S24. 带限偶子空间上的紧框架与对偶窗

——移位系统的谱 Gram（纤维）表征、Wexler–Raz 双正交与“极点 = 主尺度“的框架保持

摘要（定性）

在 Paley–Wiener 带限偶子空间中，本文以均匀移位的多窗族为骨架，建立分析—合成的谱侧（纤维）Gram 表征与紧帧（Parseval 帧）充要条件；对任意步长给出矩阵 Gram 的一致谱界判据（含必要维数与秩条件），在 Nyquist 纪律下退化为标量判据。进一步，以 Wexler–Raz 型双正交关系（含矩阵等价形式）刻画对偶窗的存在与显式构造；在 Nyquist 条件下帧算子为有界乘子，对任意有界 Borel 函数的功能演算不引入新的零集；对全纯（或实解析）功能演算，若带内窗谱为解析，则相应解析性得以保持；在偶窗下与镜像对合可交换。最后，以 BN–Bregman 几何与 KL–Pinsker 链给出对乘子与窗扰动的李普希茨稳定性，并概述对数（Mellin）尺度与离散图（Ihara ζ）上的并行框架。全篇严格采用 Poisson—Nyquist—Euler–Maclaurin（有限阶）三分解纪律与 S18/S22 的 Fourier 规范与缩放记号。

0. 设定与记号

Fourier 规范与卷积（与 S18/S22 一致）

$$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(t)e^{-it\xi }dt,f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )e^{it\xi }d\xi ,$$

$\widehat{f\ast g}=\hat{f}\cdot \hat{g}$，$\widehat{fg}=\frac{1}{2\pi }\hat{f}\ast \hat{g}$。

带限偶子空间与缩放

$${\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}:=\{w\in L^2(\mathbb{R}):\mathrm{supp}\hat{w}\subset [-\Omega ,\Omega ],w(t)=w(-t)\}.$$

缩放 $w_R(t):=w(t/R)$ 满足 $\widehat{w_R}(\xi )=R\hat{w}(R\xi )$；当 $R>1$ 时，时域拉伸对应频域压缩，带宽缩小到 $\Omega /R$。

Nyquist—Poisson 纪律

本文核心等式（定理 24.1、24.4）基于Poisson 求和公式在带限条件下的精确恒等；若某带限函数满足 $\mathrm{supp}\hat{f}\subset [-\Omega ,\Omega ]$ 且 $\Delta \le \pi /\Omega$（Nyquist 条件），则频域周期复制无 alias 混叠（边界 $|\xi |=\Omega$ 属零测集，可忽略）。数值近似与 Euler–Maclaurin（EM）配方的细节见附录 B。

移位多窗族

给定步长 $\Delta >0$ 与窗组 $\mathbf{w}=(w_1,\dots ,w_r)\subset {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$，记

$$\mathcal{W}(\mathbf{w},\Delta ):=\{w_{\alpha }(\cdot -n\Delta ):\alpha =1,\dots ,r,n\in \mathbb{Z}\}.$$

1. 纤维化与谱 Gram 判据（一般步长与 Nyquist 退化）

设分析算子 $T_{\mathbf{w},\Delta }:L^2(\mathbb{R})\to {\ell }^2(\mathbb{Z}\times [r])$，

$$(T_{\mathbf{w},\Delta }f{)}_{n,\alpha }:=⟨f,w_{\alpha }(\cdot -n\Delta )⟩.$$

设基本带 ${\mathcal{B}}_{\Delta }:=[-\frac{\pi }{\Delta },\frac{\pi }{\Delta })$。定义

$$\mathbf{F}(\xi ):=(\hat{f}(\xi +\frac{2\pi m}{\Delta }){)}_{m\in \mathbb{Z}},{\mathbf{c}}_{\alpha }(\xi ):=\frac{1}{\sqrt{\Delta }}(\overline{{\hat{w}}_{\alpha }(\xi +\frac{2\pi m}{\Delta })}{)}_{m\in \mathbb{Z}},$$

$$\mathbf{G}(\xi ):=\sum _{\alpha =1}^r{\mathbf{c}}_{\alpha }(\xi ){\mathbf{c}}_{\alpha }(\xi {)}^{\ast }(\text{纤维 Gram 矩阵}).$$

定理 24.1（一般步长的纤维 Gram 表征）

对任意 $f\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$，定义活动 alias 集

$${\mathcal{M}}_{\Omega }(\xi ):=\{m\in \mathbb{Z}:|\xi +\frac{2\pi m}{\Delta }|\le \Omega \},M(\xi ):=|{\mathcal{M}}_{\Omega }(\xi )|.$$

