S30. 高斯极限、模高斯与大偏差

—— de Branges–Mellin 局部化行列式从二阶到全非线性的极限理论

Version: 1.6

摘要(定性)

在相位—密度刻度与局部化算子框架中,本文把 S28 的强型 Szegő–Widom 极限与 S29 的变分—Hessian 结构提升为涨落—偏差的统一理论:

对对数行列式 $F_{R} (a, w; λ) = lo g det (I + λ T_{a, w, R})$ ,在“带限+Nyquist+有限阶 Euler–Maclaurin (EM)“纪律下,给出模高斯(mod–Gaussian)收敛:中心化后其累积母函数以 $H^{1/2}$ 能量为二阶项,三阶及以上累积量在 $R \to \infty$ 时为 $o (M_{R})$ ;
在特例 $0 \leq a \leq 1$ 下,以谱值 ${p_{j}^{(R)}}$ 的Poisson–Binomial模型刻画“占据统计“,建立中心极限定理(CLT)、中偏差(MDP)与大偏差原理(LDP),速率函数由带窗相位体积平均的勒让德变换给出;
给出泛函二阶极限/高阶塌缩:以相位坐标上的测试函数族索引,中心化的线性统计在二阶型上收敛到 $H^{1/2}$ 能量,高阶项统一塌缩;
多窗/非平稳拼接与 BN–Bregman 软化下,极限与稳定性保持;全程仅用有限阶 EM 与带限投影,不引入新奇点,保持“极点 = 主尺度“。

相位—密度与基准测度. 取 Hermite–Biehler(HB)整函数 $E$ 与 de Branges 空间 $H (E)$ ;写 $E (x) = ∣ E (x) ∣ e^{- i φ (x)}, φ^{'} (x) = π ρ (x) = π \frac{K ( x , x )}{∣ E ( x ) ∣ ^{2}} > 0 (a.e.),$ 记基准测度 $d μ (x) := \frac{φ ^{'} ( x )}{π} d x$ 。

局部化算子. 取符号 $a \in L^{\infty} (R)$ 与非负偶窗 $w \geq 0$ ,令 $w_{R} (t) = w (t / R)$ (带限或指数衰减)。定义 $T_{a, w, R} := \int a (x) w_{R} (x) \frac{∣ K ( \cdot , x )⟩ ⟨ K ( \cdot , x ) ∣}{K ( x , x )} d μ (x),$ 以及相位体积 $M_{R} := \int w_{R} d μ$ 。

Parseval 连续帧(分解恒等式). 归一化核 $ψ_{x} := K (\cdot, x) / K (x, x)$ 在 $d μ (x) = φ^{'} (x) d x / π$ 下构成连续 Parseval 帧,因而 $\int \frac{∣ K ( \cdot , x )⟩ ⟨ K ( \cdot , x ) ∣}{K ( x , x )} d μ (x) = I ⟺ \int \frac{K ( u , x ) K ( v , x )}{K ( x , x )} d μ (x) = K (u, v) .$

窗化积分算子. 记 $Π_{R} (x, y) := \int w_{R} (t) \frac{K ( x , t ) K ( y , t )}{K ( x , x ) K ( y , y )} d μ (t) .$ 由非负窗 $w_{R} \geq 0$ ,它是一个自伴的正算子(“窗化帧算子”),一般不是正交投影;仅当 $w_{R}$ 为指示函数(或满足 Parseval 紧帧条件)时才退化为投影。由 Parseval 恒等式, $∥ Π_{R} ∥_{\infty} \leq ∥ w ∥_{\infty}, Tr Π_{R} = \int w_{R} d μ = M_{R},$ 从而 $∥ Π_{R} ∥_{H S}^{2} = Tr (Π_{R}^{2}) \leq ∥ Π_{R} ∥_{\infty} Tr Π_{R} \leq ∥ w ∥_{\infty} M_{R} = O (M_{R}) .$ 取 $F_{R} (a, w; λ) := lo g det (I + λ T_{a, w, R}), λ \in R 邻域 .$

平均记号统一. 记 $⟨ f ⟩_{w_{R}} := \frac{1}{M _{R}} \int f w_{R} d μ,$ 若 $⟨ f ⟩ = lim_{R \to \infty} ⟨ f ⟩_{w_{R}}$ 存在,则以 $⟨ f ⟩$ 记之。

