S28. de Branges–Mellin 局部化算子的强型 Szegő–Widom 极限

Version: 1.13

—— 对数行列式、二次型 $H^{1/2}$ 与有限阶 Euler–Maclaurin 的边界改正

摘要（定性）

在 de Branges–Mellin 框架与“相位—密度“词典下，本文把 S27 的一阶迹公式（Weyl 型）推进为强型 Szegő–Widom 极限：对由符号 $a$ 与偶窗 $w_R$ 构成的局部化算子族 $T_{a,R}$，当尺度 $R\to \infty$ 时有

$$\log \det (I+\lambda T_{a,R})=\int w_R\log (1+\lambda a)d\mu +\frac{1}{2}{\mathcal{Q}}_R(\log (1+\lambda a))+o(1),$$

其中 $d\mu =\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }dx$ 为相位体积测度，$M_R=\int w_{R}d\mu$，${\mathcal{Q}}_R$ 为由窗化投影核诱导的二次型，并在相位坐标极限中收敛到临界半阶能量 $H^{1/2}$。在“带限 + Nyquist“与有限阶 Euler–Maclaurin（EM）纪律下，别名项消失，边界与伯努利层给出非渐近、可控的改正；全流程不引入新奇性并保持“极点 = 主尺度“。该结果与多窗/非平稳拼接、BN–Bregman 软化以及 de Branges–Kreĭn 规范系统的相位—密度刻度一致。本文的关键判据与证明步骤与强型 Szegő–Widom（Toeplitz/Wiener–Hopf）理论严格对齐。

0. 设定与记号（de Branges–Mellin 与相位—密度）

令 $E$ 为 Hermite–Biehler 整函数，$\mathcal{H}(E)$ 为对应的 de Branges 空间，核 $K$ 再生且在实轴上可写 $E(x)=|E(x)|e^{-i\phi (x)}$。标准恒等式给出对角核

$$K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|E(x){|}^2,d\mu (x):=\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }dx.$$

相位函数 $\phi$ 严增且 $E^{♯}/E=e^{2i\phi }$。上述恒等式见 de Branges 文献与以相位标度写出的核公式（亦见 $\sin (\phi (x)-\phi (y))$-型归一式）。

尺度与窗（强制设定）. 设相位坐标 $u:=\phi (x)/\pi$。取固定偶函数 $W\in L^1\cap L^{\infty }(\mathbb{R})$ 满足 $0\le W\le 1$、$W(0)=1$，且 $\hat{W}$ 紧支（带限）或 $W\in C_c^{\infty }$。定义随尺度的窗

$$w_R(x):=W(u/R),M_R=\int w_{R}d\mu =R{\int }_{\mathbb{R}}W(u)du\to \infty .$$

由 $W(0)=1$ 知在任意固定紧集上 $w_R\to 1$ 均匀成立。

平均记号. 对可积函数 $f$，定义随尺度的加权平均

$$⟨f{⟩}_{\mu ,R}:=\frac{1}{M_R}\int f(x)w_R(x)d\mu (x),M_R=\int w_{R}d\mu .$$

如不致混淆，可简记为 $⟨f{⟩}_{\mu }$；所有平均均指上述 $R$ 依赖的加权平均。

局部化算子与正则化行列式. 给定实值 $a\in L^{\infty }$、偶窗 $w_R\ge 0$（由 $W\in L^1\cap L^{\infty }$ 生成），则

$$T_{a,R}=\int a(t)w_R(t)|e_t⟩⟨e_t|d\mu (t)\in {\mathfrak{S}}_1,$$

其中 $e_t:=K(\cdot ,t)/\sqrt{K(t,t)}$ 为归一核。有 $\Vert T_{a,R}{\Vert }_1\le \Vert a{\Vert }_{\infty }{M}_R$，$\mathrm{Tr}{T}_{a,R}=\int a{w}_{R}d\mu$。本文统一使用 Fredholm 行列式。关于 Fredholm/正则化行列式、迹级数展开与扰动理论的背景，详见文末“参考文献（选）“。

行列式与可逆性约定. 下文 $\log \det (I+\lambda T_{a,R})$ 一律指 Fredholm 行列式的对数。在 $\lambda \in \mathbb{R}$、$a$ 实值且 ${\inf }_x(1+\lambda a(x))>0$ 下，存在 $R_0$ 使对所有 $R\ge R_0$ 有 $-1\notin \lambda \sigma (T_{a,R})$（等价于 $I+\lambda T_{a,R}$ 可逆），从而 $\log$ 分支一致且良定。

