S26. 相位密度与稳定性：de Branges–Mellin 框架下的采样—插值—帧障碍

版本：v0.1，2025-10-28

—— 相位导数测度、Landau 型必要/充分准则、Balian–Low 类不可能性与小扰动稳定

摘要（定性）

在 de Branges–Mellin 框架中，以相位导数 ${\phi }^{\prime }(x)$ 诱导的“相位密度“作为几何刻度，证明采样与插值序列的必要端密度准则（§1–§2），并在 one-component 框架下给出充要刻画的精确前提（§1–§2 之密度充要性命题）；证明对由相位网格作小相位扰动得到的序列存在 Riesz 基/框架的稳定半径；在 Weyl–Heisenberg（Mellin）单窗+矩形格情形，结合密度定理（仅在临界密度 ${\tau }_0{\sigma }_0=2\pi$ 时帧必为 Riesz 基）与 Balian–Low 定理（单窗+矩形格且临界密度下紧局域窗不可能生成 Riesz 基/正交基），给出紧局域性的障碍。上述结论在“有限阶“ Euler–Maclaurin（EM）与 Nyquist–Poisson–EM 三分解纪律（仅作换序组织，见§6统一说明）下保持工作条带内的奇性集合不增与极阶不升，并与窗/核最优化的带限投影—卷积结构协同。全文定性陈述，避免对数值常数的最优化诉求。

0. 设定与相位密度

前提（统一声明）：令 $E\in HB$ 且在实轴无零点，$\phi$ 为其相位（随 $x\in \mathbb{R}$ 单调且实解析）。则几乎处处

$$E(x)=|E(x)|e^{-i\phi (x)},E^{♯}(z):=\overline{E(\bar{z})}.$$

（记号统一）部分文献记 $E^{\ast }(z)=\overline{E(\bar{z})}$，本文统一记为 $E^{♯}(z)$。

记

$$U(x):=\frac{E^{♯}(x)}{E(x)}=e^{2i\phi (x)}\text{(a.e. }x\in \mathbb{R}),\Theta (z):=\frac{E^{♯}(z)}{E(z)}\text{（上半平面内函数，实轴边界值 a.e. 为 }U\text{）}.$$

再生核对角恒等式（后文“相位密度刻度“与迹恒等的唯一锚点）：

$$\boxed{K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|E(x){|}^2>0\text{(a.e.)}}$$

其中 $K$ 为 $\mathcal{H}(E)$ 的再生核。本文仅依赖上述 de Branges 核对角公式，并据此定义参考密度 $\rho (x):={\phi }^{\prime }(x)/\pi$。**标准数值测度（全文统一）**定义为

$$d\nu (x):=\frac{K(x,x)}{|E(x){|}^2}dx=\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }dx.$$

归一化再生核 ${\kappa }_x:=K(\cdot ,x)/\sqrt{K(x,x)}$ 满足

$$\boxed{⟨{\kappa }_x,{\kappa }_y⟩=\frac{\sin (\phi (x)-\phi (y))}{(x-y)\sqrt{{\phi }^{\prime }(x){\phi }^{\prime }(y)}}(x\ne y),⟨{\kappa }_x,{\kappa }_x⟩=1}$$

本文所有结论仅依赖恒等成立的核—相位公式

$$K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|E(x){|}^2>0,$$

因而不依赖对 $\Im m$ 的规范化选择。

相位密度测度与 Beurling 密度. 本文核心刻度为 de Branges 核对角恒等式

$$K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|E(x){|}^2>0\text{(a.e.)}$$

与由此诱导的相位测度 ${\phi }^{\prime }(x)dx$。定义参考密度（相位密度） $\rho (x):={\phi }^{\prime }(x)/\pi$。关于与 Weyl–Titchmarsh $m$-函数的对齐：在trace-normalized Hamiltonian 规范下（即 canonical system 的特定规范化），可选对齐 $\Im m(x+i0)=\pi \rho (x)$ 且 $\rho ={\phi }^{\prime }/\pi$；但本文后续结论仅依赖核—相位恒等式 $K(x,x)=\frac{|E(x){|}^2}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)$ 本身，不依赖于 $\Im m$ 的具体规范化与 $m$ 函数/谱密度的对齐。

对区间 $I\subset \mathbb{R}$，定义相位测度累计量（注意：$\Phi$ 为大写，与相位函数 $\phi$（小写）区分）

$$\Phi (I):={\int }_I{\phi }^{\prime }(x)dx,$$

并对离散序列 $\Lambda =\{x_n\}\subset \mathbb{R}$ 定义

$$D_{\phi }^{-}(\Lambda ):=\underset{R\to \infty }{\mathrm{liminf}}\underset{x_0\in \mathbb{R}}{\inf }\frac{\#(\Lambda \cap [x_0-R,x_0+R])}{\Phi ([x_0-R,x_0+R])/\pi },$$

$$D_{\phi }^{+}(\Lambda ):=\underset{R\to \infty }{\mathrm{limsup}}\underset{x_0\in \mathbb{R}}{\sup }\frac{\#(\Lambda \cap [x_0-R,x_0+R])}{\Phi ([x_0-R,x_0+R])/\pi }.$$

当 ${\phi }^{\prime }\equiv T$（Paley–Wiener 情形）时，$D_{\phi }^{\pm }$ 退化为经典 Beurling 密度与带宽 $T$ 的比值，从而与 Landau 密度阈值一致。

窗与迹前提（修订）. 取 $w_R\ge 0$ 且 $w_R\in L^{\infty }(\mathbb{R})\cap L^1({\phi }^{\prime }(x)dx)$（紧支撑可选）。记 $M_{w_R}^{(\mathrm{mult})}$ 为 $L^2(|E{|}^{-2}dx)$ 上的乘子算子，则其在 $\mathcal{H}(E)$ 上的压缩

$$M_{w_R}:=P_{\mathcal{H}(E)}{M}_{w_R}^{(\mathrm{mult})}{P}_{\mathcal{H}(E)}$$

为正且迹类，并有

$$\mathrm{Tr}\left(M_{w_R}\right)={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(x)\frac{K(x,x)}{|E(x){|}^2}dx=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(x){\phi }^{\prime }(x)dx.$$

