S29. 对数行列式的变分与 $H^{1/2}$ Hessian

—— de Branges–Mellin 局部化算子的符号/窗方向、凹性、稳定与 $\Gamma$-极限

Version: 1.4

摘要（定性）

在 S27–S28 关于局部化算子与强型 Szegő–Widom 极限的基础上，本文系统建立

$${\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda ):=\log {\det }_{!}(I+\lambda T_{a,w,R})$$

相对于符号 $a$ 与窗 $w$ 的变分理论：给出 Gateaux/Fréchet 一阶导数、二阶变分与凹性；在“带限+Nyquist+有限阶 Euler–Maclaurin (EM)“纪律下，证明 ${\mathcal{F}}_R$ 对 $(a,w)$ 的扰动满足Lipschitz—强凸型稳定界（在适当软化下）；并在尺度 $R\to \infty$ 的极限中，Hessian 的主导型收敛到相位坐标上的 $H^{1/2}$ 能量。由此得到：（1）一阶灵敏度是“非线性局域密度“的积分；（2）二阶 Hessian 为一个正核上的负半定二次型（$\log \det$ 对正算子凹），在极限中与 S28 的 $H^{1/2}$ 二次项匹配；（3）在符号约束 $0\le a\le 1$、窗约束（带限/偶性/归一）下得到 KKT 必要条件并与 S22 的投影—卷积强式一致；（4）对 BN–Bregman 软化的“软目标“建立 $\Gamma$-收敛，并证明梯度—Hessian 结构在极限下保持。

0. 设定与记号

0.1 de Branges 空间与相位—密度恒等式

取 Hermite–Biehler 函数 $E$，de Branges 空间 $\mathcal{H}(E)$ 的再生核为 $K(z,\zeta )$。沿实轴写

$$E(x)=|E(x)|e^{-i\phi (x)},x\in \mathbb{R},$$

则存在标准恒等式

$$K(x,x)=\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }|E(x){|}^2,{\phi }^{\prime }(x)>0\text{a.e.}$$

据此取基准测度

$$d\mu (x):=\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }dx.$$

以上关系见 de Branges 专著。(math.purdue.edu)

0.2 局部化算子、窗与正则化行列式（Trace-class 设定）

给定有界实符号 $a\in L^{\infty }(\mathbb{R})$ 与偶窗 $w_R(t):=w(t/R)$。本文固定假设

$$0\le a\le C,0\le w_R\le C_w,w_R\in L^1(d\mu ),$$

从而

$$T_{a,w,R}:={\int }_{\mathbb{R}}a(x)w_R(x)\frac{|K(\cdot ,x)⟩⟨K(\cdot ,x)|}{K(x,x)}d\mu (x)$$

为正、迹类算子，且

$$\mathrm{Tr}{T}_{a,w,R}=\int a(x)w_R(x)d\mu (x)<\infty .$$

在此设定下统一采用 Fredholm 行列式，记 ${\det }_{!}(\cdot )\equiv \det (\cdot )$。因此一阶/二阶变分均可直接使用 $\mathrm{d}\log \det (I+X)=\mathrm{Tr}[(I+X{)}^{-1}\mathrm{d}X]$。

注. 若放宽至仅 Hilbert–Schmidt，需要将 $\det$ 改为 Carleman–Fredholm 的 ${\det }_2$ 并在一阶变分中加入补偿项 $-\mathrm{Tr}(\mathrm{d}X)$；本文为避免额外的可加正则项，统一在迹类框架内工作。有关正则化行列式与迹理想的背景参见 Simon、Gohberg–Lesch 等文献。(sciencedirect.com)

0.3 “窗化投影核“与相位坐标

定义

$${\Pi }_R:={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(t)\frac{|K(\cdot ,t)⟩⟨K(\cdot ,t)|}{K(t,t)}d\mu (t)={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(t)|k_t⟩⟨k_t|d\mu (t),$$

其“系数核“为

$${\Pi }_R(x,y)={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(t)\frac{K(x,t)\overline{K(y,t)}}{\sqrt{K(x,x)K(y,y)}K(t,t)}d\mu (t).$$