令 ${\mathbf{G}}_{\Omega }(\xi )$ 为 $\mathbf{G}(\xi )$ 在坐标子空间 ${\mathbb{C}}^{{\mathcal{M}}_{\Omega }(\xi )}\subset {\ell }^2(\mathbb{Z})$ 的压缩（即仅保留 $m\in {\mathcal{M}}_{\Omega }(\xi )$ 的行列），${\mathbf{F}}_{\Omega }(\xi )$ 亦仅取 ${\mathcal{M}}_{\Omega }(\xi )$ 分量。则

$$\sum _{\alpha =1}^r\sum _{n\in \mathbb{Z}}|⟨f,w_{\alpha }(\cdot -n\Delta )⟩{|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{{\mathcal{B}}_{\Delta }}⟨{\mathbf{G}}_{\Omega }(\xi ){\mathbf{F}}_{\Omega }(\xi ),{\mathbf{F}}_{\Omega }(\xi )⟩d\xi .$$

从而 $\mathcal{W}(\mathbf{w},\Delta )$ 为 ${\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$ 的帧，当且仅当存在常数 $0<A\le B<\infty$ 使

$$A\le {\lambda }_{\min }({\mathbf{G}}_{\Omega }(\xi ))\le {\lambda }_{\max }({\mathbf{G}}_{\Omega }(\xi ))\le B\text{对 a.e. }\xi \in {\mathcal{B}}_{\Delta }.$$

等价地，也可用 $r\times r$ 生成元 Gram

$$\mathbf{H}(\xi ):=\left[\frac{1}{\Delta }\sum _{m\in \mathbb{Z}}\overline{{\hat{w}}_{\alpha }(\xi +\frac{2\pi m}{\Delta })}{\hat{w}}_{\beta }\right(\xi +\frac{2\pi m}{\Delta }){]}_{\alpha ,\beta =1}^r$$

给出同样的本质谱界判据：令 $C(\xi )=[{\mathbf{c}}_1(\xi )\cdots {\mathbf{c}}_r(\xi )]$（取活动别名分量），则 $\mathbf{H}(\xi )=C(\xi {)}^{\ast }C(\xi )$、${\mathbf{G}}_{\Omega }(\xi )=C(\xi )C(\xi {)}^{\ast }$；二者非零特征值一致（由 $C^{\ast }C$ 与 $C{C}^{\ast }$ 的奇异值一致性，见 Horn–Johnson 定理1.3.20），故本质谱界等价。

必要条件（一般步长）：应有

$$\boxed{r\ge \underset{\xi \in {\mathcal{B}}_{\Delta }}{\mathrm{esssup}}M(\xi ),}$$

且 $C(\xi )$ 在活动别名子空间对 a.e. $\xi$ 列满秩；Nyquist 时 $M(\xi )\equiv 1$ 自动满足。

证明要点：由 ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{e}^{in\Delta (\xi -\eta )}=\frac{2\pi }{\Delta }{\sum }_{m\in \mathbb{Z}}\delta (\xi -\eta -\frac{2\pi m}{\Delta })$ 的 Poisson 公式，将移位求和化为频域周期复制，得到基本带上的纤维化表达；二次型右端以纤维 Gram 的特征值界控制。

推论 24.2（Nyquist 条件下的标量判据）

若 $\Delta \le \pi /\Omega$，则对 a.e. $\xi \in [-\Omega ,\Omega ]$ 仅 $m=0$ 在 ${\mathcal{M}}_{\Omega }(\xi )$ 中，${\mathbf{G}}_{\Omega }(\xi )$ 退化为标量

$${\mathcal{G}}_{\mathbf{w},\Delta }(\xi )=\frac{1}{\Delta }\sum _{\alpha =1}^r|{\hat{w}}_{\alpha }(\xi ){|}^2,|\xi |\le \Omega .$$

在边界 $\Delta =\pi /\Omega$ 时，别名仅可能在 $|\xi |=\Omega$ 的零测集合发生；所有判据与恒等等式均以 a.e. 成立，故不受影响（端点 $|\xi |=\Omega$ 为零测，数值实现时无需特殊处理）。

数值实现提示：当 $\Delta =\pi /\Omega$ 时，建议在带内采用半开区间 $[-\Omega ,\Omega )$ 的采样/积分约定，以避免对零测端点的重复计数；理论等式均以 a.e. 成立，结论不受影响。

并有

$$\sum _{\alpha ,n}|⟨f,w_{\alpha }(\cdot -n\Delta )⟩{|}^2=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\Omega }^{\Omega }{\mathcal{G}}_{\mathbf{w},\Delta }(\xi )|\hat{f}(\xi ){|}^{2}d\xi .$$

