S23. 多窗/多核协同优化：帧算子、广义 Wexler–Raz 双正交与帕累托前沿

—— 带限偶子空间上的多目标变分、强凸/稀疏两范与“极点 = 主尺度“的多窗保持

摘要（定性）

在 Paley–Wiener 带限偶子空间中，建立面向窗化谱读数与窗化迹的多窗/多核协同优化统一框架：以 Nyquist–Poisson–Euler–Maclaurin 的三分解误差为驱动，将单窗 L² 强凸与 L¹ 稀疏问题推广为向量窗与帧算子层面的多目标变分；用加权和与 ε-约束刻画帕累托前沿；给出强凸版的存在唯一性与频域核型—时域高阶常系数方程的必要条件，以及稀疏版的投影式 KKT/证书。结构上，以帧算子与广义 Wexler–Raz 双正交刻画最优多窗：线性无关时出现 δ-型双正交，存在冗余时由 Gram 伪逆给出 $G{G}^{†}$ 型双正交与在张成子空间内的稳定重构。证明在有限阶换序纪律与 Nyquist 约束下，多窗拼接不产生新奇性、极阶不升，从而保持“极点 = 主尺度“，并给出可实施模板、失效边界与复现清单。

0. 预备与记号

0.1 Fourier 规范与带限投影

$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(t)e^{-it\xi }dt,f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )e^{it\xi }d\xi .$$

Paley–Wiener 带限偶子空间

$${\mathrm{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}=\{w\in L^2(\mathbb{R}):\mathrm{supp}\hat{w}\subset [-\Omega ,\Omega ],w(t)=w(-t)\}.$$

缩放 $w_R(t):=w(t/R)$ 满足 $\widehat{w_R}(\xi )=R\hat{w}(R\xi )$。为保持带限，缩放后统一取带限投影

$$P_{\Omega }{w}_R:={\mathcal{F}}^{-1}(1_{[-\Omega ,\Omega ]}(\xi )\widehat{w_R}(\xi )),$$

并以 $P_{\Omega }{w}_R$ 参与一切变分与实现。

0.2 向量窗、三分解误差与工作纪律

向量窗 $W=(w^{(1)},\dots ,w^{(K)})\in ({\mathrm{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}{)}^K$，归一约束

$$w^{(\ell )}(0)=1(1\le \ell \le K).$$

卷积记为 $\star$。在测试核 $h$（$|h{|}_{\mathfrak{H}}\le 1$）与谱密度 $\rho$ 及参照 ${\rho }_0$ 下，窗化读数

$$g_{\mathrm{spec}}^{(\ell )}=(h\cdot P_{\Omega }{w}_R^{(\ell )})\star \rho ,g_0^{(\ell )}=(h\cdot P_{\Omega }{w}_R^{(\ell )})\star {\rho }_0.$$

误差采用别名/伯努利层/截断的三分解

$$\mathfrak{E}={\mathfrak{E}}_{\mathrm{alias}}+{\mathfrak{E}}_{\mathrm{EM}(M)}+{\mathfrak{E}}_{\mathrm{trunc}},$$

其中 Euler–Maclaurin（EM）仅取固定有限阶 $M\ge 2$。假设：

假设 A（正则性）：在固定 $(\Delta ,M,T)$ 下，$\mathfrak{E}$ 对 $w$ 凸、下半连续，并由 ${\sum }_j|w^{(j)}{|}_{L^2}$ 与 $|1_{\{|t|>T\}}w{|}_{L^2}$ 的线性界控制；对卷积与加和稳定。

0.3 帧算子、Gram 矩阵与广义 Wexler–Raz 双正交

在 $H=L^2([-\Omega ,\Omega ],\frac{d\xi }{2\pi })$ 中，记 ${\hat{w}}^{(\ell )}\in H$。分析/合成算子

$$T_W\varphi =(⟨\varphi ,{\hat{w}}^{(1)}{⟩}_H,\dots ,⟨\varphi ,{\hat{w}}^{(K)}{⟩}_H),T_W^{\ast }c=\sum _{\ell =1}^K{c}_{\ell }{\hat{w}}^{(\ell )}.$$

