{n\le X}{n}^{-\sigma }+O_{\sigma }(X^{1-\sigma }),$$ 合并即得（9.1）。∎

注 2.1。当 $f$ 来源于 $L$-函数欧拉积（S7），可借助完成函数的 $\Gamma /\pi$ 正规化（S3）获得更细的垂线增长配平；这仅改变常数与 $\sigma$-权重的具体形状，不改变“指数衰减/几乎周期/小球概率”三类结论的结构。

3. Pretentious 区的几乎周期与大值窗口

在 Pretentious 区，$f$ 与某模型 $g(n)={\chi }^{\star }(n)n^{i{\tau }^{\star }}$ 在素数端相干，导致 $t\approx -{\tau }^{\star }$ 的大值窗口与几乎周期现象。

定理 9.2（Pretentious 大值窗口）

固定 $\sigma >1$。若存在 $X\ge 2$、$({\chi }^{\star },{\tau }^{\star })$ 使 $\mathbb{D}(f,{\chi }^{\star }(\cdot )(\cdot {)}^{i{\tau }^{\star }};X)\le D_0$，并且 C9.2 的 Nyquist 条件对 $|t+{\tau }^{\star }|\le T$ 成立，则存在常数 $c_{\sigma },C_{\sigma }>0$ 与集合 ${\mathcal{T}}_{\mathrm{big}}\subset [-T,T]$（测度 $\ge c_{\sigma }T$），使

（括注：由 ${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(f;t)\le {\mathbb{D}}_X(f)$（$\sigma >1$）知，此 Pretentious 假设强于定理 9.1 使用的 ${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}$ 版本。）

$$|P_f(X;\sigma ,t)|\ge c_{\sigma }{A}_{\sigma }(X)e^{-C_{\sigma }{D}_0^2}(t\in {\mathcal{T}}_{\mathrm{big}}).$$

证明（纲要）。不必分解 $P_f=P_g+E$ 做点态误差。先对模型 $g(n)={\chi }^{\star }(n)n^{i{\tau }^{\star }}$ 用 A.2/A.2′ 与 Paley–Zygmund 得到以 $t\approx -{\tau }^{\star }$ 为中心的大值集合；然后在同窗 $|t+{\tau }^{\star }|\le T$ 内使用引理 A.5（窗内 $L^2$ 比较）： $${\int }_{\mathbb{R}}W\left(\frac{t}{T}\right)|P_f(X;\sigma ,t)-P_g(X;\sigma ,t){|}^{2}dt\le C_{\sigma }{e}^{-c_{\sigma }{D}_0^2}T{A}_{\sigma }(X{)}^2,$$ 其中 $D_0$ 为 Pretentious 距离上界，$W$ 来自 C9.2(b)。由此将 $P_g$ 的大值通过 $L^2$ 误差稳健转移到 $P_f$，得到窗内正比例的大值集合，其阈值为 $c_{\sigma }{A}_{\sigma }(X)e^{-C_{\sigma }{D}_0^2}$。上述阈值校正亦可由附录 A.4 的欧拉因子比较得到等价表述。∎

注 3.1。当 $f=\chi$ 或 $f(n)=\chi (n)n^{i\tau }$ 时为严格几乎周期；一般 Pretentious 情形等价于在此基础上的有界扰动。

4. 小球概率与近零复访率（有限窗，非渐近）

对有限窗 $[-T,T]$ 与截断多项式 $P_f(X;\sigma ,t)$，定义“$\epsilon$-小球“集合

$${\mathcal{Z}}_{\epsilon }:=\{t\in [-T,T]:|P_f(X;\sigma ,t)|\le \epsilon A_{\sigma }(X)\}.$$

为便于引用，记窗域下界距离 $${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}^{\star }(f;T):=\underset{|t|\le T}{\inf }{\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(f;t).$$

定理 9.3（小球上界：正交 + Pretentious 稀释）

在 C9.2 下，存在常数 $C_{\sigma ,\Omega },c_{\sigma }>0$ 使

$$\mathrm{meas}\left({\mathcal{Z}}_{\epsilon }\right)\le C_{\sigma ,\Omega }(\epsilon +(1-e^{-c_{\sigma }({\mathbb{D}}_{\sigma ,X}^{\star }(f;T){)}^2}\left)\right)T.\text{\hspace{1em}(9.2)}$$