从而 $\mathcal{W}(\mathbf{w},\Delta )$ 为帧当且仅当

$$0<A\le {\mathrm{essinf}}_{|\xi |\le \Omega }{\mathcal{G}}_{\mathbf{w},\Delta }(\xi ),{\mathrm{esssup}}_{|\xi |\le \Omega }{\mathcal{G}}_{\mathbf{w},\Delta }(\xi )\le B<\infty .$$

定理 24.3（Parseval 紧帧）

在 Nyquist 条件 $\Delta \le \pi /\Omega$ 下，$\mathcal{W}(\mathbf{w},\Delta )$ 为 Parseval 当且仅当

$$\boxed{\frac{1}{\Delta }\sum _{\alpha =1}^r|{\hat{w}}_{\alpha }(\xi ){|}^2\equiv 1\text{a.e. on }[-\Omega ,\Omega ].}$$

一般帧的界可取

$$A={\mathrm{essinf}}_{|\xi |\le \Omega }\frac{1}{\Delta }\sum _{\alpha }|{\hat{w}}_{\alpha }(\xi ){|}^2,B={\mathrm{esssup}}_{|\xi |\le \Omega }\frac{1}{\Delta }\sum _{\alpha }|{\hat{w}}_{\alpha }(\xi ){|}^2.$$

所有判据与恒等等式均以 a.e. 成立，故端点 $|\xi |=\Omega$ 为零测集，不影响结论；数值实现时无需对端点特殊处理。

2. Wexler–Raz 双正交与对偶窗

设合成族 $\tilde{\mathcal{W}}(\tilde{\mathbf{w}},\Delta ):=\{{\tilde{w}}_{\alpha }(\cdot -n\Delta )\}$。

定理 24.4（Wexler–Raz 条件：一般与 Nyquist 版）

以下两者等价：

(i) 重构公式：对一切 $f\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$,

$$f=\sum _{\alpha =1}^r\sum _{n\in \mathbb{Z}}⟨f,w_{\alpha }(\cdot -n\Delta )⟩{\tilde{w}}_{\alpha }(\cdot -n\Delta )(\text{在 }{L}^2\text{ 中收敛}).$$

(ii-a) 一般纤维条件（任意 $\Delta >0$）：对 a.e. $\xi \in {\mathcal{B}}_{\Delta }=[-\frac{\pi }{\Delta },\frac{\pi }{\Delta })$ 与一切 $m,n\in {\mathcal{M}}_{\Omega }(\xi )$，

$$\frac{1}{\Delta }\sum _{\alpha =1}^r\overline{{\hat{w}}_{\alpha }(\xi +\frac{2\pi m}{\Delta })}\widehat{{\tilde{w}}_{\alpha }}(\xi +\frac{2\pi n}{\Delta })={\delta }_{mn}(\text{a.e. }\xi \in {\mathcal{B}}_{\Delta }).$$

(ii-b) Nyquist 特例（$\Delta \le \pi /\Omega$）退化为：

$$\boxed{\frac{1}{\Delta }\sum _{\alpha =1}^r\overline{{\hat{w}}_{\alpha }(\xi )}\widehat{{\tilde{w}}_{\alpha }}(\xi )\equiv 1,|\xi |\le \Omega .}$$

等价地，矩阵式 WR 条件为

$$\boxed{C_{\Omega }(\xi ){\tilde{C}}_{\Omega }(\xi {)}^{\ast }=I_{M(\xi )}\text{(a.e. }\xi \text{)}}$$

其中 $C_{\Omega }(\xi )=[{\mathbf{c}}_{1,\Omega }(\xi )\cdots {\mathbf{c}}_{r,\Omega }(\xi )]\in {\mathbb{C}}^{M(\xi )\times r}$、${\tilde{C}}_{\Omega }(\xi )=[{\tilde{\mathbf{c}}}_{1,\Omega }(\xi )\cdots {\tilde{\mathbf{c}}}_{r,\Omega }(\xi )]\in {\mathbb{C}}^{M(\xi )\times r}$ 仅取活动别名分量，其列向量分别为

$${\mathbf{c}}_{\alpha ,\Omega }=\frac{1}{\sqrt{\Delta }}(\overline{{\hat{w}}_{\alpha }(\xi +\frac{2\pi m}{\Delta })}{)}_{m\in {\mathcal{M}}_{\Omega }(\xi )},{\tilde{\mathbf{c}}}_{\alpha ,\Omega }=\frac{1}{\sqrt{\Delta }}(\overline{{\hat{\tilde{w}}}_{\alpha }(\xi +\frac{2\pi m}{\Delta })}{)}_{m\in {\mathcal{M}}_{\Omega }(\xi )};$$