（证明见引理 1.1；此处的 $L^{\infty }$ 假设保证乘子有界，从而压缩算子与迹运算良定义。）

窗化误差与 Nyquist–Poisson–EM 三分解（概要；详见 §6）：在窗化/加权截断后，误差分量分解为（i）本征带限主项，（ii）泊松求和的混叠项（Nyquist 条件下为零），（iii）边界/余项（有限阶 Euler–Maclaurin 控制）。本文仅采用有限阶 Euler–Maclaurin（NIST DLMF §2.10(i)）与 Poisson 求和（DLMF §1.8(iv)）结合控制边界层与别名项；Nyquist–Poisson–EM 三分解仅作为实现性的换序组织，不参与定理假设。在窗 $w_R\in C^{2N}$（紧支或指数衰减）且仅取有限阶 EM 截断时，换序所致误差层为整/全纯，在工作条带 $|\Im z|\le h$ 内不引入新奇点且极阶不升。具体前提与匹配见 §6 统一声明。

密度章节假设（仅用于 §1–§2；记作 S1）. 为应用 Landau 型密度判据，仅在 §1–§2 假设相位测度 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 为（局部）doubling（满足 MNO 要求的 doubling 条件），即存在 $R_0>0$（可为无穷）与 $C\ge 1$ 使对所有区间 $I$ 满足 $|I|\le R_0$ 时有

$${\int }_{2I}{\phi }^{\prime }(x)dx\le C{\int }_I{\phi }^{\prime }(x)dx,$$

其中 $2I$ 记以 $I$ 的中心为中心、直径加倍的区间。本文所谓（局部）doubling均指相位测度 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 的（局部）doubling。

技术路线说明（关键）：在（局部）doubling 相位的前提下，本文直接引用 doubling-phase 情形的密度定理（Marzo–Nitzan–Olsen 2012）得出采样/插值密度阈值；亦可采用“one-component 路线“调用 Landau 型密度刻画，但需自备所需附加条件。除 §1–§2 外（如 §3 Clark 基、§4 稳定、§5–§6 窗化纪律），不需要该假设。§3 的 Clark 基纯原子性对亚纯内函数恒成立；“至多一个例外角“对应正交核基性质，而非测度性质。相关命题处将回引本前提。

规范锚点（全文统一）：

• 两条核心公式（本文全部结论仅依赖此二式）： $$\boxed{K(x,x)=\frac{|E(x){|}^2}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)>0\text{(a.e.)}}\text{（核对角恒等式）}$$ $$\boxed{⟨{\kappa }_x,{\kappa }_y⟩=\frac{\sin (\phi (x)-\phi (y))}{(x-y)\sqrt{{\phi }^{\prime }(x){\phi }^{\prime }(y)}}(x\ne y)}\text{（归一化核内积）}$$

  规范提示（重要）：上述公式不依赖与 $m$-函数/谱密度的对齐。如需引入谱密度/ $m$ 函数，在trace-normalized Hamiltonian 规范下有 $\Im m(x+i0)=\pi \rho (x)$ 与 $\rho ={\phi }^{\prime }/\pi$；本篇主定理不以此为假设。

• 内函数与相位网格：$\Theta =\frac{E^{♯}}{E}=e^{2i\phi }$（a.e.），$X_{\theta }=\{x:\Theta (x)=e^{2i\theta }\}=\{x:\phi (x)=\theta +\pi n\}$（相位步长 = $\pi$）。

• 相位尺度与密度：$\Phi (I)={\int }_I{\phi }^{\prime }(x)dx$，$D_{\phi }^{\pm }(\Lambda )={\lim }_{R\to \infty }\frac{\#(\Lambda \cap I)}{\Phi (I)/\pi }$。

• 窗口与迹（充分条件）：$w_R\ge 0$ 有界且紧支撑（或 $w_R\in L^1({\phi }^{\prime }dx)$）$\Rightarrow$ $M_{w_R}{|}_{\mathcal{H}(E)}$ 为正且迹类，$\mathrm{Tr}(M_{w_R})=\frac{1}{\pi }\int w_R{\phi }^{\prime }$。

• 标准数值测度：令 $d\nu (x):=\frac{K(x,x)}{|E(x){|}^2}dx=\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }dx$。

规范对照表（Gabor/Mellin 临界密度互译）：

本文统一选择：在 Paley–Wiener 例中，默认 $P{W}_{\pi }$（带宽 $T=\pi$，相位函数 $\phi (x)=\pi x$）；其他带宽 $T$ 由缩放还原。在 Fourier 规范（$\hat{f}(\xi )=\int f(x)e^{-ix\xi }dx$）下，${\phi }^{\prime }(x)\equiv \pi$ 与时间步长 1 对齐，故 Kadec 条件 ${\sup }_n|\phi (x_n)-(\theta +n\pi )|<\pi /4$ 等价于 ${\sup }_n|x_n-(\theta /\pi +n)|<1/4$（与经典 Kadec 1/4 定理完全等价，并非更强命题；详见 §4）。

1. 采样与相位密度：Landau 型必要条件

记标准化再生核 ${\kappa }_x:=K(\cdot ,x)/\sqrt{K(x,x)}$。称 $\Lambda$ 为采样序列，若存在常数 $A,B>0$ 使

$$A\Vert F{\Vert }_{\mathcal{H}(E)}^2\le \sum _{x_n\in \Lambda }\frac{|F(x_n){|}^2}{K(x_n,x_n)}\le B\Vert F{\Vert }_{\mathcal{H}(E)}^2,\forall F\in \mathcal{H}(E).$$

采样/插值序列的相位分离性：在 one-component 内函数或 doubling-phase 前提下，Riesz（插值）序列在相位坐标下正分离（${\inf }_{m\ne n}|\phi (x_m)-\phi (x_n)|>0$）；在一般 de Branges 空间，必要分离先以模型空间的伪双曲/Carleson 量化描述，等价为相位分离需附加 one-component 条件。采样（帧）序列一般不自动分离，后续如需用到分离，应另行假设相位分离/有限重数；在局部重数有界时，可将采样集分解为有限个分离子序列并逐个应用相位窗化与 Berezin 估计；若局部重数无界，则无需分解，直接以窗化+Berezin 估计处理总体上、仅得到比例常数控制。本节后续引理在分离前提下给出窗化—迹—计数的桥接。

