S8. 离散一致逼近与差分湮灭

—— Poisson/Nyquist + 有限阶 EM 的误差三分解；指数–多项式序列的湮灭算子与 Prony/矩方法的可识别性

摘要

建立一套与 S3–S7 完全对齐的离散一致逼近—反演框架：把Poisson/Nyquist 别名、有限阶 Euler–Maclaurin（EM）伯努利层与窗化截断尾项组成“非渐近误差三分解“，确保在有限样本与固定窗宽的工程情境下仍可给出可计算的上界。在谱为有限指数–多项式叠加（合流线谱）时，构造有限阶差分湮灭算子并给出最小阶与唯一性；在小噪声下建立可识别性—稳定性的定性上界，以**（合流）Vandermonde 条件数与模态间距为核心指标。最后给出面向母映射的程序化流程与可检清单**。该框架与 S3 的 $\Gamma /\pi$ 正规化与完成函数模板、S4 的“极点 = 主尺度”、S5 的方向亚纯化、S6 的信息刻度以及 S7 的显式公式接口可直接拼接。

0. 记号与前置（与 S3–S7 对齐）

• 方向切片与采样网格。固定方向 $\mathbf{v}\in {\mathbb{S}}^{n-1}$、横向偏置 ${\rho }_{\perp }$，令

$$\rho ={\rho }_{\perp }+s\mathbf{v},f(s):=F(\theta ,{\rho }_{\perp }+s\mathbf{v}).$$

取步长 $\Delta >0$，记 $b:=e^{\Delta }$、采样点 $s_k:=k\Delta$（$k\in \mathbb{Z}$ 或有限段）。“乘法步长” $b$ 与“加法步长“ $\Delta$ 的互换遵循 S4 的加法–乘法 EM 对偶。

• Fourier 变换规范（Poisson 一致性）。

$$\hat{g}(\xi ):={\int }_{\mathbb{R}}g(s)e^{-i\xi s}ds,\Delta \sum _{k\in \mathbb{Z}}g(k\Delta )=\sum _{m\in \mathbb{Z}}\hat{g}\left(\frac{2\pi m}{\Delta }\right).$$

• 方向指数–多项式序列。当谱满足 S5 的指数–多项式律，采样序列

$$y_k:=f(s_k)=\sum _{\ell =1}^L\left(\sum _{r=0}^{d_{\ell }}{a}_{\ell ,r}{k}^r\right){\lambda }_{\ell }^k,{\lambda }_{\ell }:=e^{⟨{\beta }_{\ell },\mathbf{v}⟩\Delta },$$

即为有限指数–多项式（合流线谱）序列。方向拉普拉斯–Stieltjes 变换的极点位置与阶由 $\{⟨{\beta }_{\ell },\mathbf{v}⟩,d_{\ell }\}$ 决定。

• 端点单边导数。对后续使用到的端点 $\pm T$，记

$$g^{(j)}(T_{-}):=\underset{s\uparrow T}{\lim }{g}^{(j)}(s),g^{(j)}(-T_{+}):=\underset{s\downarrow -T}{\lim }{g}^{(j)}(s).$$

• 完成函数与增长配平（可选）。必要时以 S3 的 $a$-对称 $\Gamma /\pi$ 因子 $r(s)$ 构造完成函数

$$\Xi (s):=r(s)F(\theta ,{\rho }_{\perp }+s\mathbf{v}),$$

以控制垂线增长；若 $r(s)$ 在工作竖条内全纯且处处非零，则不改变谱位置与阶；若 $r$ 含零/极点，应将其并入 S5 的极点模板同步处理（抵消或新增）后再行离散逼近与反演。

• 显式公式接口。S7 的试验核 $\hat{h}$ 在尺度侧即窗函数；本文的采样与窗化误差度量与显式公式（EF）中素数—素幂端的求和换序兼容。

1. Poisson–EM 的非渐近误差三分解（统一定理）

对

$${\mathcal{Q}}_{\Delta ,T}[g]:=\Delta \sum _{|k|\le \lfloor T/\Delta \rfloor }g(k\Delta ),\mathcal{I}[g]:={\int }_{\mathbb{R}}g(s)ds,$$

