S27. 局部化算子、Carleson 测度与 Weyl 定律

—— de Branges–Mellin 框架中的核论证、迹恒等与非渐近窗化误差

Version: 1.13

摘要（定性）

在以 Hermite–Biehler 函数 $E$ 生成的 de Branges 空间 $\mathcal{H}(E)$ 中，本文建立三条互锁结构：其一，用核论证（reproducing-kernel thesis, RKT）刻画 $\mathcal{H}(E)$ 的上/下 Carleson 测度，并在“相位导数测度“下给出采样/插值的密度律；其二，给出局部化（Toeplitz/Berezin）算子的迹恒等与Weyl 型谱分布（弱极限），把“符号 $\times$ 窗 $\times$ 相位密度“的积分等同于算子迹；其三，数值实现严格遵循有限阶 Euler–Maclaurin（EM）纪律，误差由“别名（Poisson）+ 伯努利层（EM 余项）+ 截断“三项非渐近封顶。上述结论与 de Branges 核对角公式、Weyl–Titchmarsh $m$-函数的相位—密度词典一致，并可与散射论中的 Birman–Kreĭn/相移公式互相接口。

0. 设定与记号

令 $E$ 为 Hermite–Biehler（HB）函数，$\mathcal{H}(E)$ 为对应的 de Branges 空间，其再生核 $K(z,w)$ 满足 $F(t)=⟨F,K(\cdot ,t){⟩}_{\mathcal{H}(E)}$。写

$$E(x)=|E(x)|e^{-i\phi (x)},U(x):=\frac{E^{♯}(x)}{E(x)}=e^{2i\phi (x)},x\in \mathbb{R}.$$

其中 $E^{♯}(z):=\overline{E(\overline{z})}$。

记 Weyl–Titchmarsh $m$-函数之边界值 $\Im m(x+i0)$ 与谱测度 $\mu$ 的绝对连续密度 $\rho (x)=\frac{d{\mu }_{\mathrm{ac}}}{dx}(x)$。标准恒等式为

$$\boxed{\frac{K(x,x)}{|E(x){|}^2}=\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }=\rho (x)}\text{(a.e. x∈R)},$$

亦即“核对角 = 相位导数 = 相对谱密度“。

以相位密度测度作为基准计量：

$$d{\nu }_0(x):=\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }dx.$$

数值实现中，窗函数一律取偶、$0\le w\le 1$、$w(0)=1$，并满足 $w\in C^p(\mathbb{R})$（$p\ge 2$ 与 §3 的 EM 阶次一致），且尺度化 $w_R(t):=w(t/R)$。据此 $w_R(t)$ 满足 $0\le w_R\le 1$ 且当 $R\to \infty$ 时在每个有界区间上 $w_R\to 1$。离散—连续换序只使用有限阶 EM 公式（余项显式可积表达），Poisson 召回“别名“项；三者合称“Nyquist–Poisson–EM 三分解“。

记号约定：写 $X\lesssim Y$ 表示存在常数 $C>0$，其仅依赖于（A）中的 Doubling 常数、离散序列的分离常数、固定 EM 阶次 $p$ 及所选窗族的固定正则性/支配常数，而与 $(R,\Delta ,T)$、区间 $I$ 与具体符号 $a$ 无关；$X\gtrsim Y$ 同理；$X\simeq Y$ 指双边界。

说明（散射接口）：在散射谱模型下 $\rho (x)={\pi }^{-1}\Im m(x+i0)$ 即相移导数/谱移函数的密度表述，与 Birman–Kreĭn 轨迹公式兼容；近年在广义背景下仍有活跃发展。

1. Carleson 测度与核论证（RKT）

1.1 定义与基准

对正测度 $\nu$（$\mathbb{R}$ 上局部有限），称其为 $\mathcal{H}(E)$ 的上 Carleson 测度，若

$${\int }_{\mathbb{R}}|F(x){|}^{2}d\nu (x)\le C\Vert F{\Vert }_{\mathcal{H}(E)}^2(\forall F\in \mathcal{H}(E)).$$

称 $\nu$ 为下 Carleson（逆 Carleson），若

$$c\Vert F{\Vert }_{\mathcal{H}(E)}^2\le {\int }_{\mathbb{R}}|F(x){|}^{2}d\nu (x)(\forall F\in \mathcal{H}(E)).$$

基准测度 $d{\nu }_0=\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }dx$ 与核对角通过上式联动，见 §0。