统一窗化假设（本节及后续全文）：以下均取 $w_R\in L^{\infty }\cap L^1({\phi }^{\prime }(x)dx)$，紧支撑或指数衰减，且 $\Vert w_R{\Vert }_{\infty }\le 1$；从而

$${\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(x)\frac{K(x,x)}{|E(x){|}^2}dx=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(x){\phi }^{\prime }(x)dx<\infty ,$$

保证 $M_{w_R}{|}_{\mathcal{H}(E)}$ 为正算子且具有有限迹。此处 $M_{w_R}$ 记乘子在 $\mathcal{H}(E)$ 上的压缩（Toeplitz）算子 $P_{\mathcal{H}(E)}{M}_{w_R}{P}_{\mathcal{H}(E)}$。此后不再重复上述假设。

引理 1.1（窗化迹恒等）

设 $w_R\ge 0$ 且 $w_R\in L^1({\phi }^{\prime }(x)dx)\cap L^{\infty }$。则压缩乘子 $M_{w_R}$ 在 $\mathcal{H}(E)$ 上为正且迹类，且

$$\mathrm{Tr}\left(M_{w_R}{|}_{\mathcal{H}(E)}\right)={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(x)\frac{K(x,x)}{|E(x){|}^2}dx=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(x){\phi }^{\prime }(x)dx.$$

上式第一个等号直接来自再生核恒等式 ${\sum }_n|e_n(x){|}^2=K(x,x)$，第二个等号用核对角公式 $K(x,x)=\frac{|E(x){|}^2}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)$ 代换。

注记（易检充分条件，修订）. 作为便利性检查，若 $w_R$ 为紧支撑且另知 ${\sup }_{x\in \mathrm{supp}{w}_R}\frac{K(x,x)}{|E(x){|}^2}<\infty$，亦可直接验证迹类性；若仅要求 $w_R\in L^1({\phi }^{\prime }dx)\cap L^{\infty }$ 而支撑不必紧，则不必也不保证上述 sup 界——但由 $$\mathrm{Tr}(M_{w_R})=\int w_R\frac{K(x,x)}{|E(x){|}^2}dx=\frac{1}{\pi }\int w_R{\phi }^{\prime }(x)dx<\infty$$ 仍可得到 $M_{w_R}$ 为正且迹类。Toeplitz 压缩的迹类性可由标准 Berezin 变换与核对角求和论证得到。

证明. 取 $w_R\in L^1({\phi }^{\prime }dx)\cap L^{\infty }$ 并由正性单调逼近 $C_c$ 情形，可由 ${\sum }_n⟨M_{w_R}{e}_n,e_n⟩=\int w_{R}K/|E{|}^{2}dx$ 得到迹类与迹值的充要性。在上述条件下（$w_R\ge 0$，$w_R\in L^1\cap L^{\infty }$，核满足标准 de Branges 界），$M_{w_R}$ 为迹类。取任一正交基 $\{e_n\}$，记其有限截断族 $\{e_1,\dots ,e_N\}$ 的秩—$N$ 投影为 ${\Pi }_N$，则 ${\Pi }_N\uparrow I$（SOT）。由 $M_{w_R}\ge 0$ 且 $M_{w_R}$ 迹类，得 $M_{w_R}^{1/2}{\Pi }_N{M}_{w_R}^{1/2}\uparrow M_{w_R}$ 为非降迹类序列；据单调收敛定理与 $\Vert M_{w_R}\Vert$ 的主控，可逐项取迹并与求和交换。由 $⟨f,g{⟩}_{\mathcal{H}(E)}=\int f\bar{g}|E{|}^{-2}dx$ 和再生核恒等式 ${\sum }_n|e_n(x){|}^2=K(x,x)$ 得 $$\mathrm{Tr}(M_{w_R})=\sum _n⟨M_{w_R}{e}_n,e_n⟩=\int w_R\sum _n|e_n{|}^2|E{|}^{-2}dx=\int w_{R}K(x,x)|E{|}^{-2}dx,$$ 再用 $K(x,x)=\frac{|E(x){|}^2}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)$ 即得。$\square$

注记（Berezin 变换与迹公式）. 对任意有界乘子 $M_w$，定义其 Berezin 变换为

$$\boxed{\tilde{w}(x):=⟨M_w{\kappa }_x,{\kappa }_x⟩,}$$

其中 ${\kappa }_x$ 为归一化再生核。一般有 $\tilde{w}(x)\ne w(x)$，且由 Cauchy–Schwarz 得 $|\tilde{w}(x)|\le \Vert M_w\Vert \le \Vert w{\Vert }_{\infty }$。本文所用的迹恒等式与密度估计仅涉及 Berezin 符号 $\tilde{w}$ 在 $\Lambda$ 上的求和，作为对 $w$ 的积分的近似，无需 $\tilde{w}\equiv w$。具体而言：压缩乘子 $M_{w_R}$ 的迹

$$\mathrm{Tr}(M_{w_R})=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(x){\phi }^{\prime }(x)dx$$

仅依赖于原窗函数 $w_R$，而密度估计中出现的求和 ${\sum }_{x_n}⟨M_{w_R}{\kappa }_{x_n},{\kappa }_{x_n}⟩$ 涉及 Berezin 变换值 ${\tilde{w}}_R(x_n)$；通过迹不等式与窗的平移—缩放即可将其转化为区间计数估计。若 $M_w$ 为正迹类且以标准数值测度 $d\nu (x)=\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }dx$（见 §0 规范锚点）计算，则有连续 Parseval 分辨率恒等式

$${\int }_{\mathbb{R}}\tilde{w}(x)d\nu (x)=\mathrm{Tr}(M_w);$$

证明草图：对任意 $f\in \mathcal{H}(E)$，由再生核性质 $⟨f,{\kappa }_x⟩=f(x)/\sqrt{K(x,x)}$，有 $$\Vert f{\Vert }^2={\int }_{\mathbb{R}}|f(x){|}^2\frac{dx}{|E(x){|}^2}={\int }_{\mathbb{R}}\frac{|f(x){|}^2}{K(x,x)}d\nu (x)={\int }_{\mathbb{R}}|⟨f,{\kappa }_x⟩{|}^{2}d\nu (x).$$ 取标准基 $\{e_n\}$ 并对 $M_w$ 求迹，由 Fubini 定理得 $\mathrm{Tr}(M_w)={\sum }_n⟨M_w{e}_n,e_n⟩=\int \tilde{w}(x)d\nu (x)$。此等式仅用于迹与求和的比较，不要求 $\tilde{w}\equiv w$。