窗化核与相位标度. 记规模 $M_R=\int w_{R}d\mu$，并设

$${\Pi }_R(x,y):=\int w_R(t)\frac{K(x,t)\overline{K(y,t)}}{K(t,t)}d\mu (t).$$

由 $0\le w_R\le 1$ 与连续 Parseval 帧可得 $\Vert {\Pi }_R\Vert \le 1$，且 $\mathrm{Tr}{\Pi }_R=\int w_{R}d\mu =M_R$。${\Pi }_R$ 为正算子核，一般不是正交投影。设相位坐标 $u=\phi (x)/\pi$，定义带限正交投影核

$$P_R^{\mathrm{BL}}(u,v):=\frac{\sin (\pi R(u-v))}{\pi (u-v)}.$$

记相位坐标下的核 $[{\Pi }_R{]}_u(u,v):={\Pi }_R({\phi }^{-1}(\pi u),{\phi }^{-1}(\pi v))$。则有

$$\Vert w_R^{1/2}([{\Pi }_R{]}_u-P_R^{\mathrm{BL}})w_R^{1/2}{\Vert }_{{\mathfrak{S}}_2(du)}\underset{R\to \infty }{\to }0,$$

尤其在硬窗 $w_R=1_{|u|\le R}$ 时，

$${\Vert 1_{|u|\le R}([{\Pi }_R{]}_u-P_R^{\mathrm{BL}})1_{|u|\le R}\Vert }_{{\mathfrak{S}}_2(du)}\underset{R\to \infty }{\to }0.$$

并有 $\mathrm{Tr}({\Pi }_R-{\Pi }_R^2)=o(M_R)$。因而“带限正交投影“对象与逼近意义均被固定。

在相位坐标 $u=\phi (x)/\pi$ 中，$K$ 的局部极限与 Paley–Wiener/sine 核等价，从而 ${\Pi }_R$ 渐近为带宽与 $M_R$ 可比的带限投影核（de Branges–Paley–Wiener 的普适极限）。

1. 一阶主项（Szegő–Weyl 极限）

下文的 $\log \det (I+\lambda T_{a,R})$ 依“行列式与可逆性约定“解释。

定理 28.1（主项极限）. 取 $\lambda \in \mathbb{R}$，$a\in L^{\infty }(\mathbb{R})$ 为实值，$0\le w_R\le 1$，且 ${\inf }_x(1+\lambda a(x))>0$，从而 $h(x)=\log (1+\lambda a(x))$ 为实函数。并假设 $h\in L^{\infty }$ 且具最小正则性（如 $h\in C^{1,\alpha }$ 或 $h\in H^{1/2+\epsilon }$）。若 $w_R$ 为偶窗并满足带限或充分衰减与有限阶 EM 换序纪律，则有

$$\frac{1}{M_R}\log \det (I+\lambda T_{a,R})⟶\frac{1}{M_R}\int w_R\log (1+\lambda a)d\mu .$$

证明要点. 设 $h=\log (1+\lambda a)$。用正则化行列式的累积量展开

$$\log \det (I+\lambda T_{a,R})=\sum _{m\ge 1}\frac{{\kappa }_m}{m!}.$$

在 $0\le w_R\le 1$ 且满足近投影估计的假设下，有

${\kappa }_1=\int w_R\log (1+\lambda a)d\mu +o(1)$，

${\kappa }_2={\mathcal{Q}}_R(h)+o(1)$，

而 ${\kappa }_m=o(1)(m\ge 3)$。故得主项与二阶结构。文中 $⟨\cdot {⟩}_{\mu }$ 一律按“平均记号“定义，依赖于当前尺度 $R$ 与窗 $w_R$。这与强型 Szegő 的一阶结构一致（Toeplitz/Wiener–Hopf 的 $n\cdot ⟨\log (1+\lambda a)⟩$ 或区间长度 $\times$ 平均）。

2. 二阶修正（强型 Szegő–Widom）

定义对实函数 $h$ 的窗化二次型

$${\mathcal{Q}}_R(h):=\iint \frac{(h(x)-h(y){)}^2}{2}|{\Pi }_R(x,y){|}^{2}d\mu (x)d\mu (y).$$

