S7. $L$-函数接口

—— degree / conductor / 完成函数 / 显式公式与试验核的统一模板

摘要（定性）

在 S2–S6 的几何—解析—信息基座上，建立一般 $L$-函数（含 Dirichlet、椭圆曲线等）的接口化模板：以“欧拉积—完成函数—功能方程“为纲，给出 degree 与 conductor 的范畴化记账；在 S3 的 $\Gamma /\pi$ 正规化下构造完成函数并阐明“中心轴“参数 $a$ 的对称；以 S4 的有限阶 Euler–Maclaurin 作为技术底座，保证换序与端点处理的全纯/整函数性与“极点 = 主尺度“；给出 Weil 显式公式的统一陈述与可检试验核条件，将素数端局部数据 $\{{\alpha }_{p,j}\}$ 与零点侧谱 $\{\rho \}$ 在同一母映射语法下对偶化；最后以 Dirichlet $L$ 与椭圆曲线 $L$ 为模板实例。

0. 记号与前置（与 S2–S6 对齐）

欧拉积与 Dirichlet 级数。 设

$$L(s)=\sum _{n\ge 1}\frac{a_n}{n^s}(\Re s>{\sigma }_0),L(s)=\prod _p\prod _{j=1}^{d_p}(1-{\alpha }_{p,j}{p}^{-s}{)}^{-1},$$

其中每个素点的局部因子由有限组复数 ${\alpha }_{p,j}$ 编码（允许有限个坏素点作惯常修正）。记局部度上界 $d_{\mathrm{loc}}:={\sup }_p{d}_p$（标准情形为常数），conductor $Q>0$ 作为抽象尺度参数。

完成函数与中心轴。 取 $a\in \mathbb{R}$。设存在由 $\Gamma /\pi$ 因子组成的

$$r(s)=\prod _{j=1}^{r_1}{\Gamma }_{\mathbb{R}}(s+{\lambda }_j)\prod _{k=1}^{r_2}{\Gamma }_{\mathbb{C}}(s+{\mu }_k),{\Gamma }_{\mathbb{R}}(s)={\pi }^{-s/2}\Gamma \left(\frac{s}{2}\right),{\Gamma }_{\mathbb{C}}(s)=(2\pi {)}^{-s}\Gamma (s),$$

使

$${\Lambda }_L(s):=Q^{s/2}r(s)L(s)\text{满足}\boxed{{\Lambda }_L(s)=\epsilon {\Lambda }_{\tilde{L}}(a-s),|\epsilon |=1}.$$

其中 $L$ 为 $L$ 的对偶/伴随对象（Dirichlet 场景为复共轭特征 $\bar{\chi }$；$\mathrm{GL}(d)$ 场景为对偶表示 $\pi$）。

称直线 $\Re s=\frac{a}{2}$ 为中心轴。必要时亦可采用对称化因子 $r_{\mathrm{sym}}(s):=r(s)r(a-s)$ 以实现 S3 的“自反核—完成函数“表征。为避免误解，$r_{\mathrm{sym}}$ 自身满足 $r_{\mathrm{sym}}(s)=r_{\mathrm{sym}}(a-s)$，可用于对称化估计；若需构造真正偶的对象，可取 $\boxed{{\Xi }_{\mathrm{sym}}(s):=Q^{a/2}{r}_{\mathrm{sym}}(s)L(s)L(a-s)}$（或直接使用完成功能方程），并不替代满足 ${\Lambda }_L(s)=\epsilon {\Lambda }_L(a-s)$ 的标准完成因子 $r(s)$。

有限阶 EM 与“极点 = 主尺度“。 全流程仅使用有限阶 Euler–Maclaurin（S4），确保端点与离散—连续桥的余项为整/全纯层，从而极点仅由主尺度项引入。

方向化与增长。 用 S5 的“沿方向亚纯化—指数–多项式律“控制竖线增长；$\Gamma /\pi$ 因子提供 Stirling 级的指数衰减配平（与 S3 对齐）。

信息刻度与核选择。 S6 的 $\Lambda (\rho )$–${\Lambda }^{\ast }$ 对偶为试验核的选取给出变分准则（定性）。

1. 欧拉积的母映射嵌入与度量参数

1.1 母映射嵌入（相位—尺度编码）

对每个素点 $p$ 与指数 $m\ge 1$，局部项

$$\sum _{j=1}^{d_p}{\alpha }_{p,j}^m{p}^{-ms}$$

视为母映射离散谱的一族模态：尺度位移 $-m\log p$，相位权由 ${\alpha }_{p,j}^m$ 提供（若存在酉化，幅相可分）。于是 $\{p^m\}$ 在尺度空间形成等距点列 $\{\rho =-m\log p\}$，与 S2 的“幅度平衡超平面“及横截几何在局部二项闭合时兼容。乘法上的欧拉积因而转写为尺度上的离散谱叠加。