下文所有“单位质量窗“均指相对于相位测度 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 归一：$\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(x){\phi }^{\prime }(x)dx=1$，且 $\mathrm{diam}(\mathrm{supp}{w}_R)\asymp R$；此时 $\mathrm{Tr}(M_{w_R})=1$。

定理 1.2（采样的相位密度下界；前提：${\phi }^{\prime }(x)dx$ 为（局部）doubling）

若 $\Lambda$ 为采样序列，则 $D_{\phi }^{-}(\Lambda )\ge 1$，即采样序列的相位密度必须不低于相位测度的自然密度阈值。

适用前提（S1；作用域仅限 §1–§2）：**本文在（局部）doubling 前提下直接引用 MNO 2012 的 doubling-phase 密度定理得出密度阈值，亦可采用 one-component 路线但需自备附加条件。**该假设仅用于本节与 §2 的密度必要性结论；§3 的 Clark 基纯原子性对亚纯内函数恒成立，不需此假设；§4 的小扰动稳定基于 Gram 矩阵论证，与 doubling 无关。

证明（修订版）. 取 $w_R\ge 0$ 为相位测度 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 下的近单位族：$\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R{\phi }^{\prime }(x)dx=1$，支撑直径按 $\Phi$ 规模趋向无穷，且 $\Vert w_R{\Vert }_{\infty }\le 1$。则压缩乘子 $M_{w_R}$ 在 $\mathcal{H}(E)$ 上为正且迹类，并有

$$\mathrm{Tr}(M_{w_R}{|}_{\mathcal{H}(E)})=\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R{\phi }^{\prime }(x)dx=1.$$

设 $T_{\Lambda }={\sum }_{x_n}|{\kappa }_{x_n}⟩⟨{\kappa }_{x_n}|$，采样下界等价于 $AI\le T_{\Lambda }$。于是

$$\mathrm{Tr}(M_{w_R}^{1/2}{T}_{\Lambda }{M}_{w_R}^{1/2})\ge A\mathrm{Tr}(M_{w_R})=\frac{A}{\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R{\phi }^{\prime }(x)dx.$$

另一方面

$$\mathrm{Tr}(M_{w_R}^{1/2}{T}_{\Lambda }{M}_{w_R}^{1/2})=\sum _{x_n}⟨M_{w_R}{\kappa }_{x_n},{\kappa }_{x_n}⟩.$$

严格化换序说明. 记 ${\Lambda }_R=\Lambda \cap I_R$ 为有限子集，令 $T_{{\Lambda }_R}={\sum }_{x_n\in {\Lambda }_R}|{\kappa }_{x_n}⟩⟨{\kappa }_{x_n}|$。由于 $M_{w_R}\ge 0$ 且 $M_{w_R}{|}_{\mathcal{H}(E)}$ 为迹类，$\{T_{{\Lambda }_R}\}$ 单调递增并在强算子拓扑下 $T_{{\Lambda }_R}\uparrow T_{\Lambda }$。于是

$$\mathrm{Tr}\left(M_{w_R}^{1/2}{T}_{{\Lambda }_R}{M}_{w_R}^{1/2}\right)=\sum _{x_n\in {\Lambda }_R}⟨M_{w_R}{\kappa }_{x_n},{\kappa }_{x_n}⟩\uparrow \mathrm{Tr}\left(M_{w_R}^{1/2}{T}_{\Lambda }{M}_{w_R}^{1/2}\right),$$

其中极限与求和次序可由单调收敛（正算子）或以帧上界作主导收敛控制。因 $\{{\kappa }_{x_n}\}$ 的 Bessel（采样上界）性质保证 $T_{\Lambda }$ 有界，而 $M_{w_R}$ 为正迹类，故积算子 $M_{w_R}^{1/2}{T}_{\Lambda }{M}_{w_R}^{1/2}$ 为迹类，且可按标准 Berezin 变换论证逐项求迹。

迹不等式转区间计数（需引理 1.3 桥接）：取近似指标窗 $w_{R,I}$（使 $\frac{1}{\pi }\int w_{R,I}{\phi }^{\prime }(x)dx=\Phi (I)/\pi$）作为区间 $I$ 的近似指标，则上述迹不等式给出序列计数的下界估计。此处把 $\sum ⟨M_{w_R}{\kappa }_{x_n},{\kappa }_{x_n}⟩$ 与 $\#(\Lambda \cap I)$ 比较，依赖下述引理 1.3 的定量估计。分离性说明：若 $\Lambda$ 在相位坐标下已分离（即另行假设或由 Riesz 性自动保证），则直接应用引理 1.3；若 $\Lambda$ 不分离（一般采样序列），则先将 $\Lambda$ 按相位坐标分解为有限个分离子序列 $\{{\Lambda }^{(j)}\}$（局部重数有界），对每个 ${\Lambda }^{(j)}$ 应用引理 1.3 后求和，密度下界仍然成立。

引理 1.3（Berezin 变换与区间计数的桥接；采样下界情形）

设 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 为（局部）doubling 且 $\Lambda$ 在相位坐标下正分离（${\inf }_{m\ne n}|\phi (x_m)-\phi (x_n)|\ge {\Delta }_{\phi }>0$）。对区间 $I\subset \mathbb{R}$，可构造平滑窗 $w_{R,I}\ge 0$，满足：

(i) $\mathrm{supp}{w}_{R,I}\subset I^{(+)}$（其中 $I^{(+)}$ 为 $I$ 的有限相位厚化，$\Phi (I^{(+)})\le C\Phi (I)$，常数 $C$ 仅依赖 doubling 常数）；

(ii) $w_{R,I}(x)\ge c>0$ 对 $x\in I^{(-)}$（$I^{(-)}$ 为 $I$ 的内缩，$\Phi (I^{(-)})\ge c^{\prime }\Phi (I)$）；

(iii) $\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_{R,I}{\phi }^{\prime }(x)dx=\Phi (I)/\pi$；

(iv) Berezin 变换 ${\tilde{w}}_{R,I}(x):=⟨M_{w_{R,I}}{\kappa }_x,{\kappa }_x⟩$ 满足 ${\tilde{w}}_{R,I}(x)\ge c_1>0$ 对 $x\in I^{(-)}$（常数依赖注记：若采用路线 A（doubling），则 $c_1$ 仅依赖于 doubling 常数与相位分离常数 ${\Delta }_{\phi }$；若采用路线 B（one-component），则 $c_1$ 依赖于 one-component 常数与 ${\Delta }_{\phi }$。下文在必要端默认使用路线 A。本引理给出窗化技术层面的比例估计，不直接导出阈值=1）。