帧算子 ${\mathcal{S}}_W=T_W^{\ast }{T}_W$，Gram 矩阵 $G=T_W{T}_W^{\ast }\in {\mathbb{C}}^{K\times K}$，$G_{\ell q}=⟨{\hat{w}}^{(\ell )},{\hat{w}}^{(q)}{⟩}_H$。令 $\mathcal{V}=\overline{\mathrm{span}}\{{\hat{w}}^{(\ell )}\}$。

定义 0.1（Parseval on $\mathcal{V}$）：若 ${\mathcal{S}}_W=P_{\mathcal{V}}$，称 $W$ 为紧帧（Parseval on $\mathcal{V}$）。

注：本文“紧帧“仅指在张成子空间 $\mathcal{V}$ 上 Parseval；当 $\mathcal{V}=H$ 时退化为经典 Parseval 帧。

命题 0.2（广义双正交与重构） 设 $\tilde{\mathbf{w}}:=({\hat{\tilde{w}}}^{(1)},\dots ,{\hat{\tilde{w}}}^{(K)})=\mathbf{w}{G}^{†}$（矩阵作用于窗索引），则

$$\sum _{\ell =1}^K⟨\varphi ,{\hat{\tilde{w}}}^{(\ell )}{⟩}_H{\hat{w}}^{(\ell )}=P_{\mathcal{V}}\varphi (\varphi \in H),$$

且

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\Omega }^{\Omega }{\hat{w}}^{(\ell )}(\xi )\overline{{\hat{\tilde{w}}}^{(q)}(\xi )}d\xi =(G{G}^{†}{)}_{\ell q}.$$

若 $\{{\hat{w}}^{(\ell )}\}$ 线性无关（$\dim \mathcal{V}=K$），则 $G$ 可逆，$G{G}^{†}=I$，上式退化为 Kronecker δ 正交

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\Omega }^{\Omega }{\hat{w}}^{(\ell )}\overline{{\hat{\tilde{w}}}^{(q)}}d\xi ={\delta }_{\ell q}.$$

说明：此处 $G^{†}$ 指 Moore–Penrose 伪逆；由 $F(F^{\ast }F{)}^{†}{F}^{\ast }=P_{\mathcal{V}}$（其中 $F=T_W^{\ast }$）可得结论。Parseval on $\mathcal{V}$ 仅保证 $P_{\mathcal{V}}$ 型重构；只有当窗族线性无关（$\dim \mathcal{V}=K$）时，才出现 δ-型双正交；存在冗余时为 $G{G}^{†}$ 型广义双正交。数值实现建议监控 $\kappa (G)$ 并保持其有界，以确保谱投影与重构稳定。

1. 多目标与帕累托前沿

对每窗设代价向量

$${\mathbf{J}}^{(\ell )}(w^{(\ell )})=(\mathfrak{E}(g_{\mathrm{spec}}^{(\ell )}),\mathfrak{E}(g_0^{(\ell )}))\in {\mathbb{R}}_{+}^2,$$

总体代价 $\mathbf{J}(W)=({\mathbf{J}}^{(1)},\dots ,{\mathbf{J}}^{(K)})\in {\mathbb{R}}_{+}^{2K}$。称 $W$ 为帕累托优，若不存在 $\tilde{W}$ 使所有分量不劣且至少一项严格更好。

定理 1.1（加权和与帕累托） 在假设 A 下，任意正权 $({\alpha }_{\ell },{\beta }_{\ell }{)}_{1\le \ell \le K}$ 的加权和

$${\mathcal{J}}_{\Sigma }(W)=\sum _{\ell =1}^K({\alpha }_{\ell }\mathfrak{E}(g_{\mathrm{spec}}^{(\ell )})+{\beta }_{\ell }\mathfrak{E}(g_0^{(\ell )}))$$

的极小元皆为帕累托点。若进一步 $\mathbf{J}(\mathcal{C})$（$\mathcal{C}$ 为可行集）为凸闭，则每个帕累托点均由某组正权实现。一般非凸像集下，加权和方法仅覆盖支持型帕累托点；非支持点可采用 $\epsilon$-约束法求解。