在 $0\le w_R\le 1$ 时有 $0\le {\Pi }_R\le I$；当 $w_R\equiv 1$ 时，${\Pi }_R=I$。在相位坐标 $u=\phi (x)/\pi$ 下，若 $w_R\to 1$（局部一致）且满足带限+Nyquist 纪律，则 ${\Pi }_R$ 局部趋于 Paley–Wiener 投影核（sinc 核），见 Paley–Wiener 空间的 RKHS 表述与 Nyquist–Shannon 采样定理。(mathsci.kaist.ac.kr)

1. 一阶变分：局域密度与单调性

定义

$${\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda ):=\log {\det }_{!}(I+\lambda T_{a,w,R}),\lambda \in \mathbb{R}\text{使 }I+\lambda T_{a,w,R}\text{ 可逆}.$$

上式中的 $\log {\det }_{!}$ 按 §0.2 的约定选取，其定义域为使 $I+\lambda T_{a,w,R}$ 可逆的 $\lambda$ 集；以下变分公式均在该域内成立。

定理 1.1（符号方向 Gateaux 导数，$\lambda \ge 0$）

对任意有界 $\delta a$，且 $I+\lambda T_{a,w,R}$ 可逆时，

$$\boxed{{\mathrm{D}}_a{\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda )[\delta a]=\lambda \mathrm{Tr}[(I+\lambda T_{a,w,R}{)}^{-1}{T}_{\delta a,w,R}]=\int \delta a(x)w_R(x){\sigma }_{\lambda ,R}(x)d\mu (x)}$$

其中

$${\sigma }_{\lambda ,R}(x):=\lambda \frac{⟨(I+\lambda T_{a,w,R}{)}^{-1}K(\cdot ,x),K(\cdot ,x)⟩}{K(x,x)}\ge 0.$$

证明. 利用 $\mathrm{d}\log \det (I+X)=\mathrm{Tr}[(I+X{)}^{-1}\mathrm{d}X]$（在迹类/正则化设定下成立），取 $X=\lambda T_{a,w,R}$、$\mathrm{d}X=\lambda T_{\delta a,w,R}$ 即得。将迹写为核的积分得到第二式。关于 $\log \det$ 的微分公式可见 Simon 以及标准 Fredholm 行列式文献。(sciencedirect.com)

单调性（$\lambda \ge 0$）. 若 $\delta a\ge 0$ a.e.，则 ${\mathrm{D}}_a{\mathcal{F}}_R[\delta a]\ge 0$，因为 $(I+\lambda T_{a,w,R}{)}^{-1}\ge 0$、$T_{\delta a,w,R}\ge 0$。

定理 1.2（窗方向 Gateaux 导数，$\lambda \ge 0$）

对任意有界偶扰动 $\delta w$,

$$\boxed{{\mathrm{D}}_w{\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda )[\delta w]=\lambda \int a(x)\delta w(x){\sigma }_{\lambda ,R}(x)d\mu (x);}$$

证明同上，仅将 $T_{\delta a,w,R}$ 换为 $T_{a,\delta w,R}$。

注. 若附加点值/质量归一（如 $w(0)=1$ 或 $\int w=1$），则相应 Lagrange 乘子以$\delta$-源或常数出现在线性泛函中（详见 §4）。

2. 二阶变分：凹性与核二次型

定理 2.1（二阶变分与凹性）

对任意方向 $\delta a_1,\delta a_2$,

$$\boxed{{\mathrm{D}}_a^2{\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda )[\delta a_1,\delta a_2]=-{\lambda }^2\mathrm{Tr}[(I+\lambda T_{a,w,R}{)}^{-1}{T}_{\delta a_1,w,R}(I+\lambda T_{a,w,R}{)}^{-1}{T}_{\delta a_2,w,R}]\le 0.}$$

特别地，${\mathcal{F}}_R$ 对 $a$ 为凹泛函；对 $w$ 同理。

证明. 对 ${\mathrm{D}}_a{\mathcal{F}}_R$ 再求导，并用 $\mathrm{d}(I+\lambda T{)}^{-1}=-(I+\lambda T{)}^{-1}(\lambda \mathrm{d}T)(I+\lambda T{)}^{-1}$。将两侧乘子对称化可得

$$-{\mathrm{D}}_a^2{\mathcal{F}}_R[\delta a,\delta a]={\lambda }^2|(I+\lambda T_{a,w,R}{)}^{-1/2}{T}_{\delta a,w,R}(I+\lambda T_{a,w,R}{)}^{-1/2}{|}_{\mathsf{HS}}^2\ge 0,$$