1.2 上 Carleson的核测试（充分必要）

记 $K_t:=K(\cdot ,t)$，$k_t:=K_t/\sqrt{K(t,t)}$。

定理 1.1（RKT：上 Carleson $⟺$ 核测试）. 假设（A）：${\phi }^{\prime }(x)dx$ 为 Doubling（例如关联内函数为一成分的典型情形）。

则对一切正测度 $\nu$，以下等价：

$$\begin{array}{rl}\text{(i)}& \nu \text{为上 Carleson；}\\ \text{(ii)}& \underset{t\in \mathbb{R}}{\sup }{\int }_{\mathbb{R}}\frac{|K(x,t){|}^2}{K(t,t)}d\nu (x)<\infty .\end{array}$$

若（A）不成立，则 (i)$\Rightarrow$(ii) 仍成立，而反向蕴含一般不保证。

证明要点（修订）. 设嵌入 $J:\mathcal{H}(E)\to L^2(\nu )$，$(JF)(x):=F(x)$。定义 $$Q(F,G):={\int }_{\mathbb{R}}⟨F,K(\cdot ,x)⟩\overline{⟨G,K(\cdot ,x)⟩}d\nu (x)={\int }_{\mathbb{R}}F(x)\overline{G(x)}d\nu (x).$$ 则 $Q$ 为有界正半双线性型，存在唯一正有界算子 $S\in \mathcal{B}(\mathcal{H}(E))$ 使得 $⟨SF,G⟩=Q(F,G)$，且 $S=J^{\ast }J$。于是 $$\Vert J{\Vert }^2=\Vert S\Vert =\underset{\Vert F\Vert =1}{\sup }{\int }_{\mathbb{R}}|F(x){|}^{2}d\nu (x)\ge \underset{t\in \mathbb{R}}{\sup }\frac{\Vert J{K}_t{\Vert }_{L^2(\nu )}^2}{\Vert K_t{\Vert }^2}=\underset{t\in \mathbb{R}}{\sup }{\int }_{\mathbb{R}}\frac{|K(x,t){|}^2}{K(t,t)}d\nu (x).$$ 在（A）下，利用标准的 reproducing‑kernel thesis 引理（连续帧/覆盖估计），可由右端上界控制左端，从而得 (ii)$\Rightarrow$(i)；一般情形仍有 (i)$\Rightarrow$(ii)。∎

注：在 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 为Doubling 的情形，真实轴采样/插值可得密度刻画，见 §4。

1.3 下 Carleson与逆核测试

定理 1.2（逆 Carleson = 逆核测试，修订）. 若 $\nu$ 为正测度且在每个有界区间内有限（可离散/绝对连续/混合），则存在 $c>0$ 使

$${\int }_{\mathbb{R}}\frac{|K(x,t){|}^2}{K(t,t)}d\nu (x)\ge c(\forall t\in \mathbb{R})$$

当且仅当 $\nu$ 为下 Carleson。

证略. $J:\mathcal{H}(E)\to L^2(\nu )$ 有下界 $\iff S=\int |K_x⟩⟨K_x|d\nu (x)\ge cI$。以 $F=k_t$ 代入得 $$⟨S{k}_t,k_t⟩={\int }_{\mathbb{R}}\frac{|K(x,t){|}^2}{K(t,t)}d\nu (x)\ge c,$$ 反向同理。∎

1.4 离散测度与分离序列

设 $X=\{x_n\}\subset \mathbb{R}$ 在相位度量 $d_{\phi }(x,y):=|\phi (x)-\phi (y)|$ 下分离，写 $d{\nu }_X:={\sum }_n{\omega }_n{\delta }_{x_n}$。 由 1.1–1.2：${\nu }_X$ 上 Carleson $\Rightarrow$ $\{\sqrt{{\omega }_n}{k}_{x_n}\}$ 为 Bessel 系；上下皆成立 $\iff$ $\{\sqrt{{\omega }_n}{k}_{x_n}\}$ 为框架（即 $X$ 为采样集）；下 Carleson $\Rightarrow$ 下框架。此与模型子空间/Dirichlet-型空间中的结论并行。