在相位坐标极限下，${\Pi }_R$ 渐近为带限投影核 $P^{\mathrm{BL}}$，从而

$${\mathcal{Q}}_R(h)⟶\mathcal{Q}(h):=\frac{1}{2{\pi }^2}{\int }_{\mathbb{R}}|\widehat{h\circ {\phi }^{-1}}(\xi ){|}^2|\xi |d\xi ,$$

其中 $h\circ {\phi }^{-1}$ 表示在相位坐标上的函数 $u\mapsto h({\phi }^{-1}(\pi u))$，$\xi$ 为其对应的傅里叶变量。

归一化约定：$\hat{f}(\xi )={\int }_{\mathbb{R}}f(u)e^{-iu\xi }du$。在此约定下，$\mathcal{Q}$ 与 ${\dot{H}}^{1/2}(\mathbb{R})$ 的 Gagliardo 表达式常数一致。

即 $H^{1/2}$ 半范数（Fourier 型表述）。这与强型 Szegő 二项常数 ${\sum }_{k\ge 1}k|h_k{|}^2$ 的等价在傅里叶侧完全一致。

定理 28.2（强型 Szegő–Widom 极限）. 取 $\lambda \in \mathbb{R}$ 且 ${\inf }_x(1+\lambda a(x))>0$，于是 $h(x)=\log (1+\lambda a(x))$ 为实函数。设 $a\in L^{\infty }$ 且 $h:=\log (1+\lambda a)\in C^{1,\alpha }\cap L^{\infty }$（某 $\alpha >0$），$w_R$ 为带限偶窗并满足 Nyquist 与有限阶 EM 纪律，且采用“尺度与窗（强制设定）“与”窗化核与相位标度“中的设定，则

$$\log \det (I+\lambda T_{a,R})=\int w_R\log (1+\lambda a)d\mu +\frac{1}{2}{\mathcal{Q}}_R\left(h\right)+o(1).$$

若 $w_R\to 1$ 局部一致，则 ${\mathcal{Q}}_R\to \mathcal{Q}$，且

$$\log \det (I+\lambda T_{a,R})=M_R⟨\log (1+\lambda a){⟩}_{\mu ,R}+\frac{1}{2}\mathcal{Q}(h)+o(1),$$

其中 $h=\log (1+\lambda a)$。当 $w_R$ 为硬窗指示时，上式主项亦等于 ${\int }_{w_R\equiv 1}\log (1+\lambda a)d\mu$。

证明思路.（i）Toeplitz/Wiener–Hopf 对齐：在相位坐标中，$T_{a,R}$ 与截断投影—乘法—投影 $P_R{M}_a{P}_R$ 相差 $o_{{\mathfrak{S}}_2}(M_R^{1/2})$。对 $P_R{M}_a{P}_R$，经典 Wiener–Hopf 两项迹/行列式渐近与强型 Szegő（圆/直线）给出与上式等价的结构；二项常数即 $H^{1/2}$ 能量。（ii）cumulant 公式：以 ${\Pi }_R$ 为核的投影近似，$\log \det (I+\lambda T)={\sum }_{m\ge 1}{\kappa }_m/m!$。投影/近投影核的高阶累积量 ${\kappa }_m(m\ge 3)$ 为 $o(1)$，${\kappa }_2$ 由 $\Vert {\Pi }_R{\Vert }^2$ 表示并经“换元—插值“化为 ${\mathcal{Q}}_R(h)$。这一做法与确定性点过程（DPP）中线性统计方差的 $H^{1/2}$ 等价结论一致。（iii）$H^{1/2}$ 标准化：用分数 Sobolev 的傅里叶表述 $\int |\hat{f}(\xi ){|}^2|\xi |d\xi$ 与双重积分表述互证，得到极限二次型。