从而得凹性。凹性也可由 $\log$ 的算子凹性与迹的单调性推出。(ueltschi.org)

核型表达与“强度核“

记标准化核向量 $k_x:=K(\cdot ,x)/\sqrt{K(x,x)}$，并定义

$${\mathcal{G}}_{\lambda ,R}(x,y):=\lambda ⟨k_y,(I+\lambda T_{a,w,R}{)}^{-1}{k}_x⟩=\lambda ⟨(I+\lambda T_{a,w,R}{)}^{-1/2}{k}_x,(I+\lambda T_{a,w,R}{)}^{-1/2}{k}_y⟩.$$

则

$$-{\mathrm{D}}_a^2{\mathcal{F}}_R[\delta a,\delta a]=\iint \delta a(x)\delta a(y)w_R(x)w_R(y)|{\mathcal{G}}_{\lambda ,R}(x,y){|}^{2}d\mu (x)d\mu (y).$$

这是一个由正核 $w_R(x)w_R(y)|{\mathcal{G}}_{\lambda ,R}(x,y){|}^2$ 诱导的非负二次型表达，清晰刻画了 Hessian 的“核强度“。

3. $R\to \infty$ 的 Hessian 极限：$H^{1/2}$ 能量

3.1 带限+Nyquist+有限阶 EM 纪律

假设：

(i) $w_R\to 1$ 局部一致，且在相位坐标 $u=\phi (x)/\pi$ 上等价为对带宽 $\sim R$ 的带限截断；

(ii) Nyquist 采样（采样率至少为两倍带宽）使别名误差为零；

(iii) 求和—积分换序仅使用有限阶 Euler–Maclaurin (EM) 公式，余项用 Bernoulli 多项式与导数范数控制。(en.wikipedia.org)

在 Paley–Wiener 模型（相位坐标下的 sinc 核）中，这三条可直接验证。(mathsci.kaist.ac.kr)

定理 3.2（Hessian 的 $H^{1/2}$ 极限）

设 $\varphi (x)=\log (1+\lambda a(x))$，并记 ${\varphi }_a^{\prime }(x):=\frac{\lambda }{1+\lambda a(x)}$。则对任意 $\delta a\in C_c^{\infty }(\mathbb{R})$（或合适的 $H^{1/2}$ 域），

$$\boxed{-{\mathrm{D}}_a^2{\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda )[\delta a,\delta a]\underset{R\to \infty }{\to }\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|\widehat{({\varphi }_a^{\prime }\delta a)\circ {\phi }^{-1}}(\xi ){|}^2|\xi |d\xi =:\frac{1}{2}|({\varphi }_a^{\prime }\delta a)\circ {\phi }^{-1}{|}_{H^{1/2}(\mathbb{R})}^2.}$$

也即，Hessian 的极限二次型恰为相位坐标中 $g=({\varphi }_a^{\prime }\delta a)\circ {\phi }^{-1}$ 的 $H^{1/2}$ 能量；其 Fourier 特征与 Gagliardo 形式等价。(arXiv)

证明大意.

由 §2 的核二次型表达，$-{\mathrm{D}}^2$ 等于正核

$$A_R(x,y):=w_R(x)w_R(y)|{\mathcal{G}}_{\lambda ,R}(x,y){|}^2$$

上的二次型。带限+Nyquist+有限阶 EM 三条使得在相位坐标中

$$A_R(x,y)\to \frac{1}{{\pi }^2}\left|\frac{\sin \pi (u-v)}{\pi (u-v)}{|}^2\right({\varphi }_a^{\prime }(x){\varphi }_a^{\prime }(y)),$$

均匀于紧致集上的卷积—核意义，且别名=0、EM 余项与窗尾衰减在 $R\to \infty$ 时可控。于是

$$\iint \delta a(x)\delta a(y)A_R(x,y)d{\mu }_{x}d{\mu }_y\to \frac{1}{2\pi }\int |\widehat{({\varphi }_a^{\prime }\delta a)\circ {\phi }^{-1}}(\xi ){|}^2|\xi |d\xi ,$$