上式逐分量等价于

$$\frac{1}{\Delta }\sum _{\alpha =1}^r\overline{{\hat{w}}_{\alpha }(\xi +\frac{2\pi m}{\Delta })}\widehat{{\tilde{w}}_{\alpha }}(\xi +\frac{2\pi n}{\Delta })={\delta }_{mn}.$$

矩阵尺寸为 $M(\xi )\times M(\xi )$。Nyquist 时 $M(\xi )\equiv 1$ 退化为标量式 $\frac{1}{\Delta }{\sum }_{\alpha =1}^r\overline{{\hat{w}}_{\alpha }(\xi )}\widehat{{\tilde{w}}_{\alpha }}(\xi )\equiv 1$。

（Nyquist 版正则对偶） 若 $\Delta \le \pi /\Omega$ 且

$$G(\xi ):=\sum _{\alpha =1}^r|{\hat{w}}_{\alpha }(\xi ){|}^2,|\xi |\le \Omega ,$$

在带内有正下界，则正则对偶由

$$\widehat{{\tilde{w}}_{\alpha }}(\xi )=\frac{\Delta }{G(\xi )}{\hat{w}}_{\alpha }(\xi )(|\xi |\le \Omega )$$

给出；当 $G\equiv \Delta$ 时为 Parseval 紧帧且 ${\tilde{w}}_{\alpha }=w_{\alpha }$。

（一般步长提示） 若 $\Delta >\pi /\Omega$，则需用纤维矩阵的（伪）逆给出正则对偶（由 $C_{\Omega }(\xi ){\tilde{C}}_{\Omega }(\xi {)}^{\ast }=I_{M(\xi )}$ 推导），不再简化为标量 $G^{-1}$。

3. 紧帧的存在：谱分配与偶性

定理 24.5（谱分配构造）

给定带内正有界 $H\in L^{\infty }([-\Omega ,\Omega ])$ 且 $0<c\le H\le C$。存在 $\mathbf{w}\subset {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$ 使

$$\sum _{\alpha =1}^r|{\hat{w}}_{\alpha }(\xi ){|}^2=\Delta H(\xi )\text{a.e. }|\xi |\le \Omega .$$

在 Nyquist 条件 $\Delta \le \pi /\Omega$ 下，取 $H\equiv 1$ 得 Parseval 紧帧；若 $\Delta >\pi /\Omega$，上述谱分配仅确定标量能量形状，不足以保证 Parseval（因存在别名耦合，需要矩阵级单位性判据）。若需 $w_{\alpha }\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$，则应附加假设 $H(\xi )=H(-\xi )$ a.e.（或在构造中改用 $\frac{H(\xi )+H(-\xi )}{2}$ 的对称化）；在此前提下，取对称可测的单位分解 $\{p_{\alpha }{\}}_{\alpha =1}^r\subset L^{\infty }([-\Omega ,\Omega ])$ 使

$$\sum _{\alpha =1}^r|p_{\alpha }(\xi ){|}^2\equiv 1,p_{\alpha }(\xi )=p_{\alpha }(-\xi ),$$

并令

$${\hat{w}}_{\alpha }(\xi )=\sqrt{\Delta H(\xi )}{p}_{\alpha }(\xi )(|\xi |\le \Omega ),{\hat{w}}_{\alpha }(\xi )=0(|\xi |>\Omega ).$$

若需光滑性，可先取带内留边的分片光滑 $p_{\alpha }$ 并在带内归一化；避免在频域做会扩展支集的卷积操作，以保持 $\mathrm{supp}{\hat{w}}_{\alpha }\subset [-\Omega ,\Omega ]$。

证明要点：在 $H$ 为偶函数前提下，对称单位分解保持带限与偶性；模平方汇总即得目标能量分配。

4. 镜像与乘子—功能演算的零/非零结构保持

设镜像对合 $Jf(t)=f(-t)$。令帧算子

$$S_{\mathbf{w},\Delta }:=T_{\mathbf{w},\Delta }^{\ast }{T}_{\mathbf{w},\Delta }.$$

在 Nyquist 条件下，频域作用为带内点态乘子

$$\widehat{(S_{\mathbf{w},\Delta }f)}(\xi )=\frac{G(\xi )}{\Delta }\hat{f}(\xi ),|\xi |\le \Omega ,G(\xi )=\sum _{\alpha =1}^r|{\hat{w}}_{\alpha }(\xi ){|}^2.$$