3. 有限阶 Euler–Maclaurin（EM）与数值边界

设 ${\mathsf{tr}}_{\Delta ,M_{\mathrm{EM}},T}(\varphi ):=\Delta {\sum }_{|k|\le T/\Delta }\varphi (k\Delta )$ 近似 $\int \varphi$。对谱函数 ${\varphi }_{a,\lambda ,R}(t)=\log (1+\lambda t)$ 与 ${\varphi }^2$ 有

$$|\mathrm{Tr}\varphi (T_{a,R})-{\mathsf{tr}}_{\Delta ,M_{\mathrm{EM}},T}(\varphi \circ {\mathcal{S}}_R\left)\right|\le \underset{=0\text{(带限+Nyquist)}}{\underbrace{\mathrm{alias}}}+\underset{\text{(MEM) 阶伯努利}}{\underbrace{\mathrm{EM}\mathrm{layer}}}+\underset{\text{截断}}{\underbrace{\mathrm{tail}}},$$

其中 ${\mathcal{S}}_R$ 为相位坐标下被采样的 integrand。带限 + 采样步长满足 Nyquist 时别名项严格为零（见文末“参考文献（选）“），其余两项由有限阶 EM 给出非渐近界，整体为 $o(M_R)$。

Nyquist 设定：设相位坐标下被采样函数的频域支集包含于 $[-\Omega ,\Omega ]$，取步长 $\Delta \le \pi /\Omega$（等价 $\Delta \le 1/(2B)$，其中 $B=\Omega /2\pi$），则别名项严格为 $0$。

4. 退化与奇点（Fisher–Hartwig 型）

若 $h=\log (1+\lambda a)$ 出现对数/幂次奇点（如触及分支 $-1/\lambda$ 或近零），二阶上方可能出现附加 $\gamma \log M_R$ 的边缘指数，系数由相位坐标中的局部指数与跳跃决定。Toeplitz/Hankel 强化结论与 Riemann–Hilbert 技术给出该项之精确系数判据；在本文假设 $h\in C^{1,\alpha }$ 下无此项。

5. 多窗与非平稳拼接

取偶多窗 $W=\{w_R^{(\ell )}{\}}_{\ell =1}^K$，令 $T_{a,W}:={\sum }_{\ell }{T}_{a,R}^{(\ell )}$。若 ${\sum }_{\ell }{w}_R^{(\ell )}\to 1$ 局部一致，且存在常数 $C$ 使得所有 $\ell \ne m$ 满足

$$\Vert {\Pi }_R^{(\ell )}{\Pi }_R^{(m)}{\Vert }_{{\mathfrak{S}}_2}\le Co(1)(R\to \infty ),$$

（即多窗成 Parseval 紧帧或近正交，交叉项在 ${\mathfrak{S}}_2$ 可忽略），则有

$$\log \det (I+\lambda T_{a,W})=\int \log (1+\lambda a)d\mu +\frac{1}{2}\mathcal{Q}(\log (1+\lambda a))+o(1).$$

非 Parseval 情形以帧乘子 ${\mathcal{S}}_W$ 作符号等价替换后同理成立。参见帧理论与非平稳 Gabor 框架的乘子稳定性。

6. 软化与稳定（BN–Bregman 视角）

以熵/ KL 罚在符号端对 $h=\log (1+\lambda a)$ 作 BN–Bregman 软化，得到极小值与极小元的李普希茨稳定；当软化参数 $\tau \downarrow 0$ 时，$\log \det$ 极限与二次型不变。有限阶 EM 的三分解误差（别名/伯努利层/尾项）以 Pinsker 链传递为 $\log \det$ 的非渐近上界（此节为方法性注记，与上文二阶主结论相容）。

7. 直接推论

推论 28.3（自由能/互信息解释）. 当 $0\le a\le 1$ 时，$\log \det (I+\lambda T_{a,R})$ 可解释为一类“自由能/互信息“泛函：主项由相位体积平均贡献，二阶由 $H^{1/2}$ 能量给出涨落惩罚，与 Fisher–Bregman 结构相符（与强型 Szegő 的“常数项“角色一致）。

8. 适用范围与失效边界

1. 禁止无限阶 EM：把 EM 当无穷级会制造伪奇点并破坏二次项可控性；本文仅用有限阶，余项整/全纯。
2. 符号退化：若 $h\notin C^{1,\alpha }$ 或触及分支，出现 Fisher–Hartwig 型 $\log M_R$；本文排除。
3. 多窗非 Parseval：以帧乘子配平符号；Parseval 近似下误差 $o(1)$。
4. 异常相位尺度：若 ${\phi }^{\prime }$ 不正或非局部可积，则相位坐标退化，需回退到一般 RKHS/规范系统的局部谱逼近。