证明（纲要）。记 $a_n=f(n)n^{-\sigma }$。在 C9.2(b) 下，采用 A.2 的加窗能量恒等式： $${\int }_{\mathbb{R}}W\left(\frac{t}{T}\right)|P_f(X;\sigma ,t){|}^{2}dt=T\sum _{m,n\le X}{a}_m\overline{a_n}\hat{W}(T(\log m-\log n)).$$ 取 $W\in C_c^K$ 且 $W\ge c{1}_{[-1,1]}$，则 $${\int }_{-T}^T|P_f{|}^{2}dt\le c^{-1}{\int }_{\mathbb{R}}W(\frac{t}{T})|P_f{|}^{2}dt.$$ 交叉项在 $|T(\log m-\log n)|\ge \Omega$ 处由 $|\hat{W}|$ 的尾部小量吸收（A.2），其余近零频项并入误差或用 C9.2(a) 处理。由此配合 A.2′ 与 Paley–Zygmund，得 $\mathrm{meas}\{t:|P_f|\le \epsilon A_{\sigma }(X)\}\ll \epsilon T$。另一方面，由（9.1）知对任意 $t$ 有统一阈值控制因子 $\exp \{-c_{\sigma }{\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(f;t{)}^2\}$；取窗内下确界 ${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}^{\star }(f;T)$ 得到 $e^{-c_{\sigma }({\mathbb{D}}_{\sigma ,X}^{\star }(f;T){)}^2}$ 的阈值修正。将其与前述能量—Paley–Zygmund 链接，得到（9.2）的 $\epsilon +$ Pretentious 稀释结构。∎

推论 9.4（近零复访率）

在 C9.2 下，单位时间内 $P_f$ 落入相对半径 $\epsilon$ 的小球的复访率 $\ll \epsilon +(1-e^{-c_{\sigma }({\mathbb{D}}_{\sigma ,X}^{\star }(f;T){)}^2})$。

其中隐常数仅依赖于 $(\sigma ,\Omega )$ 与窗参数，不依赖 $T,X$。

5. 信息刻度与“典型幅度“

定理 9.5（信息刻度控制典型幅度）

在 C9.2 下，

$$\frac{1}{2T}{\int }_{-T}^T|\sum _{n\le X}\frac{f(n)}{n^{\sigma +it}}{|}^{2}dt\asymp \sum _{n\le X}{n}^{-2\sigma }=A_{\sigma }(X{)}^2.$$

因此“典型幅度“满足

$$A_{\sigma }(X)=(\sum _{n\le X}{n}^{-2\sigma }{)}^{1/2}.$$

进一步地，有统一上界与极限等式

$$A_{\sigma }(X)\le \frac{\zeta (\sigma )}{\sqrt{N_2(\sigma )}}=\zeta (2\sigma {)}^{1/2},\underset{X\to \infty }{\lim }{A}_{\sigma }(X)=\frac{\zeta (\sigma )}{\sqrt{N_2(\sigma )}}=\zeta (2\sigma {)}^{1/2}.$$

这与定理 9.3 的 $\epsilon$ 量级相容（有限窗能量由 $A_{\sigma }(X{)}^2$ 给出，Pretentious 稀释项另行单独计入）。

6. 与零集几何的一致性（S2 接口）

在 S2 的二项闭合局部，主导两项满足“幅度平衡 + 相位对径“的横截方程，零集在 $(\theta ,\rho )$ 空间为余维 $2$ 的实解析流形；在一维 $t$-切片上给出离散且通常简单的零。定理 9.3 的频率分离/非退化前提正是该横截非退化性的可检替身：Pretentious 稀释将“稠密小值“排至 $e^{-c_{\sigma }({\mathbb{D}}_{\sigma ,X}^{\star }(f;T){)}^2}$ 级，几乎周期窗口在 Pretentious 端提供稳定大值，与零集局部结构兼容。