我们以别名（Poisson）+ 伯努利层（有限阶 EM）+ 截断尾项给出非渐近上界。

定理 8.1（误差三分解）

设 $g\in C^{2M}(\mathbb{R})\cap L^1(\mathbb{R})$，其 Fourier 变换 $\hat{g}\in L^1(\mathbb{R})$，且 $g^{(2M)}\in L^1(\mathbb{R})$；并且对所选步长 $\Delta$ 有

$$\sum _{m\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}\left|\hat{g}\right(\frac{2\pi m}{\Delta }\left)\right|<\infty .$$

则给定步长 $\Delta >0$ 满足上式（别名可和性），且在上述正则性假设下，对任意 $T>0$、$M\in \mathbb{N}$（记 $K:=\lfloor T/\Delta \rfloor$）成立

$$|\mathcal{I}[g]-{\mathcal{Q}}_{\Delta ,T}[g]|\le \underset{\text{别名 / Poisson}}{\underbrace{\sum _{m\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}}\left|\hat{g}\right(\frac{2\pi m}{\Delta }\left)\right|}}+\underset{\text{伯努利层（有限阶 EM）}}{\underbrace{\frac{\Delta }{2}(|g(K\Delta )|+|g(-K\Delta )|)+\sum _{m=1}^{M-1}\frac{|B_{2m}|}{(2m)!}{\Delta }^{2m}\left(\right|g^{(2m-1)}((K\Delta {)}_{-})|+|g^{(2m-1)}((-K\Delta {)}_{+})\left|\right)+C_M{\Delta }^{2M}{\int }_{-K\Delta }^{K\Delta }|g^{(2M)}(s)|ds}}+\underset{\text{截断尾项}}{\underbrace{{\int }_{|s|>K\Delta }|g(s)|ds}}.$$

其中 $C_M:=\frac{2\zeta (2M)}{(2\pi {)}^{2M}}$。

说明。

• 第一项由 Poisson 求和公式与 $\hat{g}\in L^1$ 得来，是对“积分 ↔ 无穷采样和“差异的尾和的绝对值上界。
• 第二项是把无穷和换为有限和（区间 $[-K\Delta ,K\Delta ]$）时的有限阶 EM 校正（含端点半权、有限伯努利层与有限阶余项）；只用到至 $B_{2(M-1)}$ 的伯努利层，不存在无穷伯努利级数。
• 第三项是窗化截断的体积分尾项。三者叠加，给出非渐近、可计算的误差预算。

推论 8.2（带限与准带限）。 (i) 若 $\mathrm{supp}\hat{g}\subset [-\Omega ,\Omega ]$ 且 $\Delta \le \pi /\Omega$（Nyquist），则别名项为零；误差仅由有限阶 EM 与截断项控制。 (ii) 若 $|\hat{g}(\xi )|\le C{e}^{-\mu |\xi |}$，则

$$\sum _{m\ne 0}\left|\hat{g}\right(\frac{2\pi m}{\Delta }\left)\right|\le \frac{2C{e}^{-2\pi \mu /\Delta }}{1-e^{-2\pi \mu /\Delta }},$$

呈指数级抗别名。两条结论与 S3 的垂线增长配平及 S7 的核窗选择相容。

2. 方向样本的指数–多项式模型与“极点 = 主尺度“

设 $f(s)=F(\theta ,{\rho }_{\perp }+s\mathbf{v})$ 来自离散谱。按 S5，方向拉普拉斯–Stieltjes 变换的极点位于 $s={\gamma }_{\ell }$，阶 $\le d_{\ell }+1$。令 $y_k=f(k\Delta )$。

命题 8.3（指数–多项式采样序列）

存在有限集合 $\{{\lambda }_{\ell }\}$ 与多项式 $P_{\ell }(k)$ 使

$$y_k=\sum _{\ell =1}^L{P}_{\ell }(k){\lambda }_{\ell }^k,{\lambda }_{\ell }=e^{{\gamma }_{\ell }\Delta }.$$