2. L² 强凸多窗：存在唯一与必要条件

2.1 强凸模型与工作域

取整数 $M\ge 2$、系数 ${\gamma }_j>0$（$j=0,1,\dots ,M-1$）、$\lambda >0$，定义

$${\mathcal{J}}_{\mathrm{BL}}(W)=\sum _{\ell =1}^K(\sum _{j=0}^{M-1}{\gamma }_j|(P_{\Omega }{w}_R^{(\ell )}{)}^{(2j)}{|}_{L^2}^2+\lambda |1_{\{|t|>T\}}{P}_{\Omega }{w}_R^{(\ell )}{|}_{L^2}^2).$$

说明：加入 $j=0$ 项（即 ${\gamma }_0|P_{\Omega }{w}_R^{(\ell )}{|}_{L^2}^2$）确保低频控制与整体强凸/胁迫性。

帧惩罚取 Hilbert–Schmidt 型

$$\Psi (W)=|{\mathcal{S}}_W-P_{\mathcal{V}}{|}_{\mathrm{HS}}^2\text{或}\Psi (W)=|{\mathcal{S}}_W-P_{{\mathcal{V}}_0}{|}_{\mathrm{HS}}^2,$$

其中 ${\mathcal{V}}_0$ 为预设目标子空间。

定理 2.1（存在唯一） 在上述条件与假设 A 下，若 $\Psi$ 弱下半连续（例如 $\Psi$ 凸，或由对 $W$ 弱连续的有界线性算子与凸函数复合而得），则 ${\mathcal{J}}_{\mathrm{BL}}+\Psi$ 在可行集 $\mathcal{C}=\{W\in ({\mathrm{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}{)}^K:w^{(\ell )}(0)=1\}$ 上存在极小元。若 ${\gamma }_j>0$（$j=0,\dots ,M-1$）、$\lambda >0$，且 $\Psi$ 与 ${\mathcal{J}}_{\mathrm{BL}}$ 共同强凸，则极小元唯一。

注：上述 Hilbert–Schmidt 型 $\Psi (W)=|{\mathcal{S}}_W-P_{\mathcal{V}}{|}_{\mathrm{HS}}^2$ 对 $W$ 一般非凸；若采用此类结构正则化，则仅讨论/处理局部极小（不主张全局存在与唯一性）。必要条件（§2.2/2.3）的推导对局部极小同样有效。

工作域说明：在必要条件的推导与数值实现中，假设 $\{{\hat{w}}^{(\ell )}\}$ 线性无关且 Gram 矩阵一致可逆，使 $\dim \mathcal{V}$ 固定，$W\mapsto P_{\mathcal{V}}$ 在该域内 Fréchet 可微。数值实现中建议监控 $\kappa (G)$ 并保持 $\kappa (G)$ 有界，以免 $P_{\mathcal{V}}(W)$ 的导数不稳。

2.2 频域必要条件（核型形式）

存在常数乘子 $\eta \in {\mathbb{C}}^K$（与 $\xi$ 无关）与自伴核 $\Gamma (\xi ,\eta )$（来自帧惩罚/约束）使在 $|\xi |\le \Omega$ 上

$$\left(\sum _{j=0}^{M-1}{\gamma }_j{\xi }^{4j}\right){\hat{\mathbf{w}}}_R(\xi )+\lambda (\widehat{1_{\{|t|>T\}}}\star {\hat{\mathbf{w}}}_R)(\xi )+{\int }_{-\Omega }^{\Omega }\Gamma (\xi ,\eta ){\hat{\mathbf{w}}}_R(\eta )\frac{d\eta }{2\pi }=\eta ,$$

其中 ${\hat{\mathbf{w}}}_R=(\widehat{P_{\Omega }{w}_R^{(1)}},\dots ,\widehat{P_{\Omega }{w}_R^{(K)}}{)}^{\top }$；$\eta \in {\mathbb{C}}^K$ 为与 $\xi$ 无关的常数向量，其时域对应 ${\eta }_{\ell }{\delta }_0$。当惩罚取点态标量型时，$\Gamma (\xi ,\eta )=\Lambda (\xi )2\pi \delta (\xi -\eta )$，从而通道解耦并可同时对角化。典型例子： $\Psi (W)=\int {\lambda }_0(\xi )[{\sum }_{\ell }|{\hat{w}}^{(\ell )}(\xi ){|}^2-c(\xi ){]}^2\frac{d\xi }{2\pi }$；若再加 $\sigma \int {\sum }_{\ell }|{\hat{w}}^{(\ell )}(\xi ){|}^2\frac{d\xi }{2\pi }$ 并取 $\sigma (\xi )\ge 2{\lambda }_0(\xi )c(\xi )$（a.e.），则 $\Psi +\sigma \int {\sum }_{\ell }|{\hat{w}}^{(\ell )}{|}^2$ 对 $W$ 凸（逐点 integrand 为 $u\mapsto {\lambda }_0(u-c{)}^2+\sigma u$，其对 $u\ge 0$ 凸且单调不减；由凸函数复合规则知整体凸）；配合 $j=0$ 项得强凸。