2. 局部化算子：迹恒等与 Weyl 型谱分布

2.1 恒等分解与对角核

由 de Branges 边界模型 $⟨F,G⟩=\int F(x)\overline{G(x)}|E(x){|}^{-2}dx$ 与 §0 核对角式，得到

$$⟨F,G{⟩}_{\mathcal{H}(E)}={\int }_{\mathbb{R}}\frac{⟨F,K(\cdot ,x)⟩\overline{⟨G,K(\cdot ,x)⟩}}{K(x,x)}\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }dx.\text{\hspace{1em}(2.1)}$$

$$\boxed{{\int }_{\mathbb{R}}|k_x⟩⟨k_x|d{\nu }_0(x)=I},d{\nu }_0(x)=\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }dx.\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

2.2 定义（局部化/Toeplitz–Berezin 型算子）

取有界实值符号 $a\in L^{\infty }(\mathbb{R})$ 与实值偶窗 $w_R$，定义

$$T_{a,R}:={\int }_{\mathbb{R}}a(x)w_R(x)\frac{|K(\cdot ,x)⟩⟨K(\cdot ,x)|}{K(x,x)}\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }dx.$$

则 $T_{a,R}$ 自伴。若 $a\ge 0$ 且 $w_R\ge 0$（a.e.）则 $T_{a,R}$ 为正（反向一般不保证）。 若再有 $a,w_R\ge 0$，则 $T_{a,R}$ 迹类当且仅当 $a{w}_R\in L^1(d{\nu }_0)$，且 $\mathrm{Tr}{T}_{a,R}=\int a{w}_{R}d{\nu }_0$。 在一般实值（可变号）情形：$|a|w_R\in L^1(d{\nu }_0)\Rightarrow T_{a,R}\in {\mathcal{S}}_1$，且 $\mathrm{Tr}{T}_{a,R}=\int a(x)w_R(x)d{\nu }_0(x)$。

在 §2.4–§2.5 中默认 $0\le a\le 1$、$0\le w_R\le 1$ 以合法使用 Ky Fan 与 Lidskii。

在 $0\le a\le 1$、$0\le w_R\le 1$ 下，由 (2.2) 得对任意 $F\in \mathcal{H}(E)$， $$0\le ⟨T_{a,R}F,F⟩={\int }_{\mathbb{R}}a(x)w_R(x)|⟨F,k_x⟩{|}^{2}d{\nu }_0(x)\le {\int }_{\mathbb{R}}|⟨F,k_x⟩{|}^{2}d{\nu }_0(x)=\Vert F{\Vert }^2,$$ 故 $0\le T_{a,R}\le I$，从而 ${\lambda }_j(T_{a,R})\in [0,1]$。

2.3 迹恒等

定理 2.1（迹恒等）. 若 $T_{a,R}$ 迹类，则

$$\boxed{\mathrm{Tr}{T}_{a,R}={\int }_{\mathbb{R}}a(x)w_R(x)\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }dx}.\text{\hspace{1em}(2.3)}$$

证明（修订）. 当 $a,w_R\ge 0$ 时，$|k_x⟩⟨k_x|$ 的迹为 1（此处 $|k_x⟩:=K(\cdot ,x)/\sqrt{K(x,x)}$），利用单调收敛与分解 $T_{a,R}=\int f(x)|k_x⟩⟨k_x|d{\nu }_0$ 得 $\mathrm{Tr}{T}_{a,R}=\int fd{\nu }_0$。一般实值时，在 $|a|w_R\in L^1(d{\nu }_0)$ 下，$x\mapsto f(x)|k_x⟩⟨k_x|$ 在迹范数下可积，故可按 Bochner/Fubini 换序并得同式。∎

2.4 Ky Fan 原理与层集上界

记 $\{{\lambda }_j(T_{a,R})\}$ 为特征值降序列。

命题 2.2（Ky Fan 上界——修订）. 假设 $T_{a,R}\ge 0$。 记 $f(x):=a(x)w_R(x)$，并以 $d{\nu }_0$ 为参照定义其非增重排 $f^{\ast }$ 于区间 $[0,M_R]$，其中 $M_R:=\int w_R\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }dx$。则对任意 $N\in \mathbb{N}$，

$$\sum _{j=1}^N{\lambda }_j(T_{a,R})\le {\int }_0^{\min \{N,M_R\}}{f}^{\ast }(t)dt.$$

证意. 用分解 $T_{a,R}=\int f(x)|k_x⟩⟨k_x|d{\nu }_0$ 与连续帧的分辨率恒等式，结合 Ky Fan 最大化原理与 Hardy–Littlewood 重排不等式得之。∎