后者正是 $H^{1/2}$ 能量（Fourier 角色）。当 $E(z)=e^{-iz}$（Paley–Wiener）时，上式与强型 Szegő 极限中的二阶项（${\sum }_{k\ge 1}k|\widehat{\log (1+\lambda a)}(k){|}^2$ 的连续化）完全一致；一般 de Branges 情形靠相位坐标的局部等距伸缩实现。有关强型 Szegő–Widom 二阶项（对光滑正符号）之典范表述，可参见 Böttcher–Widom、Gray 及其后续综述；Fisher–Hartwig 情形见 Deift–Its–Krasovsky。(sciencedirect.com)

推论 3.3（与 S28 的二阶展开一致）

将 $\delta a$ 取为小参数的方向，并对 $\varphi =\log (1+\lambda a)$ 作二阶展开，可回收

$${\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda )=\int \log (1+\lambda a)d\mu +\frac{1}{2}|(\varphi )\circ {\phi }^{-1}{|}_{H^{1/2}}^2+o(1),$$

与 S28 的强型 Szegő–Widom 二阶项一致。

4. 约束下的最优性：KKT 结构与对偶证书

考虑可行域

$$\mathcal{A}:=\{a\in L^{\infty }(\mathbb{R}):0\le a\le 1\},\mathcal{W}:=\text{带限偶窗类（附归一：如 }w(0)=1\text{ 或 }\int w=1).$$

以

$$\underset{a\in \mathcal{A},w\in \mathcal{W}}{\max }{\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda )$$

为例（$\lambda >0$），由于 ${\mathcal{F}}_R$ 对 $a,w$ 分别凹，标准 Lagrange–KKT 条件适用（凸—凹规划的对偶可行性与互补松弛）。(epubs.siam.org)

定理 4.1（符号方向 KKT）

存在测度（或 $L^2$ 元）${\eta }_{-},{\eta }_{+}\ge 0$，使得最优解 $\bar{a}$ 满足

$$w_R(x){\sigma }_{\lambda ,R}^{(\bar{a})}(x)={\eta }_{+}(x)-{\eta }_{-}(x)\text{a.e.},$$

且互补松弛

$${\eta }_{-}(x)\bar{a}(x)=0,{\eta }_{+}(x)(1-\bar{a}(x))=0\text{a.e.}$$

其中 ${\sigma }_{\lambda ,R}$ 为 §1 的“非线性局域密度“。

定理 4.2（窗方向 KKT）

在可行子空间 $\mathcal{W}$ 上的最优 $\bar{w}$ 满足

$$a(x){\sigma }_{\lambda ,R}^{(\bar{w})}(x)\in \left(\mathrm{span}\text{的带限/偶约束与归一约束的对偶锥}\right),$$

等价地，右端是由带限投影、偶对称、以及 $w(0)=1$ 或 $\int w=1$ 的对偶函数（分布）生成的闭凸锥之元素。该“对偶证书“形式与 S22 的投影—卷积强式一致。

5. 软化与 $\Gamma$-极限：Bregman 正则与梯度结构保持

令

$${\mathcal{E}}_{R,\tau }(a,w):=-{\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda )+\tau {\Lambda }^{\ast }(\mathcal{T}(a,w)),\tau >0,$$

其中 ${\Lambda }^{\ast }$ 为某 Bregman 型正则项（由强凸势产生），$\mathcal{T}$ 收集可能的线性观测或惩罚。

定理 5.1（$\Gamma$-极限与极小元收敛）

当 ${\tau }_n\downarrow 0$ 时，

$${\mathcal{E}}_{R,{\tau }_n}\stackrel{\Gamma }{\to }{\mathcal{E}}_{R,0}:=-{\mathcal{F}}_R+{\iota }_{\mathcal{A}\times \mathcal{W}},$$

且极小值与（相对弱*）极小元随之收敛；若 ${\Lambda }^{\ast }$ 在极小元邻域 $(\mu ,L)$-强凸/平滑，则有稳定性

$$|(a_{\tau }-a^{\star },w_{\tau }-w^{\star })|\lesssim |\delta (\text{数据})|.$$

这是凸函数族的经典 $\Gamma$-收敛与 Mosco 收敛框架的直接应用；其梯度流/次微分图的极限保持性可由 Attouch 定理与演化 $\Gamma$-收敛理论推出。(archive.org)