2.3 时域 Euler–Lagrange 与界面条件

记 ${\mathcal{L}}_{\ell q}$ 为帧惩罚导出的零阶耦合算子（时域卷积-零阶）。则在分布意义下

$$\sum _{j=0}^{M-1}{\gamma }_j{\partial }_t^{4j}{P}_{\Omega }{w}_R^{(\ell )}+\lambda 1_{\{|t|>T\}}{P}_{\Omega }{w}_R^{(\ell )}+\sum _{q=1}^K({\mathcal{L}}_{\ell q}{P}_{\Omega }{w}_R^{(q)})+{\eta }_{\ell }{\delta }_0=0.$$

在 $|t|<T$ 内为常系数 ODE（最高阶 $4(M-1)$），外侧附加零阶质量项；在 $t=\pm T$ 处由分部积分得到连续到阶 $4(M-1)-1$ 的自然匹配条件。匹配条件来自分部积分消去界面分布项，保证无伪 Dirac 残留。

3. L¹ 稀疏多窗：投影式 KKT 与证书

考虑

$$\underset{W\in \mathcal{C}}{\min }\sum _{\ell =1}^K(\sum _{j=0}^{M-1}{\alpha }_j|(P_{\Omega }{w}_R^{(\ell )}{)}^{(2j)}{|}_{L^1}+\beta |1_{\{|t|>T\}}{P}_{\Omega }{w}_R^{(\ell )}{|}_{L^1}).$$

取亚梯度 ${\mu }_j^{(\ell )}\in \mathrm{sign}((P_{\Omega }{w}_R^{(\ell )}{)}^{(2j)})$， ${\nu }^{(\ell )}\in \mathrm{sign}\left(1_{\{|t|>T\}}{P}_{\Omega }{w}_R^{(\ell )}\right)$。 设 ${\mathbf{\mu }}_j=({\mu }_j^{(1)},\dots ,{\mu }_j^{(K)}{)}^{\top },\mathbf{\nu }=({\nu }^{(1)},\dots ,{\nu }^{(K)}{)}^{\top }$。则存在常数 $\eta$ 与帧约束伴随 ${\mathcal{L}}^{♯}$ 使

$$P_{({\mathrm{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}{)}^K}(\sum _{j=0}^{M-1}{\alpha }_j{\partial }_t^{2j}{\mathbf{\mu }}_j+\beta 1_{\{|t|>T\}}\mathbf{\nu }+{\mathcal{L}}^{♯}W+\eta {\delta }_0)=0,$$

且对所有可行微扰 $\Delta W$ 有 ${\sum }_{\ell ,j}{\alpha }_j\int {\mu }_j^{(\ell )}(\Delta w_R^{(\ell )}{)}^{(2j)}dt+\beta {\sum }_{\ell }\int {\nu }^{(\ell )}{1}_{\{|t|>T\}}\Delta w_R^{(\ell )}dt\ge 0$。

注（Fenchel–Rockafellar 对偶证书）：上述 KKT 条件等价于 Fenchel–Rockafellar 对偶的鞍点条件；数值实现时可通过监控原始—对偶残差与对偶间隙验证收敛性。${\mathcal{L}}^{♯}$ 的定义域应与 $({\mathrm{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}{)}^K$ 在 $L^2$ 内积下对偶。

4. BN–Bregman 软化、Γ-极限与稳定

令 $\Phi$ 为 Legendre 型势（下半连续、真、严格可积），$\mathcal{T}$ 为有界线性映射（逐窗或跨窗），考虑

$$\underset{W\in \mathcal{C}}{\min }{\mathcal{J}}_{\Sigma }(W)+\tau {\Phi }^{\ast }(\mathcal{T}W)(\tau >0),$$