7. 边界族与反例（失效原因标注）

• R9.1（严重别名）：若 C9.2 失败，交叉能量不可忽略，小球估计可能偏大；需缩短窗长或采用高阶平滑窗抑制别名（S8）。
• R9.2（无限伯努利层）：误将 EM 作为无穷级数破坏一致可和，余项丧失整性，从而（9.1）–（9.2）的误差预算不可控；必须坚持有限阶。
• R9.3（极端 Pretentious）：${\mathbb{D}}_X(f)$ 极小且 $f$ 几乎逐项匹配某 $g$ 时，小球概率以 ${\epsilon }^2$ 主导，且在 $t\approx -{\tau }^{\star }$ 的邻域出现稳定大值平台（定理 9.2）。
• R9.4（方向退化）：若大量 $m\ne n$ 使 $\log m\approx \log n$（尺度退化），可能产生“零簇“；需以 S2 的退化分支处理或改用平滑窗以增大有效分离。

8. 统一“可检清单“（本篇最小充分条件）

1. 竖条与管域：固定 $\sigma >1$，一切换序与边界仅用有限阶 EM（S4），余项整/全纯。
2. Pretentious 距离：计算 ${\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(f;t)$（用于（9.1））与 ${\mathbb{D}}_X(f)$（用于定理 9.2 的中心频率识别）。若 $\underset{|t|\le T}{\inf }{\mathbb{D}}_{\sigma ,X}(f;t)\ge D$，则由（9.1）在整个窗内给出指数衰减；若 ${\mathbb{D}}_X(f)\le D_0$，则进入定理 9.2 的大值窗口情形（取 $t\approx -{\tau }^{\star }$）。
3. Nyquist/Poisson：验证 C9.2 的频率分离或平滑窗抑制；否则先行窗化或调整 $X,T$。
4. 信息刻度：以 $A_{\sigma }(X)$ 与 $N_2(\sigma )$ 估算典型幅度与小球阈值，并与 $e^{-c_{\sigma }({\mathbb{D}}_{\sigma ,X}^{\star }(f;T){)}^2}$ 项合并（定理 9.3）。
5. 几何一致性：在局部两项主导区核对 S2 的横截非退化；排除方向退化与零簇。
6. 完成函数（按需）：当 $f$ 来自 $L$-函数欧拉积，使用 S3/S7 的 $\Gamma /\pi$ 正规化与显式公式选择试验核，改善垂线配平，不改变（9.1）–（9.2）的结构。

9. 与其它篇章的接口

• ↔ S2（零集几何）：二项闭合—横截提供局部非退化与频率分离的几何解释。
• ↔ S4（有限阶 EM）：保证端点/导数项仅作整函数修正，“极点=主尺度“不被误用至截断误差。
• ↔ S5（方向亚纯化）：大尺度结构（极点/增长）由主尺度决定，小尺度窗内波动由 Pretentious vs 非 Pretentious 控制。
• ↔ S6（信息刻度）：参与率 $N_2(\sigma )$ 与典型幅度 $A_{\sigma }(X)$ 一致进入小球与复访率。
• ↔ S7（$L$-函数接口）：Pretentious 小值对应素数端相干不足；显式公式的谱—素数对偶可用于定向窗选择。
• ↔ S8（离散一致逼近）：小球与复访率依赖 Nyquist/Poisson 与有限阶 EM 的误差三分解；Prony/矩方法用于数值检验几乎周期窗口与 Pretentious 稀释。

附录 A：技术引理与标准工具

A.1（伯努利层版 EM）

设 $f\in C^K[1,\infty )$ 且适合的衰减与端点正则，则

$$\sum _{n\le X}f(n)={\int }_1^{X}f(x)dx+\frac{f(1)+f(X)}{2}+\sum _{k=1}^{K-1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}(f^{(2k-1)}(X)-f^{(2k-1)}(1))+R_K,$$

其中 $R_K$ 在参数 $s$ 上整/全纯（当 $f(\cdot ;s)$ 全纯依赖 $s$）且 $|R_K|{\ll }_K{\int }_1^X|f^{(K)}(x)|dx$。

A.2（平滑窗能量恒等式）

在本节固定傅里叶规范 $\hat{W}(\xi ):={\int }_{\mathbb{R}}{e}^{-i\xi t}W(t)dt$。

（说明）本节使用不含 $2\pi$ 的傅里叶规范；下式中的**$T$ 缩放因子**来自变量代换 $u=t/T$。

取 $W\in C_c^K(\mathbb{R})$；记

$$\mathcal{I}:={\int }_{\mathbb{R}}W\left(\frac{t}{T}\right)|\sum _{n\le X}{a}_n{e}^{-it\log n}{|}^{2}dt:=T\sum _{m,n\le X}{a}_m\overline{a_n}\hat{W}(T(\log m-\log n)).$$