于是对采样序列 $\Lambda$（下界 $AI\le T_{\Lambda }$），有 $$\sum _{x_n\in \Lambda }{\tilde{w}}_{R,I}(x_n)=\mathrm{Tr}(M_{w_{R,I}}^{1/2}{T}_{\Lambda }{M}_{w_{R,I}}^{1/2})\ge A\mathrm{Tr}(M_{w_{R,I}})=\frac{A}{\pi }\Phi (I),$$ 结合 (iv) 得 $$c_1\#(\Lambda \cap I^{(-)})\le \sum _{x_n\in \Lambda }{\tilde{w}}_{R,I}(x_n)\ge \frac{A}{\pi }\Phi (I),$$ 从而 $\#(\Lambda \cap I^{(-)})\ge \frac{A}{c_1\pi }\Phi (I)$。令 $R\to \infty$ 并对区间中心平移平均，由 doubling 性质得 $\#(\Lambda \cap I)/(\Phi (I)/\pi )\ge c_2>0$，其中 $c_2$ 依赖于 $A$ 与 doubling/分离常数。本引理建立窗化迹与计数的桥接，但比例常数 $c_2$ 与帧界/分离常数耦合；常数归一到 1 需调用外部密度定理（见定理 1.2 证明末端）。

证明思路. 窗的构造采用平移平均技术；Berezin 变换的下界由 one-component 性质与归一化核的局部内积估计得到（在相位分离前提下，$⟨{\kappa }_x,{\kappa }_x⟩=1$ 且 Gram 矩阵在对角附近受控）。$\square$

构造示例. 可取 $w_{R,I}$ 为平滑顶帽（或 Fejér 型窗）：支撑在 $I$ 附近，$\mathrm{diam}(\mathrm{supp}{w}_{R,I})\asymp |I|$，并经归一化使 $\frac{1}{\pi }\int w_{R,I}{\phi }^{\prime }(x)dx=\Phi (I)/\pi$。其中 $I^{(+)}$ 与 $I^{(-)}$ 的构造为：取 $0<\eta <1$，令 $\Phi (I^{(+)})=(1+\eta )\Phi (I)$、$\Phi (I^{(-)})=(1-\eta )\Phi (I)$；由 doubling 性质可保证满足引理 1.3 的条件 (i)–(iv)。

令 $R\to \infty$ 并对区间中心平移平均，在相位导数 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 为（局部）doubling 的假设下（回引 §0 结构性假设），配合引理 1.1、引理 1.3 与 Landau 型密度定理（MNO 2012），得 $D_{\phi }^{-}(\Lambda )\ge 1$。$\square$

提示：本定理在（局部）doubling 前提下引用 doubling-phase 密度定理得出阈值。

1.5 密度充要性命题

命题（采样/插值的相位密度充要刻画；两条路线，按目标选择）.

设 $\Lambda \subset \mathbb{R}$ 为离散序列，并在相位坐标下正分离。

路线 A（必要端，doubling）：若相位测度 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 满足（局部）doubling，则

• 若 $\Lambda$ 为采样序列，$D_{\phi }^{-}(\Lambda )\ge 1$；
• 若 $\Lambda$ 为 Riesz（插值）序列，$D_{\phi }^{+}(\Lambda )\le 1$。

路线 B（充分端，one-component）：在 one-component 且 分离/Carleson 前提下，

• 若 $D_{\phi }^{-}(\Lambda )>1$，则 $\Lambda$ 为采样序列；
• 若 $D_{\phi }^{+}(\Lambda )<1$，则 $\Lambda$ 为插值序列。

（两路线互不叠加：A 用于必要端，B 用于充分端；如采用 doubling-route 的充分性，请以“可替代路线“表述，而非与 B 叠加。）

本文 §1–§2 仅证明上述必要端（路线 A：采样下界 $D_{\phi }^{-}\ge 1$ 与插值上界 $D_{\phi }^{+}\le 1$），充分端（路线 B）在 one-component 框架与分离/Carleson 前提下完整给出。

2. Riesz 序列与相位密度：插值的上界（上界必要性）

称 $\Lambda$ 为（标准化核）Riesz 序列，若 $\{{\kappa }_{x_n}{\}}_{x_n\in \Lambda }$ 在 $\mathcal{H}(E)$ 内为 Riesz 系列，即存在 $A^{\prime },B^{\prime }>0$ 使

$$A^{\prime }\sum |c_n{|}^2\le {\Vert \sum c_n{\kappa }_{x_n}\Vert }_{\mathcal{H}(E)}^2\le B^{\prime }\sum |c_n{|}^2.$$

记 ${\Pi }_{\Lambda }$ 为 $\mathrm{span}\{{\kappa }_{x_n}\}$ 的正交投影。

定理 2.1（插值的相位密度上界；前提：${\phi }^{\prime }(x)dx$ 为（局部）doubling）

若 $\Lambda$ 为 Riesz 序列（因而为插值序列），则 $D_{\phi }^{+}(\Lambda )\le 1$，即插值序列的相位密度必须不超过相位测度的自然密度阈值。

适用前提（S1；作用域仅限 §1–§2）：**本文在（局部）doubling 前提下直接引用 MNO 2012 的 doubling-phase 密度定理得出密度阈值，亦可采用 one-component 路线但需自备附加条件。**该假设仅用于本节与 §1 的密度必要性结论；§3 的 Clark 基纯原子性对亚纯内函数恒成立，不需此假设；§4 的小扰动稳定基于 Gram 矩阵论证，与 doubling 无关。

证明（修订版）. 取 $w_R\ge 0$ 为相位测度 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 下的近单位族：$\frac{1}{\pi }{\int }_{\mathbb{R}}{w}_R{\phi }^{\prime }(x)dx=1$，支撑直径按 $\Phi$ 规模趋向无穷，且 $\Vert w_R{\Vert }_{\infty }\le 1$。Riesz 性给出 $A^{\prime }{\Pi }_{\Lambda }\le T_{\Lambda }\le B^{\prime }{\Pi }_{\Lambda }$。于是

$$\sum _{x_n}⟨M_{w_R}{\kappa }_{x_n},{\kappa }_{x_n}⟩=\mathrm{Tr}(M_{w_R}^{1/2}{T}_{\Lambda }{M}_{w_R}^{1/2})\le B^{\prime }\mathrm{Tr}(M_{w_R}^{1/2}{\Pi }_{\Lambda }{M}_{w_R}^{1/2})\le B^{\prime }\mathrm{Tr}(M_{w_R}).$$