乘子—功能演算的稳定性：Nyquist 下 $S_{\mathbf{w},\Delta }=M_b$ 为乘子（符号函数 $b(\xi )=G(\xi )/\Delta \in L^{\infty }([-\Omega ,\Omega ])$）；对任意有界 Borel 函数 $\phi$，有

$$\phi (S_{\mathbf{w},\Delta })=M_{\phi \circ b}.$$

因此其零集满足

$$\boxed{\{\xi :(\phi \circ b)(\xi )=0\}=b^{-1}\left(Z_{\phi }\right),}$$

即仅由 $\phi$ 的零集经 $b$ 的原像决定（不会出现与 $b$ 无关的“新“零集）。若再要求 $\phi$ 全纯（或实解析）且带内 ${\hat{w}}_{\alpha }$ 解析，则 $\phi \circ b$ 保持解析性（与谱定理的功能演算–复合律一致）；在此限定下，功能演算满足复合律 $g(\phi (S))=(g\circ \phi )(S)$，在乘子模型中即 $g(M_{\phi \circ b})=M_{(g\circ \phi )\circ b}$。当讨论有界可逆性（例如 $\phi (z)=z^{-1}$ 在 ${\inf }_{|\xi |\le \Omega }G(\xi )>0$ 下），$S_{\mathbf{w},\Delta }$ 及其逆均不产生新的零/非零结构。

镜像对易性：因每个 $w_{\alpha }$ 为偶函数，故 ${\hat{w}}_{\alpha }(\xi )$ 为偶，从而 $G(\xi )={\sum }_{\alpha }|{\hat{w}}_{\alpha }(\xi ){|}^2$ 为偶；频域镜像 $J$（对应 $\xi \mapsto -\xi$）与乘子 $G$ 对易，因此 $J{S}_{\mathbf{w},\Delta }=S_{\mathbf{w},\Delta }J$。

5. 稳定性：BN–Bregman 几何与谱 Gram 扰动

记 $G(\xi )={\sum }_{\alpha }|{\hat{w}}_{\alpha }(\xi ){|}^2$、$\tilde{G}(\xi )={\sum }_{\alpha }|{\hat{\tilde{w}}}_{\alpha }(\xi ){|}^2$，并设 ${\inf }_{|\xi |\le \Omega }G(\xi )\ge \gamma >0$。

由正则对偶 $\widehat{{\tilde{w}}_{\alpha }}(\xi )=\Delta G^{-1}(\xi ){\hat{w}}_{\alpha }(\xi )$，一阶变分为

$$\delta \widehat{{\tilde{w}}_{\alpha }}(\xi )=\Delta (G^{-1}(\xi )\delta {\hat{w}}_{\alpha }(\xi )-G^{-2}(\xi )\delta G(\xi ){\hat{w}}_{\alpha }(\xi )),|\xi |\le \Omega .$$

限定情形（仅重权，不改窗）

当 $w_{\alpha }$ 固定、仅 $G\mapsto G+\delta G$ 时（$\delta {\hat{w}}_{\alpha }=0$），正则对偶满足

$$\sum _{\alpha =1}^r\Vert \delta \widehat{{\tilde{w}}_{\alpha }}{\Vert }_{L^2([-\Omega ,\Omega ])}\le \Delta \Vert G^{-2}{\Vert }_{L^{\infty }([-\Omega ,\Omega ])}\Vert \delta G{\Vert }_{L^{\infty }([-\Omega ,\Omega ])}\sum _{\alpha =1}^r\Vert {\hat{w}}_{\alpha }{\Vert }_{L^2([-\Omega ,\Omega ])}.$$

一般情形（窗亦扰动）

若 $w_{\alpha }\mapsto w_{\alpha }+\delta w_{\alpha }$ 同时发生，则由三角不等式与上述一阶变分：

$$\sum _{\alpha =1}^r\Vert \delta \widehat{{\tilde{w}}_{\alpha }}{\Vert }_{L^2([-\Omega ,\Omega ])}\le \Delta \Vert G^{-1}{\Vert }_{L^{\infty }([-\Omega ,\Omega ])}\sum _{\alpha =1}^r\Vert \delta {\hat{w}}_{\alpha }{\Vert }_{L^2([-\Omega ,\Omega ])}+\Delta \Vert G^{-2}{\Vert }_{L^{\infty }([-\Omega ,\Omega ])}\Vert \delta G{\Vert }_{L^{\infty }([-\Omega ,\Omega ])}\sum _{\alpha =1}^r\Vert {\hat{w}}_{\alpha }{\Vert }_{L^2([-\Omega ,\Omega ])}.$$

上述两条估计的前提是 ${\inf }_{|\xi |\le \Omega }G(\xi )\ge \gamma >0$，保证正则对偶在Nyquist 条件下逐点成立。

注：在 BN–Bregman 软目标的强凸—平滑结构下，参数—解映射与值函数对数据的扰动李普希茨稳定；KL–Pinsker 链将统计侧的 KL/TV 偏差转译为窗/对偶窗的范数偏差，详见附录或 S20 的信息—能量—敏感度不等式链。