1.2 degree 与 conductor 的接口化定义

在接口层定义

$$\mathrm{deg}L:=r_1+2r_2,Q:=\text{有限处局部尺度的全局记账参数},$$

其中 $\mathrm{deg}L$ 取自无穷处 $({\Gamma }_{\mathbb{R}},{\Gamma }_{\mathbb{C}})$ 因子的记账（与 $\mathrm{GL}(d)$ 型的一般度一致），$Q$ 统一记录有限处（含坏素点）归一化后的“尺度密度“。为避免歧义，下文 degree 专指无穷处度 $\mathrm{deg}L=r_1+2r_2$；§0 中的 $d_{\mathrm{loc}}:={\sup }_p{d}_p$ 仅作上界记号（标准 $\mathrm{GL}(d)$ 情形下二者相等）。此外，约定坏素点的尺度修正与范数归一并入全局 $Q$ 的记账（与 §3.2 中 $\hat{h}(0)\log Q$ 的来源一致）。此定义与 S3 的 $a$-对称模板、S4 的“主尺度“原则一致。

2. 完成函数模板与垂线增长（与 S3 对齐）

定义 2.1（完成函数）

给定 $Q>0$、$a\in \mathbb{R}$ 与无穷处参数 $\{{\lambda }_j\},\{{\mu }_k\}$，定义

$${\Lambda }_L(s)=Q^{s/2}(\prod _{j=1}^{r_1}{\Gamma }_{\mathbb{R}}(s+{\lambda }_j))(\prod _{k=1}^{r_2}{\Gamma }_{\mathbb{C}}(s+{\mu }_k))L(s),$$

并要求存在 $|\epsilon |=1$ 使 ${\Lambda }_L(s)=\epsilon {\Lambda }_{\tilde{L}}(a-s)$。

定理 2.2（垂线增长配平）

假设 $\mathrm{deg}L=r_1+2r_2\ge 1$（存在至少一个 ${\Gamma }_{\mathbb{R}}$ 或 ${\Gamma }_{\mathbb{C}}$ 因子）。若 $L(s)$ 在任意闭竖条至多多项式增长，则对任意避开 ${\Lambda }_L$ 极点的 $\sigma \in \mathbb{R}$（或更一般的不穿越 ${\Lambda }_L$ 极点的闭竖条）存在 $c(\sigma )>0$ 使

$$|{\Lambda }_L(\sigma +it)|{\ll }_{\sigma }{e}^{-c(\sigma )|t|}(|t|\to \infty ),$$

其中指数衰减由 $\Gamma /\pi$ 因子的 Stirling 估计提供。中心轴 $\Re s=\frac{a}{2}$ 上的对称由完成功能方程 ${\Lambda }_L(s)=\epsilon {\Lambda }_{\tilde{L}}(a-s)$ 给出。

证明要点。 Stirling 估计与至少一个 $\Gamma$ 因子相乘给出指数级配平；$L(s)$ 的多项式增长不改变指数主导；功能方程由局部—整体匹配成立。

3. Weil 显式公式（接口版）

3.1 试验核与 Fourier–Laplace 变换

取偶函数 $h:\mathbb{C}\to \mathbb{C}$，满足：

• (H1) $h$ 为偶函数，且在 $\mathbb{C}$ 上全纯（或至少在所有 $i(\rho -\frac{a}{2})$ 所在带上全纯），并在实轴上满足 $|h(t)|\ll (1+|t|{)}^M$（某 $M\ge 0$）；
• (H2) 其 Fourier 变换

$$\hat{h}(x):=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-itx}dt$$

为紧支撑或指数衰减（Paley–Wiener 型）；

• (H3) 与 S4 的有限阶 EM 相容：一切求和—积分—移线均受 S1 的 C0–C3 与 S4 的主导/一致条件保障。

3.2 显式公式（统一模板）

设 ${\Lambda }_L(s)$ 满足 §2 的完成功能方程与增长条件（一般情形配对对象为 ${\Lambda }_{\tilde{L}}$）。默认 ${\Lambda }_L$ 在所用移线邻域全纯（或已知极点集与阶）；若存在极点，则 (EF) 右端需加上相应留数项（模板不改变其它项的记账方式）。记 $\mathcal{Z}$ 为 ${\Lambda }_L(s)$ 的所有非平凡零（按重数），则有恒等式