并以 Bregman 距离 $D_{\Phi }$ 度量软/硬偏差。

定理 4.1（Γ-极限） 假设 $\Phi$ 为下半连续、真、严格可积的 Legendre 型势，$\mathcal{T}$ 有界线性，${\mathcal{J}}_{\Sigma }$ 强凸且与 ${\Phi }^{\ast }\circ \mathcal{T}$ 共同给出等胁迫族。则当 ${\tau }_n\downarrow 0$ 时，${\mathcal{J}}_{\Sigma }+{\tau }_n{\Phi }^{\ast }\circ \mathcal{T}$ 在 $((L^2{)}^K)$-拓扑下对 ${\mathcal{J}}_{\Sigma }$ Γ-收敛；任一极小序列存在收敛子列趋于硬问题极小元，且目标值收敛。

定理 4.2（对数据的李普希茨稳定） 若 ${\mathcal{J}}_{\Sigma },{\hat{\mathcal{J}}}_{\Sigma }$ 在可行域上同为 $\mu$-强凸，且梯度 $L$-Lipschitz，则其极小元 $W^{\star },{\hat{W}}^{\star }$ 满足

$$|W^{\star }-{\hat{W}}^{\star }{|}_{(L^2{)}^K}\le \frac{1}{\mu }|\nabla {\mathcal{J}}_{\Sigma }(W^{\star })-\nabla {\hat{\mathcal{J}}}_{\Sigma }(W^{\star }){|}_{(L^2{)}^K},$$

右端由 $|\rho -\hat{\rho }|+|{\rho }_0-{\hat{\rho }}_0|+|\mathcal{T}-\hat{\mathcal{T}}|$ 的线性量纲控制。

5. 结构最优性：紧帧与（广义）Wexler–Raz 双正交

定理 5.1（双帧结构与最优） 在 Parseval on $\mathcal{V}$ 的约束或惩罚下，极小对 $(W^{\star },{\tilde{W}}^{\star })$ 满足： (i) 各自满足 §2 的频域核型—时域必要条件； (ii) 若帧惩罚为点态标量型，则 ${\mathcal{S}}_{W^{\star }}$ 在 ${\mathcal{V}}^{\star }$ 上对角化，$\{{\hat{w}}^{(\ell )}\}$、$\{{\hat{\tilde{w}}}^{(\ell )}\}$ 同时对角化给出 Parseval 结构； (iii) 当 $K=1$ 且把截断改为硬约束（或其权重趋于无穷），并仅保留带限与时间/能量集中约束时，精确回收 Slepian–Pollak/PSWF 经典变分。

6. 多窗拼接下“极点 = 主尺度“的保持与阈值稳定

6.1 多窗线性算子与奇性保持

令母对象 $\Xi$ 在竖条 $a<\Re z<b$ 内亚纯、极点阶有限。定义多窗拼接

$${\Xi }_W:=\sum _{\ell =1}^K{\mathcal{T}}_{\ell }[P_{\Omega }{w}_R^{(\ell )};\Xi ],$$

其中 ${\mathcal{T}}_{\ell }$ 为由窗化、Poisson 求和与有限阶 EM 换序生成的线性算子。

假设满足以下条件：

(H1) 整函数指数型窗：各 $P_{\Omega }{w}_R^{(\ell )}$ 为 Paley–Wiener 带限函数，在复平面为指数型整函数。

(H2) Nyquist 匹配与可交换性：Nyquist 条件满足，使得别名项不将奇性搬移到新位置；Poisson 求和与有限阶 EM 的换序操作在 $\Xi$ 的解析带内合法且可交换。

(H3) 通道主部非相消：对任意极点 $p\in \mathrm{Sing}(\Xi )$，若至少有一窗在对应通道上非零，则各通道极点主系数的线性组合不为 0。

定理 6.1（奇性不增、极阶不升） 在条件 (H1)–(H2) 下，

$$\mathrm{Sing}({\Xi }_W)\subseteq \mathrm{Sing}(\Xi ),{\mathrm{ord}}_p({\Xi }_W)\le {\mathrm{ord}}_p(\Xi )(\forall p\in \mathrm{Sing}(\Xi )).$$