严格化换序说明. 与定理 1.2 同理，记 ${\Lambda }_R=\Lambda \cap I_R$ 为有限子集，由 $M_{w_R}\ge 0$ 的正性与 $T_{{\Lambda }_R}\uparrow T_{\Lambda }$ 的单调收敛性，配合 Riesz 序列的帧界控制，迹与求和互换可由单调收敛定理保证。因 $\{{\kappa }_{x_n}\}$ 的 Riesz 性质保证 $T_{\Lambda }$ 有界，而 $M_{w_R}$ 为正迹类，故积算子 $M_{w_R}^{1/2}{T}_{\Lambda }{M}_{w_R}^{1/2}$ 为迹类，且可按标准 Berezin 变换论证逐项求迹。

迹不等式转区间计数（需引理 2.2 桥接）：同定理 1.2，取近似指标窗 $w_{R,I}$（使 $\frac{1}{\pi }\int w_{R,I}{\phi }^{\prime }(x)dx=\Phi (I)/\pi$）作为区间 $I$ 的近似指标，则上述迹不等式给出序列计数的上界估计。此处把 $\sum ⟨M_{w_R}{\kappa }_{x_n},{\kappa }_{x_n}⟩$ 与 $\#(\Lambda \cap I)$ 比较，依赖下述引理 2.2 的定量估计。分离性说明：Riesz 序列在相位坐标下必然正分离，引理 2.2 直接适用。

引理 2.2（Berezin 变换与区间计数的桥接；插值上界情形）

设 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 为（局部）doubling 且 $\Lambda$ 在相位坐标下正分离。对区间 $I\subset \mathbb{R}$，构造平滑窗 $w_{R,I}\ge 0$ 如引理 1.3。于是对 Riesz 序列 $\Lambda$（上界 $T_{\Lambda }\le B^{\prime }{\Pi }_{\Lambda }$），有 $$\sum _{x_n\in \Lambda }{\tilde{w}}_{R,I}(x_n)=\mathrm{Tr}(M_{w_{R,I}}^{1/2}{T}_{\Lambda }{M}_{w_{R,I}}^{1/2})\le B^{\prime }\mathrm{Tr}(M_{w_{R,I}})=\frac{B^{\prime }}{\pi }\Phi (I).$$ 另一方面，由引理 1.3 的 (iv)（Berezin 变换下界 ${\tilde{w}}_{R,I}(x)\ge c_1>0$ 对 $x\in I^{(-)}$）得 $$\sum _{x_n\in \Lambda }{\tilde{w}}_{R,I}(x_n)\ge c_1\#(\Lambda \cap I^{(-)}),$$ 从而 $\#(\Lambda \cap I^{(-)})\le \frac{B^{\prime }}{c_1\pi }\Phi (I)$。令 $R\to \infty$ 并对区间中心平移平均，由 doubling 性质得 $\#(\Lambda \cap I)/(\Phi (I)/\pi )\le c_3$，其中 若采用路线 A（doubling），$c_3$ 仅依赖于 $B^{\prime }$、doubling 常数与分离常数；若采用路线 B（one-component），则 $c_3$ 依赖于 $B^{\prime }$、one-component 常数与分离常数。

证明思路. 同引理 1.3；上界估计利用 Riesz 序列的投影不等式与 Berezin 变换的 $L^{\infty }$ 界（$|{\tilde{w}}_{R,I}(x)|\le \Vert w_{R,I}{\Vert }_{\infty }$）。$\square$

构造示例. 同定理 1.2，可取 $w_{R,I}$ 为平滑顶帽（或 Fejér 型窗）：支撑在 $I$ 附近，$\mathrm{diam}(\mathrm{supp}{w}_{R,I})\asymp |I|$，并经归一化使 $\frac{1}{\pi }\int w_{R,I}{\phi }^{\prime }(x)dx=\Phi (I)/\pi$。

配合引理 1.1、引理 2.2 与插值密度结论，在相位导数 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 为（局部）doubling 的假设下，令 $R\to \infty$ 并对区间中心平移平均，配合 Landau 型密度定理（MNO 2012）得 $D_{\phi }^{+}(\Lambda )\le 1$。$\square$

提示：本定理在（局部）doubling 前提下引用 doubling-phase 密度定理得出阈值。

读者指南（§1–§2 总结）：本文 §1–§2 直接证明必要端（采样下界 $D_{\phi }^{-}\ge 1$ 与插值上界 $D_{\phi }^{+}\le 1$）；充分端在 one-component 框架与分离/Carleson 前提下完整给出（见 §1.5 命题）。§3 给出相位网格的充分构造（Clark 基），§4 给出小扰动稳定性。

3. 相位网格与 Clark 基：充分性模板（构造）

本节角色说明：本节给出达到密度=1 的一个充分构造（相位网格上的 Clark 基），并非一般充要刻画；充要刻画见 §1.5。

对任意 $\theta \in \mathbb{R}$，定义“相位网格“（相位步长为 $\pi$）

$$\boxed{X_{\theta }:=\{x\in \mathbb{R}:\Theta (x)=e^{2i\theta }\}=\{x:\phi (x)=\theta +\pi n,n\in \mathbb{Z}\}.}$$

定理 3.1（Clark 基的相位密度刻画）. 设 $\Theta =E^{♯}/E$ 为亚纯内函数。

等距同构约定（本节统一）：定义 $U:\mathcal{H}(E)\to K_{\Theta }$ 为 $(UF)(z)=F(z)/E(z)$，其逆 $U^{-1}:K_{\Theta }\to \mathcal{H}(E)$ 为 $(U^{-1}f)(z)=E(z)f(z)$。以下统一用 $U$ 与 $U^{-1}$ 表示两空间的来回对应。