9. 可检清单（最小充分条件）

• 相位—密度：核对 $K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|E(x){|}^2>0$，取 $d\mu =\frac{{\phi }^{\prime }}{\pi }dx$。
• 算子可积/正则化：$T_{a,R}\in {\mathfrak{S}}_1$，$\Vert T_{a,R}{\Vert }_1\le \Vert a{\Vert }_{\infty }{M}_R$。
• 一阶极限：$\frac{1}{M_R}\log \det (I+\lambda T_{a,R})\to \frac{1}{M_R}\int w_R\log (1+\lambda a)d\mu$；在硬窗或 $w_R\to 1$ 局部一致下，上式等于 $⟨\log (1+\lambda a){⟩}_{\mu ,R}$。
• 二阶极限：${\mathcal{Q}}_R(h)\to \frac{1}{2{\pi }^2}\int |\widehat{h\circ {\phi }^{-1}}(\xi ){|}^2|\xi |d\xi$。
• EM 纪律：带限+Nyquist $\Rightarrow$ 别名 $=0$；伯努利层与尾项按已选阶 $M_{\mathrm{EM}}$ 给出非渐近界。
• 多窗/非平稳：Parseval 紧帧下多窗求和保持二次型极限；非 Parseval 以帧乘子修正，误差为 $o(1)$。
• 奇性保持：窗化与有限阶换序不增工作条带内奇性与极阶。
• 核极限：相位标度下核的局部极限与 Paley–Wiener/sine 核一致（普适性）。

参考文献（选）

• de Branges 空间、相位—密度与核：Antezana–Marzo–Olsen，给出 $K(x,x)=\frac{1}{\pi }{\phi }^{\prime }(x)|E(x){|}^2$ 与相位公式。
• 强型 Szegő 与 Widom：百科综述与 Widom 的 Wiener–Hopf 痕迹/两项式结果。(encyclopediaofmath.org)
• Fisher–Hartwig：Deift–Its–Krasovsky 的 Annals 与 MSRI 章节。(数学年刊)
• 分数 Sobolev：${\dot{H}}^{1/2}$ 的 Fourier/Gagliardo 等价（Di Nezza–Palatucci–Valdinoci）。(arXiv)
• DPP 线性统计与 $H^{1/2}$ 方差（Johansson；Soshnikov）。(Project Euclid)
• Fredholm 与正则化行列式：Bornemann（数值/理论），Simon（Trace Ideals）。(arXiv)
• Nyquist–Shannon 与别名消失（Jerri 综述）。(Buzsaki Lab)
• de Branges–Paley–Wiener 普适核极限（Lubinsky）。(lubinsky.math.gatech.edu)
• 帧与非平稳拼接（Christensen；Balazs–Dörfler 等）。(大里博物馆)

附：与经典强型 Szegő–Widom 的一致性说明（框架对齐）

在圆或实线的 Toeplitz/Wiener–Hopf 情形，强型 Szegő给出 $\log \det T_n(e^h)=n{h}_0+{\sum }_{k\ge 1}k{h}_k{h}_{-k}+o(1)$。我们在 de Branges 相位坐标中得到的二次型极限 $\frac{1}{2}\mathcal{Q}(h)=\frac{1}{4{\pi }^2}{\int }_{\mathbb{R}}|\widehat{h\circ {\phi }^{-1}}(\xi ){|}^2|\xi |d\xi$ 与 ${\sum }_{k\ge 1}k|h_k{|}^2$ 等价（Fourier 权 $|\xi |$），从而二阶常数完全一致；这与 Widom 的 Wiener–Hopf 两项式在直线侧的陈述相匹配，亦与 DPP 线性统计的 $H^{1/2}$ 方差普适律一致。

结语. 本文在 de Branges–Mellin 的相位—密度刻度下建立了局部化算子对数行列式的强型 Szegő–Widom 极限：主项为符号的相位体积平均，二阶为 $H^{1/2}$ 能量；在带限 + Nyquist 与有限阶 EM 纪律中，边界层次可非渐近量化，并与 Toeplitz/Wiener–Hopf 的经典二项式严格对齐，且在多窗/非平稳拼接与 BN–Bregman 软化下保持结构稳定。以上判据与步骤为后续的数值实现（Bornemann 型）与更高阶修正（含 Fisher–Hartwig）提供直接的、可检的路径。