注. 取 $-{\mathcal{F}}_R$（凸）加强凸的 Bregman 正则，可获得（局部）强凸性与条件数控制，便于数值优化。

6. 稳定性与非渐近误差

6.1 Lipschitz—梯度界

由一阶变分

$$|{\mathcal{F}}_R(a+\delta a,w;\lambda )-{\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda )|\le \lambda |T_{\delta a,w,R}{|}_1\le \lambda \int |\delta a(x)|w_R(x)d\mu (x),$$

以及同样的窗方向估计（把 $\delta a$ 换为 $a\delta w$）。此处用到 $|(I+\lambda T{)}^{-1}|\le 1$ 与积分秩一表示的迹范数估计。

6.2 EM 三分解与别名—伯努利—尾项

对任意足够光滑 $\varphi$（如 $\log (1+\lambda \cdot )$），谱/迹的数值近似可分解为

$$|\mathrm{Tr}\varphi (T_{a,w,R})-{\mathsf{tr}}_{\Delta ,M,T}(\varphi \circ {\mathcal{S}}_R\left)\right|\le \underset{\text{Nyquist 下为 }0}{\underbrace{\text{alias}}}+\underset{\text{有限阶}}{\underbrace{\text{EM 层}}}+\underset{\text{窗尾与核尾}}{\underbrace{\text{tail}}}.$$

EM 层可用有限阶公式与 Bernoulli 多项式的余项显式控制；在带限+Nyquist 下 alias 项为零。(PagePlace)

6.3 Hessian 的非渐近下界与上界

由 §2 的 Hilbert–Schmidt 表达，

$$\frac{{\lambda }^2}{|I+\lambda T_{a,w,R}{|}^2}|T_{\delta a,w,R}{|}_{\mathsf{HS}}^2\le -{\mathrm{D}}_a^2{\mathcal{F}}_R[\delta a,\delta a]\le {\lambda }^2|T_{\delta a,w,R}{|}_{\mathsf{HS}}^2,$$

对窗方向亦同。若加入强凸 Bregman 正则，则可得到全空间上的强凸/强凹模量。

7. 例与模板

(i) Parseval 多窗

若 ${\sum }_{\ell }{w}_R^{(\ell )}\equiv 1$（局部一致）且对应帧算子为恒等，则

$${\sigma }_{\lambda ,R}=\sum _{\ell }{\sigma }_{\lambda ,R}^{(\ell )}.$$

对二阶项，一般情形还有交叉项

$$-{\mathrm{D}}^2{\mathcal{F}}_R=\sum _{\ell }-{\mathrm{D}}^2{\mathcal{F}}_R^{(\ell )}+\sum _{\ell \ne m}{\mathcal{C}}_{\ell m},$$

仅当 $\{{\Pi }_R^{(\ell )}\}$ 两两正交（或 $T_{a,w,R}$ 在该分解下块对角/可交换、或频带支集分离）时有 ${\mathcal{C}}_{\ell m}\equiv 0$，此时 Hessian（以及其极限）的能量才精确叠加。

(ii) 低通—高通耦合

若 $a=a_{\mathrm{lp}}+a_{\mathrm{hp}}$ 且支集分离，则一阶密度与二阶能量分离，加速分块优化与非平稳设计。

(iii) 近阈值区

当 ${\phi }^{\prime }$ 局部变小（相位度量伸长）时，$H^{1/2}$ 能量对该区的扰动权重减弱，反映“信息稀薄—波动放大“的可检现象。

8. 失效边界与注意事项

1. 无限阶 EM：把 EM 当无穷级展开会引入伪奇点并破坏二阶型可控性；本文仅用有限阶 EM（有严格余项）。(PagePlace)
2. Fisher–Hartwig 奇性：当 $\log (1+\lambda a)$ 不够平滑或触及分支，会出现 $\gamma \log R$ 型边缘项；需用 RH 方法或 Krein 代数处理。(arXiv)
3. 非带限/非偶窗：需要退回一般 RKHS 的压缩—Toeplitz 表述，并在 KKT 中加入相应对偶边界项。
4. ${\phi }^{\prime }$ 非正：相位度量退化，本文刻度失效；需改用适当的谱坐标或排除该区域。

9. 证明细节与标准引理（选）

9.1 迹类与正则化行列式

若 $T=\int f(x)|k_x⟩⟨k_x|d\mu (x)$ 且 $\int |f|d\mu <\infty$，则 $T$ 迹类，$|T{|}_1\le \int |f|d\mu$；当 $T\in {\mathfrak{S}}_2$ 但非迹类时使用 ${\det }_2(I+\lambda T)$。(sciencedirect.com)