2.5 Weyl 型谱分布（弱极限）

定理 2.3（Weyl 定律，弱收敛版）. 在 $0\le a\le 1$、$0\le w_R\le 1$ 且 $M_R\to \infty$ 下成立。 设 $a\in L^{\infty }$；$w_R\to 1$ 于每个有界区间且满足 §3 的有限阶 EM 纪律。记 $M_R:=\int w_R\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }dx$。由于对每个固定 $R$ 有 $M_R<\infty$，且 $\Vert a{\Vert }_{\infty }<\infty$，故 $\mathrm{Tr}{T}_{a,R}\le \Vert a{\Vert }_{\infty }{M}_R<\infty$，从而 $T_{a,R}\in {\mathcal{S}}_1$；由 $\psi (0)=0$ 且 $\psi$ 为 Lipschitz，得 $\psi (T_{a,R})\in {\mathcal{S}}_1$。则对任意满足 $\psi \in C([0,1])$、$\psi (0)=0$ 且 $\psi$ 为 Lipschitz 的函数，

$$\frac{1}{M_R}\sum _{j\ge 1}\psi ({\lambda }_j(T_{a,R}))⟶\frac{1}{M_R}{\int }_{\mathbb{R}}\psi (a(x))w_R(x)\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }dx(R\to \infty ).$$

证明思路. 由 $\psi (0)=0$ 与 Lipschitz 得 $|\psi (s)|\le Ls$，故 $\psi (T_{a,R})\in {\mathcal{S}}_1$ 且 $\mathrm{Tr}\psi (T_{a,R})={\sum }_j\psi ({\lambda }_j(T_{a,R}))$（Lidskii）。结合定理 2.1 的迹恒等式、Ky Fan 原理与 $w_R$ 的近似恒等性质，得弱收敛。∎

散射接口：在散射/完成函数等价下，${\phi }^{\prime }=\pi \rho$ 为相位导数，故 $\mathrm{Tr}{T}_{a,R}$ 等价于“$a\cdot w_R$“对散射密度的加权积分，与 Birman–Kreĭn 公式一致。

3. 非渐近窗化误差：Nyquist–Poisson–EM 三分解

记对 (2.1)–(2.3) 的数值实现

$${\mathsf{tr}}_{\Delta ,T}(a,R):=\Delta \sum _{|k|\le \lfloor T/\Delta \rfloor }a(k\Delta )w_R(k\Delta )\frac{{\phi }^{\prime }(k\Delta )}{\pi }.$$

定理 3.1（三分解上界，非渐近）. 若 $a,w_R,{\phi }^{\prime }$ 平滑到阶 $p\ge 2$，则

$$|\mathrm{Tr}{T}_{a,R}-{\mathsf{tr}}_{\Delta ,T}(a,R)|\le \underset{\text{Poisson}}{\underbrace{{\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}}}+\underset{\text{伯努利层}}{\underbrace{{\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}(p)}}+\underset{\text{截断}}{\underbrace{{\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}}},$$

其中 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}}$ 由 Poisson 公式的“离带镜像“项显式给出（Nyquist 条件下可为 0）；

${\mathcal{E}}_{\mathrm{EM}}(p):=|R_p|$ 为 Euler–Maclaurin 余项的绝对值；${\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}$ 取决于 $a,w_R,{\phi }^{\prime }$ 的支集与衰减。

取 $p=2m\ge 2$，令 $f(x):=a(x)w_R(x)\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }$。则 $$R_p=-\frac{{\Delta }^p}{p!}{\int }_{\mathbb{R}}{f}^{(p)}(x)B_p\left(\left\{\frac{x}{\Delta }\right\}\right)dx,|R_p|\le \frac{{\Delta }^p\Vert B_p{\Vert }_{L^{\infty }}}{p!}\Vert f^{(p)}{\Vert }_{L^1}.$$ 其中 $B_p(\{x/\Delta \})$ 为周期化 Bernoulli 多项式（$\{x/\Delta \}$ 为 $x/\Delta$ 的分数部分）；此处要求 $f^{(p)}\in L^1(\mathbb{R})$。

实现建议：保持 有限阶 EM（严禁逐项无穷外推），并优先选择带限/指数衰减的偶窗以压低 ${\mathcal{E}}_{\mathrm{alias}},{\mathcal{E}}_{\mathrm{tail}}$。