6. 相关并行框架（背景展望）

Mellin/Weyl–Heisenberg 作用：在对数变量 $x=\log t$ 下，尺度平移与相位调制生成的 Weyl–Heisenberg 系统 $\{V_{n{\sigma }_0}{U}_{m{\tau }_0}w\}$ 给出时—频格上的多窗帧。其纤维—Gram 判据与 Wexler–Raz 条件与本文平行；Walnut/Janssen 表达式提供帧算子的核/符号表示；Nyquist 型采样对应格点面积的临界约束。

离散图（Ihara ζ）并行：在 $(q+1)$-正则图上，非回溯算子与邻接算子的谱由 Bass 恒等式联结；长度变量的“移位—循环“结构诱导离散频域的周期复制，可在长度格上构造离散版的窗化迹与谱 Gram 判据；完成函数的自倒数性带来中心轴对称，与本文的镜像纪律一致。

这些并行结构的完整技术展开见相关专题文献（Gröchenig, Walnut, Casazza–Christensen–Janssen）。

7. 可检清单（最小充分条件）

1. 空间与窗：$\mathbf{w}\subset {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$；必要时用 $w_R(t)=w(t/R)$ 记录带宽 $\Omega$。
2. 采样纪律：Poisson 求和公式在带限下精确；Nyquist（$\Delta \le \pi /\Omega$）时别名为零；边界处零测集不影响 a.e. 恒等。
3. 帧判据：一般步长用纤维 Gram ${\mathbf{G}}_{\Omega }(\xi )$ 在活动 alias 子空间的特征值界（域 ${\mathcal{B}}_{\Delta }$）；必要条件 $r\ge M(\xi )$ 且 $C(\xi )$ 列满秩；Nyquist 退化为标量 ${\mathcal{G}}_{\mathbf{w},\Delta }$ 的本质上下界。
4. 对偶窗：Wexler–Raz 一般（${\delta }_{mn}$ 矩阵形式 $\boxed{C_{\Omega }(\xi ){\tilde{C}}_{\Omega }(\xi {)}^{\ast }=I_{M(\xi )}}$，$M\times M$）；Nyquist 特例（标量式 ${\sum }_{\alpha }\overline{{\hat{w}}_{\alpha }}\widehat{{\tilde{w}}_{\alpha }}\equiv \Delta$）；（Nyquist 版） 正则对偶 $\widehat{{\tilde{w}}_{\alpha }}=\frac{\Delta }{G}{\hat{w}}_{\alpha }$。一般步长下正则对偶需由纤维矩阵（伪）逆给出。
5. 镜像—功能演算：（Nyquist 版） $S_{\mathbf{w},\Delta }=M_b$ 为带内乘子（$b=G/\Delta$）；对任意有界 Borel 函数 $\phi$，$\phi (S)=M_{\phi \circ b}$（不引入新零集）；对全纯/实解析 $\phi$ 保持解析性并满足复合律 $g(\phi (S))=(g\circ \phi )(S)$。（一般步长） $S$ 的纤维为矩阵，不是标量乘子。偶窗下与 $J$ 可交换。
6. 稳定性：前提 ${\inf }_{|\xi |\le \Omega }G(\xi )\ge \gamma >0$；一阶变分 $\delta \widehat{{\tilde{w}}_{\alpha }}=\Delta (G^{-1}\delta {\hat{w}}_{\alpha }-G^{-2}\delta G{\hat{w}}_{\alpha })$；限定/一般两版扰动界含 $\Delta$ 因子；BN–Bregman 与 KL–Pinsker 链路可传递统计侧偏差（详见附录/S20）。
7. 并行框架：Mellin/WH、离散图 Ihara ζ 可调用 Walnut/Janssen 与 Bass 表达式（见§6）。

附录 A：Poisson—纤维化与 Gram 恒等式（证明细节）

对 $(n,\alpha )$，

$$⟨f,w_{\alpha }(\cdot -n\Delta )⟩=\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}\hat{f}(\xi )\overline{{\hat{w}}_{\alpha }(\xi )}{e}^{in\Delta \xi }d\xi .$$

对 $n$ 求和并用 Poisson 公式

$$\sum _{n\in \mathbb{Z}}{e}^{in\Delta (\xi -\eta )}=\frac{2\pi }{\Delta }\sum _{m\in \mathbb{Z}}\delta (\xi -\eta -\frac{2\pi m}{\Delta }),$$