若再满足 (H3)，则对存在非零通道的极点 $p$ 有 ${\mathrm{ord}}_p({\Xi }_W)={\mathrm{ord}}_p(\Xi )$。

6.2 相位—谱密度词典在多窗下的稳定

设 $m$ 为 Weyl–Titchmarsh 函数，$\rho =\frac{1}{\pi }\Im m$ 为谱密度，$\phi$ 为 de Branges 相位（或散射相位 $\delta$ 的等价表示）。在 trace-normalized 规范系统/标准 de Branges 规范下，a.e. 有

$${\phi }^{\prime }(x)=\pi \rho (x).$$

注：此关系依赖于规范选择。在标准 de Branges 空间中，${\phi }^{\prime }(x)dx$ 给出自然测度密度；Weyl–Titchmarsh 函数 $m$ 为 Herglotz 函数，满足 $\Im m(x+i0)=\pi \rho (x)$。

定义

$${\phi }^{\prime }\star W:=\sum _{\ell =1}^K{\mathcal{T}}_{\ell }[P_{\Omega }{w}_R^{(\ell )};{\phi }^{\prime }],$$

则在多窗窗化后满足

$$|{\phi }^{\prime }\star W-{\phi }^{\prime }|\lesssim {\mathfrak{E}}_{\mathrm{alias}}+{\mathfrak{E}}_{\mathrm{EM}(M)}+{\mathfrak{E}}_{\mathrm{trunc}},$$

故阈值集合的局部偏移受三分解误差线性控制。

7. 模板与例

例 7.1（频带划分的 Parseval-on-span） 将 $[-\Omega ,\Omega ]$ 划为 $K$ 个子带，取 ${\hat{w}}^{(\ell )}$ 为各子带指示的平滑化，校准使 ${\sum }_{\ell }|{\hat{w}}^{(\ell )}(\xi ){|}^2\approx 2\pi 1_{[-\Omega ,\Omega ]}(\xi )$。 帧惩罚取点态标量型，必要条件通道解耦。数值实现中监控 $\kappa (G)$ 并做能量均衡以保持稳定性。

例 7.2（PSWF 单窗极限） $K=1$，将截断改为硬约束（或其权重趋于无穷，等价于 $\lambda \to \infty$ 的软—硬极限），并仅保留带限与时间/能量集中约束，得到 Slepian–Pollak 的 PSWF 变分问题。

例 7.3（两窗协同：伯努利层 vs. 截断） 低频窗采用高阶导数罚抑制 EM 伯努利层，高频窗用指数尾抑制截断项；以 BN–Bregman 软化耦合取帕累托前沿点。

8. 失效边界与工作纪律

1. 有限阶换序：仅使用固定阶 EM（$M$ 固定），明示不使用无穷阶 EM。无限阶会引入伪奇性与非法换序，破坏解析结构。
2. 带限维护：缩放后统一以 $P_{\Omega }{w}_R$ 入模；或仅取 $R\ge 1$。
3. 帧退化：靠近线性相关/秩突变时 $P_{\mathcal{V}}$ 的导数不稳；需保持 $\kappa (G)$ 受控，或改用固定 ${\mathcal{V}}_0$ 的惩罚。
4. Nyquist 失配：别名主导误差；需增大带宽/采样或提高窗平滑度。

9. 复现实验最小清单

1. 可行类：$W\in ({\mathrm{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}{)}^K$，各 $w^{(\ell )}(0)=1$。
2. 带限纪律：一律以 $P_{\Omega }{w}_R$ 进入变分与实现。
3. 三分解参数：$(\Delta ,M,T)$ 与 $|h{|}_{\mathfrak{H}}\le 1$；显式验证 Nyquist 条件。
4. 强凸版：给出频域核型 EL 与时域 ODE + 自然匹配条件。
5. 稀疏版：给出投影式 KKT/证书与亚梯度饱和集合。
6. 帧结构：计算 $G$、$G^{†}$，展示 $G{G}^{†}$ 型双正交重构；线性无关时验证 δ-型。数值上用 SVD/截断伪逆与阈值策略，控制 $\kappa (G)$ 以保持稳定性。
7. 稳定性：验证 Γ-极限与解映射 Lipschitz 不等式的数值实例。
8. 奇性保持：在标准测试族上检验条件 (H1)–(H3) 下的“奇性不增、极阶不升“与阈值偏移上界。