$$\boxed{\sum _{\rho \in \mathcal{Z}}h\left(i(\rho -\frac{a}{2})\right)=\hat{h}(0)\log Q+\sum _{\text{Arch}}{\mathcal{A}}_r[h]-\sum _p\sum _{m\ge 1}\frac{\log p}{p^{ma/2}}\left(\sum _{j=1}^{d_p}{\alpha }_{p,j}^m\right)\hat{h}\left(m\log p\right).}\text{\hspace{1em}(EF)}$$

若 $\Lambda$ 在积分移线所涉域内存在极点，则右端需另加对应留数项（随实例给出标准记账）；本项不影响 $\hat{h}(0)\log Q$、${\mathcal{A}}_r[h]$ 与素数端求和的结构。

其中 ${\mathcal{A}}_r[h]$ 为由 $r(s)$ 的 $\Gamma$-因子对数导数与 $h$ 诱导的无穷处项，可写作

$${\mathcal{A}}_r[h]:=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }h(t)\Re \left(\frac{r^{\prime }}{r}\left(\frac{a}{2}+it\right)\right)dt$$

的线性组合（按 ${\Gamma }_{\mathbb{R}},{\Gamma }_{\mathbb{C}}$ 分项记账）。素数端出现 von Mangoldt 型权 $\log p$ 与局部迹 ${\sum }_j{\alpha }_{p,j}^m$。

证明要点。 在 $\Re s=\sigma$ 上考虑

$$\boxed{-\frac{{\Lambda }_L^{\prime }}{{\Lambda }_L}(s):=-\frac{1}{2}\log Q-\frac{r^{\prime }}{r}(s)+\sum _p\sum _{m\ge 1}\frac{\left({\sum }_{j=1}^{d_p}{\alpha }_{p,j}^m\right)\log p}{p^{ms}}},$$

以核 $H(s):=h(i(s-\frac{a}{2}))$ 乘上后沿竖线积分，并在有限阶 EM 与增长控制下移线至 $\Re s=\frac{a}{2}\pm \eta$，收集来自零点的留数得到左端；右端分别对应 $\log Q$ 项、无穷处 $\Gamma$-项与素数—素幂项，得 (EF)。

注（与 S2–S6 的拼接）。 (EF) 的素数—素幂结构在尺度侧为等距点列；$\hat{h}$ 的支撑/衰减给出沿尺度方向的窗函数；左端对零点的对称采样以中心轴为基准（S2 的横截、S5 的方向亚纯化），核选择可参照 S6 的变分准则。

4. 试验核选择的可检准则（接口版）

• (K1) 中心对称。 $h$ 必为偶函数，使采样沿 $\Re s=\frac{a}{2}$ 对称，兼容功能方程。
• (K2) 可交换性。 $\hat{h}$ 的衰减/支撑应使 (EF) 中对 $(p,m)$ 的双和与无穷处项可在 S1+S4 的管域内合法换序。
• (K3) 方向化匹配。 $\hat{h}$ 的主质量中心与方差可按 S5 的“指数率—极点“与 S6 的方差律匹配，以增强特定谱带的灵敏度（定性）。
• (K4) 二项局部化。 欲突出某对局部共轭参数，可令 $\hat{h}$ 于相应 $m\log p$ 邻域集中，利用 S2 的二项闭合形成“局部对消/增强“。

常用族。 高斯型 $h(t)=e^{-t^2/2}P(t^2)$（$\hat{h}$ 同型指数衰减）；Paley–Wiener 型带限核（$\hat{h}$ 紧支撑）；平滑窗的卷积封装便于 (K2)。

5. 接口化实例

5.1 Dirichlet $L(\chi ,s)$（degree $1$）

取原始特征 $\chi$ 与模数 $q$。在 $a=1$ 归一化下

$$\Lambda (\chi ,s)=q^{s/2}{\Gamma }_{\mathbb{R}}(s+{\lambda }_{\chi })L(\chi ,s),{\lambda }_{\chi }\in \{0,1\}\text{由奇偶性定},$$

$$\boxed{\Lambda (\chi ,s)=\epsilon (\chi )\Lambda (\bar{\chi },1-s),|\epsilon (\chi )|=1}.$$