9.2 $\log \det$ 的微分与凹性

若 $I+\lambda T(t)$ 在迹理想拓扑可微，则

$$\frac{d}{dt}\log \det (I+\lambda T(t))=\lambda \mathrm{Tr}[(I+\lambda T(t){)}^{-1}{T}^{\prime }(t)],$$

$$\frac{d^2}{d{t}^2}\log \det (I+\lambda T(t))=-{\lambda }^2\mathrm{Tr}[(I+\lambda T{)}^{-1}{T}^{\prime }(t)(I+\lambda T{)}^{-1}{T}^{\prime }(t)]\le 0.$$

凹性亦可由 $\log$ 的算子凹性与 Lieb–Ando 类结果推出。(sciencedirect.com)

9.3 $H^{1/2}$ 能量的 Fourier 与 Gagliardo 等价

对 $g\in \mathcal{S}$,

$$\frac{1}{2\pi }{\int }_{\mathbb{R}}|\xi ||\hat{g}(\xi ){|}^{2}d\xi \asymp {\iint }_{{\mathbb{R}}^2}\frac{|g(u)-g(v){|}^2}{|u-v{|}^2}dudv,$$

为 $H^{1/2}(\mathbb{R})$ 的两种等价表述。(arXiv)

9.4 强型 Szegő–Widom 二阶项（平滑正符号）

Toeplitz/截断投影模型下，对 $C^{1+\alpha }$ 正符号 $f$ 有

$$\log \det T_n(f)=n(\log f{)}_0+\sum _{k\ge 1}k|(\log f{)}_k{|}^2+o(1),$$

连续化即得到 §3 的 $H^{1/2}$ 能量。参见 Böttcher–Widom 的“Jacobi 证明“、Gray 的综述与后续发展。(sciencedirect.com)

结语

本文建立了 ${\mathcal{F}}_R(a,w;\lambda )=\log {\det }_{!}(I+\lambda T_{a,w,R})$ 的完整变分框架：

（i）一阶导数由“非线性局域密度“ ${\sigma }_{\lambda ,R}$ 给出，体现了符号与窗的局域灵敏度；

（ii）二阶 Hessian 为正核上的负半定二次型，Hilbert–Schmidt 范表达提供了非渐近稳定估计；

（iii）在“带限+Nyquist+有限阶 EM“纪律下，Hessian 的尺度极限为相位坐标的 $H^{1/2}$ 能量，与强型 Szegő–Widom 二阶项完全一致；

（iv）在符号/窗约束与归一条件下，KKT 结构给出了自然的对偶证书；

（v）对 Bregman 软化可建立 $\Gamma$-收敛与极小元/梯度结构的保持，从而获得“可微—凹性—稳健“的统一基础。

参考线索（不需链接，给出出处方向）

• de Branges：Hilbert Spaces of Entire Functions（相位—密度与核恒等式）。(math.purdue.edu)
• 迹理想与（正则化）Fredholm 行列式、$\log \det$ 微分：Simon；Gohberg–Lesch；Bornemann（数值与正则化）。(sciencedirect.com)
• $\log$ 的算子凹性、Lieb–Ando 类凹凸性与迹不等式：Carlen；Fawzi–Saunderson；综述讲义。(ueltschi.org)
• Paley–Wiener sinc 核与 Nyquist–Shannon 定理。(mathsci.kaist.ac.kr)
• Euler–Maclaurin 有界余项（有限阶）与误差估计：Olver；DLMF。(PagePlace)
• $H^{1/2}$ 的 Fourier—Gagliardo 等价与“半阶能量“：Di Nezza–Palatucci–Valdinoci。(arXiv)
• 强型 Szegő–Widom（平滑正符号二阶项、Fisher–Hartwig）：Böttcher–Widom；Gray；Deift–Its–Krasovsky。(sciencedirect.com)
• $\Gamma$/Mosco 收敛与梯度流极限：Attouch；Braides；Mielke（演化 $\Gamma$-收敛）。(archive.org)

（全文自洽，计算与换序仅叠加整/全纯层，不改变工作条带之奇性集合与极阶；与 S22、S28 的结构兼容。）