4. 采样/插值的密度律（Landau 型）

设 $X=\{x_n\}\subset \mathbb{R}$ 为相位度量下分离序列，$I\subset \mathbb{R}$ 有界区间。记

$${\nu }_0(I)={\int }_I\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }dx.$$

定理 4.1（必要密度条件）. 若 $X$ 为采样集（存在上/下框架常数），则

$$\#\{x_n\in I\}\gtrsim {\nu }_0(I).$$

若 $X$ 为插值集，则

$$\#\{x_n\in I\}\lesssim {\nu }_0(I).$$

证明要点. 以 $a=1_I$、$w_R\equiv 1$ 代入迹恒等与命题 2.2，并用 §1 的上/下 Carleson 得计数与 ${\nu }_0(I)$ 的比较。∎

定理 4.2（密度刻画：Doubling 情形）. 若 ${\phi }^{\prime }(x)dx$ 为 Doubling，则采样/插值在实轴上的必要充分密度条件均以 ${\nu }_0$ 给出（几何密度阈值）。

5. 离散图对照（Ihara ζ 与非回溯算子）

在有限 $(q+1)$-正则图上，取 $\{{\mathbf{e}}_k\}$ 为所处 Hilbert 空间的正交标准基，构造“离散局部化算子“

$$T_{a,R}^{\mathrm{disc}}:=\sum _{k\ge 1}a(k)w_R(k)|{\mathbf{e}}_k⟩⟨{\mathbf{e}}_k|.$$

则 $\mathrm{Tr}{T}_{a,R}^{\mathrm{disc}}={\sum }_{k\ge 1}a(k)w_R(k)$，与 Ihara–Bass 行列式公式 $\zeta (u{)}^{-1}=(1-u^2{)}^{r-1}\det (I-Au+Q{u}^2)$ 的“长度频率计数“相呼应；图上之“密度—计数—迹“关系与连续情形平行，并可借 Poisson/EM 给出离散三分解误差。

6. 适用范围与失效边界

1. EM 仅取有限阶：无穷级外推会引入伪奇性与数值不稳定。
2. 窗/核正则性：若窗非偶或衰减不足，需回退到一般 RKHS 的投影–卷积表达并以 RKT 重新估计。
3. 符号非界/支集过大：$T_{a,R}$ 可能非迹类；可先在区间上截断符号并用 §3 的三分解闭合。
4. RKT 充要性：一般 RKHS 不总成立；在 $\mathcal{H}(E)$ 与模型子空间的若干类（含 ${\phi }^{\prime }$ Doubling、一成分情形、Dirichlet-型空间）成立。

7. 与 S15–S26 及量子理论的接口

7.1 与 S15–S17（Herglotz、de Branges、规范系统）的接口。

• S15–S17 的 Herglotz 表示与规范系统为本文 §0 的核对角公式 $K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|E(x){|}^2$ 提供解析结构。
• S15–S17 的 Weyl–Titchmarsh $m$-函数之边界值 $\Im m(x+i0)=\pi \rho (x)$ 与本文相位密度测度 $d{\nu }_0=\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }dx$ 完全一致。

7.2 与 S24–S26（框架、相位密度、采样）的接口。

• S24 的纤维 Gram 表征与 Wexler–Raz 双正交为本文 §1.4 的离散测度与分离序列提供具体判据。
• S26 的相位密度刻度 ${\phi }^{\prime }(x)=\pi \rho (x)$ 与本文 §0、§1、§2 的相位密度测度 $d{\nu }_0$ 在 de Branges 语境下完全对齐。
• S26 的 Landau 必要密度条件与本文定理 4.1 在相位坐标下等价。

7.3 与 WSIG-QM / UMS 的接口。

• WSIG-QM 的公理 A5（相位—密度—延迟刻度）与本文 §0 的核对角公式在散射语境下一致。
• UMS 的核心统一式 $d{\mu }_{\phi }=\frac{1}{2\pi }\mathrm{tr}\mathsf{Q}dE={\rho }_{\mathrm{rel}}dE=\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }dE$ 与本文 §0、§2 的相位密度测度在 de Branges 空间语境下完全对齐。
• 本文定理 2.1（迹恒等）可视为 UMS 窗化读数在局部化算子语境下的具体实现。