若对一切 $\ell \ne j$ 有 ${\gamma }_{\ell }\not\equiv {\gamma }_j(\mathrm{mod}2\pi i/\Delta )$，则 ${\lambda }_{\ell }$ 两两不同；否则可能发生 $\lambda$ 折叠。若 $d_{\ell }=0$ 则为纯指数和。若 连续极点 $\{{\gamma }_{\ell }\}$ 本身互异，且 $\Delta$ 满足 $|\Im ({\gamma }_{\ell }-{\gamma }_j)|<\pi /\Delta$（或等价的带宽约束），则 ${\lambda }_{\ell }$ 两两不同；若存在合流（${\gamma }_{\ell }={\gamma }_j$），仍可能发生 $\lambda$ 折叠，应以多重性并入 $d_{\ell }$ 处理。该结构与定理 8.1 的误差三分解正交：别名、端点校正与截断不改变 $\{{\gamma }_{\ell },d_{\ell }\}$ 的解析地位，保持 S4 的“极点 = 主尺度“。

3. 差分湮灭：存在性、唯一性与最小阶

定理 8.4（指数–多项式序列的有限阶差分湮灭）

令

$$y_k=\sum _{\ell =1}^L\left(\sum _{r=0}^{d_{\ell }}{a}_{\ell ,r}{k}^r\right){\lambda }_{\ell }^k,{\lambda }_{\ell }\text{两两不同}.$$

设

$$\Phi (z)=\prod _{\ell =1}^L(z-{\lambda }_{\ell }{)}^{d_{\ell }+1}=\sum _{r=0}^R{\varphi }_r{z}^r,R:=\sum _{\ell =1}^L(d_{\ell }+1).$$

则对一切 $k$ 有

$$\sum _{r=0}^R{\varphi }_r{y}_{k+r}=0,$$

且 $R$ 为最小阶。任何再乘非常数多项式都不会降低湮灭阶。

证明要点。记前移算子 $E$ 满足 $(Ey{)}_k:=y_{k+1}$，差分算子 $({\Delta }_{\lambda }y{)}_k:=y_{k+1}-\lambda y_k=(E-\lambda I)y_k$。对每个 $\ell$，$(E-{\lambda }_{\ell }I{)}^{d_{\ell }+1}(k^{d_{\ell }}{\lambda }_{\ell }^k)\equiv 0$；并且 ${\prod }_{\ell }(E-{\lambda }_{\ell }I{)}^{d_{\ell }+1}y\equiv 0$。将前移算子 $E$ 视作形式变量 $z$ 得到湮灭多项式 $\Phi (z)={\prod }_{\ell }(z-{\lambda }_{\ell }{)}^{d_{\ell }+1}$，其根恰为 $\{{\lambda }_{\ell }\}$；最小性由合流指数–多项式空间的维数计数与根互异性给出。∎

注（步长—尺度一致性）。${\lambda }_{\ell }=e^{{\gamma }_{\ell }\Delta }$ 把方向指数率与采样步长统一为离散特征根；$\Delta \to 0$ 时 ${\lambda }_{\ell }\approx 1+{\gamma }_{\ell }\Delta$，与 S5 的极点位置—阶完全一致。

4. Prony/矩方法的可识别性与稳定性（小噪声）

记观测向量 $\mathbf{y}=(y_0,\dots ,y_{N-1}{)}^{\top }$，噪声上界 $|\epsilon |\le \eta$。以 Hankel/Toeplitz 预测方程估计 $\Phi$ 的系数 $\{{\varphi }_r\}$。

定理 8.5（可识别性与样本复杂度）

若 ${\lambda }_{\ell }$ 两两不同且取连续的 $2R$ 个等距样本（或等价地构造满秩的 Hankel/Toeplitz 预测矩阵），则在无噪声下由 $\{y_k{\}}_{k=0}^{N-1}$（$N\ge 2R$）唯一确定 $\Phi$；为消除尺度不定性，取 $\Phi$ 为首一多项式（令 ${\varphi }_R=1$）。否则仅唯一至非零整体尺度。进而可唯一恢复 $\{{\lambda }_{\ell }\}$ 与 $\{P_{\ell }\}$。在噪声存在且预测矩阵满秩时，最小二乘解存在且唯一。

稳定性（定性上界）。设 $V$ 为**（合流）Vandermonde** 矩阵，$\kappa (V)$ 其条件数，${\delta }_{\mathrm{sep}}:={\min }_{\ell \ne j}|{\lambda }_{\ell }-{\lambda }_j|$ 为最小根间距。对小噪声 $\eta$ 有

$$\underset{\ell }{\max }\frac{|\Delta {\lambda }_{\ell }|}{|{\lambda }_{\ell }|}\lesssim \kappa (V)\cdot \frac{\eta }{\Vert \mathbf{y}\Vert },$$