则：

（i）对所有 $\alpha \in \mathbb{T}$，Clark 测度 ${\sigma }_{\alpha }$ 为纯原子（支撑为 $\{x:\Theta (x)=\alpha \}$ 的离散集）。原子质量满足精确恒等式（meromorphic 内函数；与本节的等距同构规范一致）

$${\sigma }_{\alpha }(\{x\})=\frac{1}{|{\Theta }^{\prime }(x)|}.$$

（对亚纯内函数，所有 Clark 测度支撑均为离散。前提说明：本性质对所有亚纯内函数恒成立，不需 §1–§2 所用的 doubling 假设。）

（ii）对除至多一个角 $\alpha =e^{2i\theta }\in \mathbb{T}$ 外，$\{k_x^{\Theta }{\}}_{\Theta (x)=\alpha }$ 构成 $K_{\Theta }$ 的正交核基。该例外角由充要条件

$$\boxed{e^{i{\theta }_{\mathrm{exc}}}E(z)-e^{-i{\theta }_{\mathrm{exc}}}{E}^{♯}(z)\in \mathcal{H}(E)}$$

唯一刻画（其中 ${\theta }_{\mathrm{exc}}\in \mathbb{R}$ 为常数）。若无例外角，则对所有 $\theta \in [0,\pi )$，相位网格 $X_{\theta }$ 均对应正交核基。

经 $U^{-1}$ 回到 $\mathcal{H}(E)$，得到相位网格 $X_{\theta }=\{x:\phi (x)=\theta +\pi n,n\in \mathbb{Z}\}$（相位步长 = $\pi$）上的正交核基（除至多一个角外；若出现例外角需按 Theorem 22 判据另行核查），且

$$D_{\phi }^{\pm }(X_{\theta })=1.$$

说明. 在实轴上 $\Theta (x)=\frac{E^{♯}(x)}{E(x)}=e^{2i\phi (x)}$（a.e.），故相位网格 $X_{\theta }=\{x:\phi (x)=\theta +\pi n,n\in \mathbb{Z}\}$（相位步长 = $\pi$）。对亚纯内函数 $\Theta$，对所有 $\alpha =e^{2i\theta }\in \mathbb{T}$，Clark 测度 ${\sigma }_{\alpha }$ 为纯原子；其支撑为 $\{\Theta =\alpha \}=\{x:e^{2i\phi (x)}=e^{2i\theta }\}=\{x:\phi (x)=\theta +\pi n\}$ 的离散解。对除至多一个角 $\alpha$ 外，$\{k_x^{\Theta }{\}}_{\Theta (x)=\alpha }$ 为 $K_{\Theta }$ 的正交核基；经 $U^{-1}$ 回到 $\mathcal{H}(E)$，得到相位网格 $X_{\theta }$（相位步长 = $\pi$）上的正交核基（除至多一个角需另查），且 $D_{\phi }^{\pm }(X_{\theta })=1$。

前提说明：§1–§2 的密度判据需在**（局部）doubling 前提下引用 doubling-phase 密度定理**（回引 §0），本定理中 Clark 测度的纯原子性对亚纯内函数恒成立，不需该假设；“至多一个例外角“对应的是正交核基性质，而非测度性质。

对 meromorphic $\Theta$，$\{k_{x_n}^{\Theta }{\}}_{\phi (x_n)=\theta +\pi n}$ 在 $K_{\Theta }$ 中对所有 $\theta \in [0,\pi )$ 除至多一个值外为正交核基；经 $U^{-1}$ 回到 $\mathcal{H}(E)$，得到对应的 $\{{\kappa }_{x_n}\}$ 结论。

例外角的存在性与刻画：对 $\alpha =e^{2i\theta }\in \mathbb{T}$，令 $\phi ({\omega }_n)=\theta +\pi n$。则对除至多一个 $\theta$ 外，$\{{\kappa }_{{\omega }_n}\}$ 为 $\mathcal{H}(E)$ 的正交核基；若存在例外角 ${\theta }_{\mathrm{exc}}$，其充要刻画为

$$\boxed{e^{i{\theta }_{\mathrm{exc}}}E(z)-e^{-i{\theta }_{\mathrm{exc}}}{E}^{♯}(z)\in \mathcal{H}(E)}$$

关键说明（常数相位；重要）：${\theta }_{\mathrm{exc}}$ 为常数相位，不依赖于 $z$；上式中 $e^{i{\theta }_{\mathrm{exc}}}$ 与 $e^{-i{\theta }_{\mathrm{exc}}}$ 均为复常数（而非依赖于 $z$ 的函数）。该例外角由上述条件唯一确定。在该例外角 ${\theta }_{\mathrm{exc}}$ 处，$\{{\kappa }_x{\}}_{\Theta (x)=e^{2i{\theta }_{\mathrm{exc}}}}$ 在 $\mathcal{H}(E)$ 中构成余维 1 的正交集，其正交补由 $e^{i{\theta }_{\mathrm{exc}}}E-e^{-i{\theta }_{\mathrm{exc}}}{E}^{♯}$ 张成；对非该角的所有其他 $\theta$，相应核族 $\{{\kappa }_x{\}}_{\phi (x)=\theta +\pi n}$ 均为（正交核）基。

4. 小扰动稳定与 Kadec 型定理

设 $\{x_n^{(0)}\}$ 为某 $\theta$ 的相位网格的递增枚举（$\phi (x_n^{(0)})=\theta +n\pi$），令 $\Lambda =\{x_n\}$ 与之逐点对应。定义相位分离量（在相位坐标下的 Carleson 式分离）

$${\Delta }_{\phi }:=\underset{m\ne n}{\inf }|\phi (x_m)-\phi (x_n)|>0,$$

并记相位偏差

$$\delta :=\underset{n}{\sup }|\phi (x_n)-\phi (x_n^{(0)})|.$$

定理 4.1（Kadec–Bari 型稳定）

存在 ${\delta }_0>0$ 使得若 $\delta <{\delta }_0$ 且 ${\Delta }_{\phi }>0$，则 $\{{\kappa }_{x_n}\}$ 与 $\{{\kappa }_{x_n^{(0)}}\}$ 等价，因而为 Riesz 基；框界常数仅依赖于 $\delta$ 与 ${\Delta }_{\phi }$。