得到纤维化表达。因 $f\in {\mathsf{PW}}_{\Omega }^{\mathrm{even}}$，仅当 $m\in {\mathcal{M}}_{\Omega }(\xi )$ 时分量 $\hat{f}(\xi +\frac{2\pi m}{\Delta })$ 非零，故二次型可压缩到活动纤维子空间 ${\mathbb{C}}^{{\mathcal{M}}_{\Omega }(\xi )}$：

$$\sum _n⟨f,w_{\alpha }(\cdot -n\Delta )⟩\overline{⟨f,w_{\beta }(\cdot -n\Delta )⟩}=\frac{1}{2\pi }{\int }_{{\mathcal{B}}_{\Delta }}⟨{\mathbf{c}}_{\alpha ,\Omega }(\xi ),{\mathbf{F}}_{\Omega }(\xi )⟩\overline{⟨{\mathbf{c}}_{\beta ,\Omega }(\xi ),{\mathbf{F}}_{\Omega }(\xi )⟩}d\xi ,$$

其中下标 $\Omega$ 表示仅取活动 alias 分量。对 $\alpha$ 求和即得定理 24.1 的纤维 Gram 表达。Nyquist 下 a.e. ${\mathcal{M}}_{\Omega }(\xi )=\{0\}$，退化为标量判据。

附录 B：Euler–Maclaurin 配方（数值近似的补充细节）

本文核心定理基于带限条件下的 Poisson 求和精确恒等，不依赖数值近似。当需要估计有限和 ${\sum }_{k=-N}^{N}g(k\Delta )$ 与积分 $\int g$ 的误差时，可用有限阶 EM：

$$\sum _{k=-N}^{N}g(k\Delta ;\zeta )=\frac{1}{\Delta }\int g(t;\zeta )dt+\frac{g(N\Delta ;\zeta )+g(-N\Delta ;\zeta )}{2}+\sum _{j=1}^p\frac{B_{2j}}{(2j)!}{\Delta }^{2j-1}(g^{(2j-1)}(N\Delta ;\zeta )-g^{(2j-1)}(-N\Delta ;\zeta ))+R_p(\zeta ),$$

其中 $B_{2j}$ 为 Bernoulli 数。若 $g(\cdot ;\zeta )$ 关于参数 $\zeta$ 全纯且端点依赖多项式/指数有界，则端点层与余项 $R_p(\zeta )$ 对 $\zeta$ 全纯，不引入新奇点。此配方仅在数值计算或误差分析时使用（NIST DLMF §2.10、§24.7）。

9. 与前序理论的接口

9.1 S15：Weyl–Heisenberg 协变与窗函数诱导的内积

• S24 的移位多窗族 $\mathcal{W}(\mathbf{w},\Delta )$ 在对数域上与 Weyl–Heisenberg 系统 $\{V_{n{\sigma }_0}{U}_{m{\tau }_0}w\}$ 平行；
• S15 中窗函数诱导的 RKHS 内积与 S24 的纤维 Gram 结构一致：帧算子 $S_{\mathbf{w},\Delta }$ 的频域乘子对应于 S15 的再生核算子。

9.2 S16：de Branges 规范系统与辛结构

• 帧算子 $S_{\mathbf{w},\Delta }$ 的频域点态乘子 $G(\xi )/\Delta$ 为有界函数；若窗函数 ${\hat{w}}_{\alpha }$ 在工作条带内解析，则 $G(\xi )$ 亦解析，此时与 S16 中 Hamiltonian 在规范系统下的辛流保持解析性一致；
• 镜像对合 $J$ 与 S16 的共轭对称 ${\sigma }_{2}J$ 相容：偶窗保证 $[S_{\mathbf{w},\Delta },J]=0$。

9.3 S17：散射—酉性与相位—行列式公式

• 若将 $S_{\mathbf{w},\Delta }$ 视为散射算子的“测量实现“，则其频域乘子 $G/\Delta$ 对应于 S17 中散射相位 $\delta (E)$ 的导数密度；
• Wexler–Raz 的重构条件 $\frac{1}{\Delta }{\sum }_{\alpha }\overline{{\hat{w}}_{\alpha }}\widehat{{\tilde{w}}_{\alpha }}\equiv 1$ 类似于 S17 的酉性条件 $S^{†}S=I$。

9.4 S18：窗不等式与半范数测度化

• S24 的 Nyquist 条件 $\Delta \le \pi /\Omega$ 确保别名消失，对应 S18 中带限乘积 $F=wR\cdot (h\star \rho )$ 的别名条件 $\Delta \le \pi /({\Omega }_w+{\Omega }_h)$；
• 帧界 $A,B$ 的本质上下确界判据即 S18 的窗加权半范数 $\Vert f{\Vert }_{w,\Delta }$ 的等价常数。

9.5 S19：光谱图与非回溯—邻接关系

• 离散图上的长度—循环框架（§6）与 S19 的 Ihara ζ 函数通过 Bass 恒等式联结；
• 频域周期复制（纤维化）对应于 S19 中非回溯算子谱在单位圆周的分布。