并随 ${\delta }_{\mathrm{sep}}\downarrow 0$ 恶化。故模态聚集与小样本导致不适定；在信息刻度（S6）上，有效模态数 $N_{\mathrm{eff}}$ 越小，所需样本越少。上式中 $\Vert \cdot \Vert$ 可取 ${\ell }_2$ 范数，$\eta$ 为对应范数下的噪声上界；亦可改为 ${\ell }_{\infty }$ 一致上界，常数相应变化。

可检策略（与 S6/S7 对齐）。 (i) 先用 S6 的 $H,N_{\mathrm{eff}},N_2$ 估计“有效模态数“，据此选 $N$ 与窗宽 $T$。 (ii) 采用多起点/子采样稳健化（ESPRIT/矩法变体）以缓解 $\kappa (V)$；必要时 Tikhonov 正则。 (iii) 通过调整 $\Delta$（等价改变 ${\lambda }_{\ell }$ 的相对间距）缓解聚集。

5. 程序化流程（伪代码）

输入：方向 $\mathbf{v}$、偏置 ${\rho }_{\perp }$、样本 $y_k=f(k\Delta )$（$|k|\le K$ 或 $0\le k<N$）、EM 阶 $M$、窗宽 $T=K\Delta$。 输出：$\{({\hat{\gamma }}_{\ell },{\hat{d}}_{\ell },{\hat{a}}_{\ell ,r})\}$ 或重构 $\hat{f}$。

1. 窗化与别名控制：选偶窗 $w$（如高斯/带限 Paley–Wiener），令 $g(s)=w(s/T)f(s)$。计算 ${\mathcal{Q}}_{\Delta ,T}[g]$，按定理 8.1 估计别名与截断；若别名项偏大，缩小 $\Delta$ 或改更陡窗。
2. 有限阶 EM 端点校正：对 $\{g(k\Delta )\}$ 施行**有限阶 EM（至 $B_{2(M-1)}$）**并记录伯努利层误差份额；余项视为全纯/整函数层（S4）。
3. 构造湮灭方程：由（校正后）样本组装 Hankel/Toeplitz 预测方程，求 $\Phi (z)={\sum }_{r=0}^R{\varphi }_r{z}^r$。
4. 根与阶估计：取 $\{{\hat{\lambda }}_{\ell }\}$ 为 $\Phi$ 之根，多重性给出 ${\hat{d}}_{\ell }$；置 ${\hat{\gamma }}_{\ell }={\Delta }^{-1}\log {\hat{\lambda }}_{\ell }$（取主值分支，并据 Nyquist 限制消除 $\frac{2\pi i}{\Delta }$ 的分支模糊；对实序列按共轭配对一致化根集合）。
5. 幅度与多项式系数回归：解线性方程估计 $\{{\hat{a}}_{\ell ,r}\}$。
6. 一致化与验证：
   • 用 S5 的极点模板（位置 ${\hat{\gamma }}_{\ell }$、阶 $\le {\hat{d}}_{\ell }+1$）校核方向亚纯性；
   • 用 S6 的 $\Lambda$–${\Lambda }^{\ast }$ 对偶与 $N_{\mathrm{eff}},N_2$ 评估“信息充足度“。

6. 误差预算与配平策略（汇总）

$$\boxed{\text{总误差}\le \underset{\text{Poisson}}{\underbrace{\text{别名}}}+\underset{\text{有限阶 EM}}{\underbrace{\text{伯努利层}}}+\underset{\text{窗尾}}{\underbrace{\text{截断}}}+\underset{\kappa (V)\cdot \text{信噪比}}{\underbrace{\text{反演噪声}}}}$$

• 别名：由 ${\sum }_{m\ne 0}|\hat{g}(2\pi m/\Delta )|$ 度量；以小步长/带限窗控制。
• 伯努利层：端点导数与 ${\Delta }^{2m}$ 权重控制；$M$ 增大时按端点正则衰减（S4）。
• 截断：${\int }_{|s|>T}|g(s)|ds$ 控制；增大 $T$ 或换更陡窗。
• 反演噪声：$\kappa (V)$ 与 $|\epsilon |/|\mathbf{y}|$ 控制；以冗余样本、调谐 $\Delta$、正则/子空间法配平。
• 完成函数配平（可选）：选 S3 的 $r(s)$ 削减垂线增长，间接降低窗尾与别名项。