7.4 与 WSIG-QFT / 量子引力场的接口。

• WSIG-QFT 的定理 5.2（窗化 BK 恒等式）与本文定理 2.1（迹恒等）在散射/规范系统等价下共享数学结构。
• 量子引力场理论的相位密度刻度 ${\phi }^{\prime }(E)=\pi {\rho }_{\mathrm{rel}}(E)$ 与本文 §0 在散射谱模型下一致。

7.5 与窗口化路径积分理论的接口。

• 路径积分理论的窗—核对偶可在能量域改写为本文 §2.2 的局部化算子 $T_{a,R}$。
• 路径积分理论的 Nyquist–Poisson–EM 误差闭合与本文定理 3.1 的三分解框架完全一致。

7.6 与 FMU 的接口。

• FMU 的相位密度坐标 $d{\mu }_{\phi }=(1/\pi ){\phi }^{\prime }d\omega$ 与本文 §0 的相位密度测度 $d{\nu }_0$ 在 Mellin 语境下等价。
• FMU 的定理 4.1（Nyquist–Poisson–EM 三分解）对应本文定理 3.1。

7.7 保持“极点 = 主尺度“的有限阶 EM 纪律。

• 本文在所有离散—连续换序中均采用有限阶 EM（定理 3.1），确保不引入新奇点。
• 与 S15–S26、WSIG-QM、UMS、WSIG-QFT、路径积分理论、量子引力场、FMU 保持一致：EM 余项仅作有界扰动。

附录 A：若干标准判据与引用式

• 核对角—相位导数：$K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|E(x){|}^2$。
• Berezin/Toeplitz 与迹：$\mathrm{Tr}(\int f(x)|k_x⟩⟨k_x|d\mu (x))=\int fd\mu$。
• Ky Fan 最大化原理 与 Lidskii 定理（迹类 $\Rightarrow$ 迹 = 特征值可求和）。
• Poisson 公式、Nyquist–Shannon 采样 与 EM 余项显式表达。
• Toeplitz Weyl 律（几何量化视角）。
• Birman–Kreĭn/相移—谱移（散射接口）。
• Ihara–Bass 行列式公式（离散图对照）。

参考文献（选）

1. J. Antezana, J. Marzo, J.-F. Olsen, Zeros of Random Functions Generated with de Branges Kernels, IMRN (2016)（含 $K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|E(x){|}^2$）。
2. J. Marzo, S. Nitzan, J.-F. Olsen, Sampling and interpolation in de Branges spaces with doubling phase, arXiv:1103.0566。
3. E. Fricain, A. Hartmann, W. T. Ross, A Survey on Reverse Carleson Measures, arXiv:1601.00226。
4. G. R. Chacón, E. Fricain, M. Shabankhah, Carleson Measures and Reproducing Kernel Thesis in Dirichlet-type Spaces, arXiv:1009.1801；SPMJ (2013)。
5. L. A. Coburn, Berezin Transform and Weyl-Type Unitary Invariants, J. Funct. Anal.（综述性介绍）。
6. S. Axler, The Berezin Transform（讲义）。
7. R. Paoletti, On the Weyl Law for Toeplitz Operators, arXiv:0806.0225。
8. A. Strohmaier et al., The Birman-Kreĭn Formula for Differential Forms…, Adv. Math. (2022)。
9. H. Zhang, The Birman–Kreĭn Formula and Scattering Phase on Product Space, arXiv:2509.06372 (2025)。
10. DLMF §24（Euler–Maclaurin 及余项表达）；维基条 Euler–Maclaurin Formula（补充）。
11. L. N. Trefethen, J. A. C. Weideman, The Exponentially Convergent Trapezoidal Rule, SIAM Review (2014)。
12. 维基条 Poisson Summation Formula、Nyquist–Shannon Sampling Theorem。
13. Ihara–Bass 文献与综述（Deitmar；Rangarajan 等）。
14. Ky Fan 原理、Lidskii 定理综述与讲义。

致谢与接口

本文以 $\mathcal{H}(E)$ 的核对角—相位导数恒等式为计量基准，RKT 给出 Carleson/框架—采样/插值的可检判据；Toeplitz/Berezin 局部化把“符号 $\times$ 窗 $\times$ 相位密度“几何量化为迹，并导出 Weyl-型谱分布；严格的有限阶 EM 纪律把数值误差非渐近地封装为“别名 + 伯努利层 + 截断“。在散射—完成函数—规范系统的统一接口下，这些结构可直接对接相移/谱移（Birman–Kreĭn）、以及离散图的 Ihara–Bass 计数。