9.6 S20：BN 投影、KL 代价与 Bregman 敏感度

• S24 的稳定性分析（§5）直接调用 S20 的 BN–Bregman 软目标：正则对偶的扰动界由 $G^{-1}$ 与 $G^{-2}$ 控制，对应 S20 的 Hessian ${\nabla }^2\Lambda$ 的逆与二阶导数；
• KL–Pinsker 链将统计侧的 KL/TV 偏差转译为窗/对偶窗的 $L^2$ 范数偏差，与 S20 的信息—能量—敏感度不等式链一致。

9.7 S21：连续谱阈值与奇性稳定性

• S24 的“功能演算零/非零结构保持“（§4）即 S21 的奇性非增定理：帧算子的频域乘子 $G/\Delta \in L^{\infty }$ 仅以有界 Borel 函数叠加，故功能演算不引入新零集；若 ${\hat{w}}_{\alpha }$ 解析则保持解析性；
• 扰动稳定性（§5）对应 S21 的 Bregman–KL 敏感度链在阈值邻域的稳定半径。

9.8 S22：窗/核最优化与变分原理

• S24 的 Parseval 紧帧条件 $\frac{1}{\Delta }{\sum }_{\alpha }|{\hat{w}}_{\alpha }{|}^2\equiv 1$ 即 S22 中带限偶窗的“总能量守恒“约束；
• 谱分配构造（定理 24.5）对应 S22 的 L² 强凸变分问题：给定目标 $H(\xi )$，通过对称单位分解与带内平滑实现最优窗组，与 S22 的频域核型 Euler–Lagrange 方程一致。

9.9 S23：多窗协同优化与 Pareto 前沿

• S24 的 Wexler–Raz 双正交条件（定理 24.4）推广了 S23 的广义 Wexler–Raz 关系：当窗族线性无关时退化为 $\delta$-型正交，冗余时保留 $G{G}^{†}$-型；
• 纤维 Gram 矩阵 $\mathbf{G}(\xi )$ 的特征值界对应 S23 的帧算子 Gram 矩阵 $G$ 的条件数监控 $\kappa (G)$；
• S24 的谱分配构造可作为 S23 的 Pareto 前沿搜索算法的初始点：通过调整 $H(\xi )$ 的形状实现不同窗族间的协同最优。

参考文献（选）

• A. Ron, Z. Shen, Frames and Stable Bases for Shift-Invariant Subspaces of $L^2({\mathbb{R}}^d)$, Canad. J. Math. 47 (1995), 1051–1094.
• K. Gröchenig, Foundations of Time–Frequency Analysis, Birkhäuser, 2001.
• I. Daubechies, Gabor Time–Frequency Lattices and the Wexler–Raz Identity, J. Fourier Anal. Appl. 1 (1995), 437–478.
• D. Walnut, Continuity Properties of the Gabor Frame Operator, J. Math. Anal. Appl. 165 (1992), 479–504.
• E. M. Stein, R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton Univ. Press, 2003.
• R. A. Horn, C. R. Johnson, Matrix Analysis, 2nd ed., Cambridge Univ. Press, 2013.
• NIST DLMF, §2.10/§24.7（Bernoulli/Euler 多项式与 EM 配方）。

结语

本文以纤维化的 Gram 判据（含必要维数与秩条件）统一刻画带限偶子空间中均匀移位多窗族的帧/紧帧结构，并以 Wexler–Raz 条件（一般步长的 ${\delta }_{mn}$ 矩阵形式 $C_{\Omega }{\tilde{C}}_{\Omega }^{\ast }=I_{M(\xi )}$（$M\times M$ 矩阵）与 Nyquist 的标量特例）给出对偶窗的存在与显式表达；在 Nyquist 纪律下，所有判据与构造退化为标量的“带内能量分配“，可直接以 ${\sum }_{\alpha }|{\hat{w}}_{\alpha }{|}^2$ 控制。整个分析基于 Poisson 求和公式在带限条件下的精确恒等，保证镜像与零/非零结构保持；Borel 功能演算不引入新零集，全纯/实解析功能演算下（在带内窗谱解析前提）解析性得以保持（复合律 $g(\phi (S))=(g\circ \phi )(S)$）；稳定性则由正则对偶的微扰分析给出，可与 BN–Bregman 与 KL–Pinsker 链路结合。该框架与 S15–S23（Weyl–Heisenberg、de Branges 规范系统、散射—酉性、窗不等式、光谱图、BN 投影、连续谱阈值、窗/核最优与多窗协同）接口一致，并可自然推广至对数（Mellin）尺度与离散图谱情形（见§6）。