7. 反例与边界族（失效原因标注）

• R8.1（无限伯努利和）：将 EM 当作无穷级数使用会破坏一致可和并制造伪极点；须固定有限阶。
• R8.2（准带限失效）：$\hat{g}$ 缓慢衰减而 $\Delta$ 过大，别名主导，Prony 恢复失稳。
• R8.3（模态聚集）：${\min }_{\ell \ne j}|{\lambda }_{\ell }-{\lambda }_j|$ 极小致 $\kappa (V)$ 爆长；微噪声即引根簇分裂。
• R8.4（方向退化）：若 $⟨{\beta }_{\ell }-{\beta }_j,\mathbf{v}⟩\equiv 0$，则一维模型退化（${\lambda }_{\ell }={\lambda }_j$）；需改方向或多方向/多相位联合估计（契合 S2 的横截性）。
• R8.5（完成函数误用）：把 $\Gamma /\pi$ 正规化当作逐项权重引入 $y_k$ 会破坏信息刻度与可识别性；正规化仅作全局乘子。

8. 统一“可检清单“（最小充分条件）

1. 有限阶 EM：固定 $M$，仅使用至 $B_{2(M-1)}$ 的伯努利层；余项视作全纯/整函数层（S4）。
2. Poisson 可交换性：窗 $w$ 与 $g$ 使 $\hat{g}\in L^1$；别名项 $\hat{g}(2\pi m/\Delta )$ 可计算或可上界。
3. 指数–多项式模型：验证样本可由 ${\sum }_{\ell }{P}_{\ell }(k){\lambda }_{\ell }^k$ 生成（或以 S5 的指数率/极点阶为先验）。
4. 样本复杂度：预估 $R={\sum }_{\ell }(d_{\ell }+1)$；取 $N\ge 2R$ 并留冗余以稳健化。
5. 条件数/间距：评估 $\kappa (V)$ 与 $\delta =\min |{\lambda }_{\ell }-{\lambda }_j|$；若失衡，调谐 $\Delta$、加冗余或用多方向。
6. 信息刻度一致性：用 $N_{\mathrm{eff}},N_2$ 与 $\Lambda$–${\Lambda }^{\ast }$ 评估“有效模态数“，指导 $N,T,\Delta$；正规化与相位操作不进入概率权（S6）。
7. 完成函数（可选）：需要垂线增长配平时，采用 S3 的 $a$-对称 $\Gamma /\pi$ 因子，不改变谱位置与阶。

9. 与其它篇章的接口

• ← S2（加法镜像）：二项闭合与横截为多方向联合采样的可识别性提供几何判据（避免方向退化）。
• ← S3（完成函数）：$\Gamma /\pi$ 正规化提供垂线增长配平，不改变离散谱可识别信息。
• ← S4（有限阶 EM）：“伯努利层 + 全纯余项“直接支持误差三分解并保障”极点 = 主尺度“在离散逼近中不被污染。
• ↔ S5（方向亚纯化）：湮灭特征根 ${\lambda }_{\ell }$ 与极点位置 ${\gamma }_{\ell }$ 满足 ${\lambda }_{\ell }=e^{{\gamma }_{\ell }\Delta }$；阶界 $\mathrm{ord}\le d_{\ell }+1$ 一致。
• ↔ S6（信息刻度）：$N_{\mathrm{eff}},N_2$ 评估可识别的“有效模态数“，$\Lambda$–${\Lambda }^{\ast }$ 对偶指导窗/带宽选择。
• ↔ S7（$L$-函数接口）：显式公式中的核 $\hat{h}$ 即窗函数；EF 的素数—素幂项在尺度侧为等距点列，可用本篇误差三分解与差分湮灭作数值核对与线谱抽取。

结语

本篇把 S3–S5 的连续镜像—解析延拓，落地为 S8 的离散一致逼近—差分反演：Poisson/Nyquist 控制别名，有限阶 EM 保证端点与换序的全纯合法性（“极点 = 主尺度“保持不变），窗化截断使误差非渐近可计算；当样本呈指数–多项式结构时，有限阶差分湮灭与 Prony/矩方法提供可识别—稳定的参数反演路径。配合 S6 的信息刻度与 S7 的显式公式接口，这一框架构成了后续数值验证与实验基准的可检、可拼接、可移植的理论—算法基线。