10. 与既有篇章的接口

• S15（Weyl–Heisenberg 酉表示）：多窗族 $\{U_{\tau }{V}_{\sigma }{w}^{(\ell )}\}$ 在相位—尺度群下的协变性保证帧算子 ${\mathcal{S}}_W$ 在群平均下的对角化结构；等距性使多目标 ${\mathcal{J}}_{\Sigma }$ 在群作用下不变。
• S16（de Branges–Krein 规范系统）：多窗应用于规范系统评估时，传递矩阵 $M(t,z)$ 的 $J$-酉性与偶对称性保证频域核型方程（2.2）的 Hermite 实化；有限阶 EM 不引入新极点，与 de Branges 相位 ${\phi }^{\prime }$ 的单调性相容。
• S17（散射算子与功能方程）：多窗化散射相位 $\delta (x)=-2\phi (x)+\text{常数}$ 的导数 ${\delta }^{\prime }=-2\pi \rho$ 直接进入各通道目标 $g_{\mathrm{spec}}^{(\ell )}$；帧结构保证散射矩阵实轴酉性在多窗拼接下不被破坏。
• S18（轨道—谱窗化不等式）：本文多目标 ${\mathcal{J}}_{\Sigma }(W)$ 直接量化 S18 §3.3 的三分解误差；定理 2.1 与 3.1 的极小元给出 S18 “最优多窗/多核“的变分刻画。
• S19（谱图与 Ihara ζ）：§7 的离散图模板与 S19 §3 的离散轨道—谱窗化不等式对齐；Ihara ζ 的自倒数性对应离散频域的偶对称约束与多窗 Parseval 结构。
• S20（BN 投影—KL 代价—灵敏度）：§4 的 BN–Bregman 软化调用 S20 §3 的 Γ-极限定理；强凸条件下的李普希茨稳定性（定理 4.2）直接继承 S20 §4 的信息—能量链。
• S21（连续谱阈值与奇性稳定性）：§6 的“极点 = 主尺度“保持依赖 S21 定理 21.6 的奇性不增原理；阈值邻域稳健性（§6.2）调用 S21 定理 21.9 的 Bregman–KL 灵敏度链。
• S22（窗/核最优化）：本文将 S22 的单窗 L²/L¹ 变分推广至向量窗与帧算子层面；频域核型方程（2.2）与 S22 式（2.2）对齐，时域 Euler–Lagrange（§2.3）扩展为多窗耦合的 ODE 系统。

参考文献（线索）

Paley–Wiener；Slepian–Landau–Pollak（PSWF）；de Branges（整函数 Hilbert 空间）；Titchmarsh（函数论与特征函数展开）；Gröchenig（时频与帧）；Wexler–Raz（离散 Gabor 双帧）；Attouch（变分极限）；Rockafellar–Wets（变分分析）；Bauschke–Combettes（凸分析与单调算子）；Miettinen（多目标优化）。

附录 A：频域核型必要条件的变分推导（要点）

对 $|(P_{\Omega }{w}_R^{(\ell )}{)}^{(2j)}{|}_{L^2}^2=\int {\xi }^{4j}|\widehat{P_{\Omega }{w}_R^{(\ell )}}(\xi ){|}^2\frac{d\xi }{2\pi }$ 作 Gateaux 变分，产生乘子 ${\xi }^{4j}$；截断项 $|1_{\{|t|>T\}}{P}_{\Omega }{w}_R^{(\ell )}{|}_{L^2}^2$ 在频域为与 $\widehat{1_{\{|t|>T\}}}$ 的卷积二次型，一阶变分给出卷积项；帧惩罚 $\Psi (W)$ 的 Frechét 导数为零阶核型算子 $\int \Gamma (\xi ,\eta ){\hat{\mathbf{w}}}_R(\eta )\frac{d\eta }{2\pi }$。归一约束 $w^{(\ell )}(0)=1$ 对应时域 ${\eta }_{\ell }{\delta }_0$（频域常数）。综合即得 §2.2 的核型方程。