若存在 $\Omega >0,\delta \in (0,1)$ 使 $|\hat{W}(\xi )|\le \delta$（对所有 $|\xi |\ge \Omega$），则 $$\mathcal{I}=T\hat{W}(0)\sum _{n\le X}|a_n{|}^2+O(\delta T\sum _{n\le X}|a_n{|}^2)+O(\sum _{\begin{array}{c}m\ne n\\ |T(\log m-\log n)|<\Omega \end{array}}|a_m{a}_n|).$$ 近对角项按 C9.2(a) 或并入误差处理；A.2′ 的四次能量同理以 $\Omega ,\delta$ 吸收远离零频的四重交叉项。

A.2′（平滑窗四次能量上界）

取与 A.2 同假设的 $W\in C_c^K(\mathbb{R})$；记

$${\mathcal{I}}_4:={\int }_{\mathbb{R}}W\left(\frac{t}{T}\right)|\sum _{n\le X}{a}_n{e}^{-it\log n}{|}^{4}dt.$$

则有

$${\mathcal{I}}_4\ll T(\sum _{n\le X}|a_n{|}^2{)}^2,$$

其中常数仅依赖 $\sigma ,K$ 及 C9.2 的分离/窗参数。证明思路与 A.2 相同：展开四次和并使用 $\hat{W}$（或 $\widehat{W\ast W}$）在非零频处的小量性，与振荡积分界 $\min \{T,1/|\sum \pm \log n|\}$ 吸收四重交叉项。

A.3（Paley–Zygmund）

若 $Z\ge 0$ 且 $\mathbb{E}[Z^2]\le C\mathbb{E}[Z{]}^2$，则 $\mathbb{P}(Z\ge \theta \mathbb{E}[Z])\ge (1-\theta {)}^2/C$（$0<\theta <1$）。

A.4（Pretentious 欧拉积比较）

对 $\sigma >1$ 与 $g\in \mathcal{G}$，令本地因子 $E_p(f;s):={\sum }_{k\ge 0}f(p^k)p^{-ks}$ 与 $E_p(g;s):=(1-g(p)p^{-s}{)}^{-1}$。则有

$$\left|\prod _{p\le X}\frac{E_p(f;\sigma +it)}{E_p(g;\sigma +it)}\right|\le \exp (-c_{\sigma }\sum _{p\le X}\frac{1-\Re (f(p)\overline{g(p)}{p}^{-it})}{p^{\sigma }}+O(1)).$$

与 A.1–A.2 合并给出定理 9.1 的指数衰减因子。

A.5（窗内 $L^2$ 比较）

在 C9.2(b) 与 $\mathbb{D}(f,g;X)\le D_0$ 下，取与 A.2 同一平滑窗 $W\in C_c^K(\mathbb{R})$，则对固定 $\sigma >1$ 有

$${\int }_{\mathbb{R}}W\left(\frac{t}{T}\right)|P_f(X;\sigma ,t)-P_g(X;\sigma ,t){|}^{2}dt\le C_{\sigma }{e}^{-c_{\sigma }{D}_0^2}T{A}_{\sigma }(X{)}^2,$$

其中常数仅依赖于 $\sigma$ 与窗/分离参数 $(\Omega ,\delta )$。由此可将模型 $P_g$ 的大值窗口在同一观测窗内稳健转移到 $P_f$（见定理 9.2）。

（证明提要）写成素因子比较并用 A.4 在 $\sigma >1$ 竖条内给出点态对数型控制；截断误差由 A.1 的有限阶 EM 与 A.2 的能量恒等式吸收，得出上式。∎

结语

Pretentious 距离在素数端刻画了乘法信号的“相干—反相干“结构；与母映射方向化、信息量刻度与离散一致逼近结合，得到一套非渐近、可检的指数和行为框架：非 Pretentious 区的指数衰减上界、Pretentious 区的几乎周期大值窗口、有限窗的小球概率与近零复访率。该框架在 S2–S8 的几何—解析—信息—离散架构上闭合，并为 S10 之后的谱—素数混合问题与数值验证提供统一的语法与工具箱。