(EF) 专化为

$$\sum _{\rho }h\left(i(\rho -\frac{1}{2})\right)=\hat{h}(0)\log q+{\mathcal{A}}_{{\Gamma }_{\mathbb{R}}}[h;{\lambda }_{\chi }]-\sum _p\sum _{m\ge 1}\frac{\log p}{p^{m/2}}\chi (p^m)\hat{h}(m\log p).$$

5.2 椭圆曲线 $L(E,s)$（degree $2$）

对 $E/\mathbb{Q}$ 的 Hasse–Weil 函数，取 $a=2$

$$\Lambda (E,s)=N_E^{s/2}(2\pi {)}^{-s}\Gamma (s)L(E,s),\Lambda (E,s)=\epsilon (E)\Lambda (E,2-s),|\epsilon (E)|=1,$$

其中 $N_E$ 为 conductor。设局部迹 $a_{p^m}(E)$ 适当归一化，则

$$\sum _{\rho }h\left(i(\rho -1)\right)=\hat{h}(0)\log N_E+{\mathcal{A}}_{{\Gamma }_{\mathbb{C}}}[h]-\sum _p\sum _{m\ge 1}\frac{\log p}{p^m}{a}_{p^m}(E)\hat{h}(m\log p).$$

度 $2$ 源于一个 ${\Gamma }_{\mathbb{C}}$ 因子，且与 S3–S4 的模板拼接一致。

6. 反例与边界族（失效原因标注）

• R7.1（非有限阶 EM）。 采用无穷阶伯努利展开将破坏一致可和并引入伪奇点；应坚持有限阶版本。
• R7.2（非法换序）。 若素数—素幂—无穷处三重求和/积分未受 S1+S4 约束，移线与留数计算即失合法性。
• R7.3（核不对称/衰减不足）。 $h$ 非偶或 $\hat{h}$ 衰减不足将破坏中心轴对称与素数端收敛。
• R7.4（方向退化）。 若归一化后 ${\alpha }_{p,j}$ 在尺度侧同速，方向化区分度下降（参见 S5 对退化的讨论）。

7. 统一“可检清单“（最小充分条件）

1. 完成功能方程。 给出 $Q>0$、$a\in \mathbb{R}$、$r(s)$ 使 ${\Lambda }_L(s)=Q^{s/2}r(s)L(s)$ 且 ${\Lambda }_L(s)=\epsilon {\Lambda }_L(a-s)$（$L$ 为 $L$ 的对偶/伴随）。
2. 欧拉积合法域。 在 S1 管域/条带内明确绝对收敛与换序；素数端与 $\Gamma$-端求和/积分满足主导/一致条件。
3. 有限阶 EM。 端点与离散—连续桥仅用有限阶 EM；伯努利层与余项为整/全纯层，“极点 = 主尺度”。
4. 试验核。 $h$ 偶、带内全纯，$\hat{h}$ 紧支撑或指数衰减；确保 (EF) 可交换与素数端可控。
5. 方向化/增长。 用 $\Gamma /\pi$ 衰减与指数–多项式框架控制垂线增长与极点定位（S3+S5）。
6. 信息刻度（可选）。 以 S6 的 $\Lambda$–${\Lambda }^{\ast }$ 变分式指导核的谱带定位与窗宽选择（定性）。

8. 与其它篇章的接口

• ← S2（加法镜像与横截）。 局部二项闭合与“平衡超平面“为素数端窗函数的局部化提供几何图像。
• ← S3（自反核—完成函数）。 $\Gamma /\pi$ 正规化与中心轴 $a$ 的对称构成完成函数模板。
• ← S4（有限阶 EM）。 换序、端点与离散—连续桥均由有限阶 EM 保障，“极点 = 主尺度“在 (EF) 的导出中自然呈现。
• ↔ S5（沿方向亚纯化）。 方向化的极点/零结构与素数端的衰减/放大策略互补；指数–多项式律刻画极点阶与位置。
• ↔ S6（信息刻度）。 $\Lambda$ 的方差律与对偶为核选择与谱带定位提供信息—几何度量（定性）。

结语

本篇以母映射语法将“欧拉积—完成函数—显式公式“接口化：degree 与 conductor 在 $\Gamma /\pi$ 正规化与全局尺度 $Q$ 中得到统一记账；完成函数以中心轴 $a$ 的对称实现功能方程；显式公式把零集谱与素数端局部数据以同一核 $h$ 对偶缝合；有限阶 EM 保证解析合法性与“极点 = 主尺度“。与 S2–S6 的几何、对称、延拓、方向与信息结构共同构成面向一般 $L$-函数的可检、可拼接、可移植的统一接口。