归一说明与常数 ${\delta }_0$ 的确定（重要；分 PW 与一般情形）：

本文统一采用以下归一设定：

1. 固定 $\Theta (x)=e^{2i\phi (x)}$，相位步长为 $\pi$；
2. 在 Paley–Wiener 空间 $P{W}_{\pi }$ 中，取 ${\phi }^{\prime }(x)\equiv \pi$，从而 $\phi (x)=\pi x$（适当选零点；与本文采用的 $\hat{f}(\xi )=\int f(x)e^{-ix\xi }dx$ 的弧度规范一致）；
3. 于是相位偏差条件 ${\sup }_n|\phi (x_n)-(\theta +n\pi )|<{\delta }_0$ 等价于 ${\sup }_n|{\lambda }_n-n|<{\delta }_0/\pi$（其中 ${\lambda }_n=x_n$）。

对应经典 Kadec (1/4) 定理（在 $L^2(-\pi ,\pi )$ 归一化下），要求 ${\sup }_n|{\lambda }_n-n|<1/4$，因此在 Paley–Wiener 情形可取 ${\delta }_0=\pi /4$（⚠️ 仅 PW 归一；非更强命题）。具体而言，

$$\phi (x)=\pi x\Rightarrow \underset{n}{\sup }|\phi (x_n)-(\theta +n\pi )|<\frac{\pi }{4}⟺\underset{n}{\sup }|x_n-(\frac{\theta }{\pi }+n\left)\right|<\frac{1}{4}.$$

从而 ${\sup }_n|\phi (x_n)-(\theta +n\pi )|<\pi /4$ 与 $L^2(-\pi ,\pi )$ 语境的 Kadec 1/4 完全等价（并非更强命题）。

规范警示：在 $\hat{f}(\xi )=\int f(x)e^{-ix\xi }dx$ 规范下，$P{W}_{\pi }$ 中 ${\phi }^{\prime }(x)\equiv \pi$ 与时间步长 1 对齐，故 ${\delta }_0=\pi /4$ 等价于 ${\sup }_n|{\lambda }_n-n|<1/4$。

对一般 de Branges 空间：${\delta }_0$ 依赖于相位测度的 doubling 常数、one-component（一分量）性与相关 Carleson/伪双曲控制，在模型空间中核基/框架的小扰动稳定性结果中给出；具体数值 ${\delta }_0$ 需由 doubling 与 one-component 常数以及 Bernstein 型不等式的常数确定，本文不追求其最优数值，亦无统一显式常数（一般情形无尖锐常数）。

注（Paley–Wiener 情形与经典 Kadec 1/4）：在 Paley–Wiener 空间 $P{W}_{\pi }$ 中，取 $\phi (x)=\pi x$，则相位偏差条件 ${\sup }_n|\phi (x_n)-(\theta +n\pi )|<\pi /4$ 等价于 ${\sup }_n|x_n-(\theta /\pi +n)|<1/4$，这正是 $L^2(-\pi ,\pi )$ 归一化下经典 Kadec 1/4 定理的形式。因此本文相位坐标表述在 Paley–Wiener 情形下与经典结论完全等价，并非更强命题。

说明（Kadec 1/4 与稳定性背景）：在 Paley–Wiener 空间 $P{W}_{\pi }$ 中，Kadec 定理断言若 ${\sup }_n|{\lambda }_n-n|<1/4$，则 $\{e^{i{\lambda }_{n}t}\}$ 为 $L^2(-\pi ,\pi )$ 的 Riesz 基，常数 $1/4$ 尖锐。通过相位坐标化，这与本文的相位偏差条件 ${\sup }_n|\phi (x_n)-(\theta +n\pi )|<\pi /4$ 等价（并非更强命题）；此几何化理解与经典 Kadec 1/4 定理等价。一般 de Branges 空间中，相应的伪双曲/Carleson 型控制对应模型空间中核基/框架的小扰动稳定性结果。

证明. 以 $\phi$ 为坐标考察 Gram 矩阵 $G=(⟨{\kappa }_{x_m},{\kappa }_{x_n}⟩)$。当 $\delta =0$ 时得到 Clark 构型的对角情形；小相位偏差给出

$$G=I+K,\Vert K\Vert \le C({\Delta }_{\phi })\delta <1,$$

因而 $G$ 是对角 + 小范数有界扰动的可逆算子。由 Neumann 级数得可逆性，结合 Bari 定理即得 Riesz 基稳定。本稳定性仅依赖 Gram 矩阵的’对角+小扰动’结构与 Bari–Neumann 论证，与窗化无关。$\square$

注记（${\delta }_0$ 的依赖性）：上述临界值 ${\delta }_0$ 依赖于相位测度的 doubling 常数与 one-component 性质中的相关控制常数；本文采定性陈述，不追求 ${\delta }_0$ 的尖锐数值。在 Paley–Wiener 情形 ${\delta }_0=\pi /4$ 对应经典 Kadec 1/4 定理；在一般 de Branges–doubling 情形 ${\delta }_0$ 取决于 doubling/one-component 常数。

注记：小相位偏差的 Riesz/框架稳定与模型空间中核基的“对角+小扰动“框架一致。

5. Weyl–Mellin 格点与 Balian–Low 类不可能性

符号消歧声明（本节独立；重要）：本节讨论 Gabor 系统，为彻底避免与 §3 中单位圆角度 $\alpha =e^{2i\theta }\in \mathbb{T}$ 的混淆，本节 Gabor 网格步长统一记为 $(\sigma ,\tau )$ 或 $({\sigma }_0,{\tau }_0)$（空间—频率步长，实数），不使用 $(\alpha ,\beta )$ 记号；圆周角度始终用 $e^{2i\theta }$ 表示。规范换元对照：本文采用 ${\mathrm{e}}^{i\tau t}$ 规范，临界密度为 ${\tau }_0{\sigma }_0=2\pi$；这与 Gabor 文献常用的 ${\mathrm{e}}^{2\pi i\beta t}$ 规范下的 ${\alpha }_{\mathrm{Gabor}}{\beta }_{\mathrm{Gabor}}=1$ 完全等价（换元：$\tau =2\pi {\beta }_{\mathrm{Gabor}}$，$\sigma ={\alpha }_{\mathrm{Gabor}}$）。

在带权 Mellin–Hilbert 空间 ${\mathcal{H}}_a=L^2({\mathbb{R}}_{+},x^{a-1}dx)$ 上，考虑 Weyl–Heisenberg 酉对

$$(U_{\tau }f)(x)=x^{i\tau }f(x),(V_{\sigma }f)(x)=e^{\sigma a/2}f(e^{\sigma }x),$$