换序与数值纪律. Lebesgue—求和换序仅用有限阶 EM;对任意被采样 integrand $g$ ,数值误差由“别名+伯努利层+截断“的非渐近上界统一控制;在带限+Nyquist条件下别名项为 0。

1. 模高斯极限:从二阶到累积量的塌缩

令 $Y_{R} (λ) := F_{R} (a, w; λ) - \int lo g (1 + λa (x) w_{R} (x)) d μ (x) - \frac{1}{2} Q_{R} (lo g (1 + λa)),$ 其中 $Q_{R} (h) := \iint \frac{( h ( x ) - h ( y ) ) ^{2}}{2} ∣ Π_{R} (x, y) ∣^{2} d μ (x) d μ (y) .$ 我们将 $H^{1/2}$ 二次型作双线性扩展 $Q_{R} (f, g) := \iint \frac{( f ( x ) - f ( y )) ( g ( x ) - g ( y ))}{2} ∣ Π_{R} (x, y) ∣^{2} d μ (x) d μ (y),$ 并以 $Q (f, g)$ 记其在相位坐标下的极限双线性型;于是 $Q_{R} (h) = Q_{R} (h, h)$ 、 $Q (h) = Q (h, h)$ 。

定理 30.1(累积量塌缩/模高斯型)

在固定 $λ$ 的紧邻域内,存在 $ϵ > 0$ 使得 $Y_{R} (λ)$ 的高阶累积量(由 $F_{R} (a, w; λ)$ 的幂级数系数/多重导数定义)满足:对任意 $k \geq 3$ , $κ_{k} (Y_{R} (λ)) = o (M_{R})$ 。且当 $t_{R} = θ / M_{R}$ ( $θ$ 有界)时, $k \geq 3 \sum \frac{κ _{k} ( Y _{R} ( λ ) )}{k !} t_{R}^{k} ⟶ 0, \frac{κ _{2} ( Y _{R} ( λ ) )}{M _{R}} ⟶ σ^{2} (λ),$ 其中 $σ^{2} (λ) := R \to \infty lim \frac{1}{M _{R}} Q_{R} (lo g (1 + λa)) .$ 上式即表示:在 $M_{R}^{- 1/2}$ 标度下,高于二阶的累积量系数全部塌缩,而二阶系数的密度极限为 $σ^{2} (λ)$ 。

证明要点 由 S28 的二阶展开得主项与二次项;对 $k \geq 3$ 阶累积量利用 $∥ Π_{R} ∥_{H S}^{2} = Tr (Π_{R}^{2}) \leq ∥ Π_{R} ∥_{\infty} Tr Π_{R} \leq ∥ w ∥_{\infty} M_{R} = O (M_{R})$ 与带限投影的局域性,得 $κ_{k} = o (M_{R})$ 。对 $t_{R}$ 级别展开即得累积量塌缩。

解释二次型 $Q_{R}$ 在相位坐标 $u = φ (x) / π$ 下收敛到 $H^{1/2}$ 能量 $Q (h) = \frac{1}{2 π} \int ∣ h \circ φ^{- 1} (ξ) ∣^{2} ∣ ξ ∣ d ξ$ 。

2. 占据统计( $0 \leq a \leq 1$ )的 CLT/MDP/LDP

本节附加假设(收缩性). 取 $0 \leq a \leq 1$ 且 $0 \leq w \leq 1$ ,则 $0 \leq w_{R} \leq 1$ ,从而 $0 \leq T_{a, w, R} \leq I, {p_{j}^{(R)}} \subset [0, 1],$ 并且 $lo g E [e^{θ S_{R}}] = lo g det (I + (e^{θ} - 1) T_{R}) (\forall θ \in R) 良定 .$ 在此假设下,定理 30.2–30.4 的叙述与证明保持不变。

记 $T_{R} := T_{a, w, R}$ 的特征值为 ${p_{j}^{(R)}} \subset [0, 1]$ 。定义 Poisson–Binomial 变量 $S_{R} := j \sum ξ_{j}^{(R)}, ξ_{j}^{(R)} \sim Bernoulli (p_{j}^{(R)}) 独立,$ 其母函数为 $lo g E [e^{θ S_{R}}] = lo g det (I + (e^{θ} - 1) T_{R}) .$ 令 $μ_{R} := E S_{R} = Tr T_{R}$ 、 $σ_{R}^{2} := Var (S_{R}) = Tr (T_{R} (1 - T_{R}))$ 。

定理 30.2(CLT)

若存在常数 $c, C > 0$ 使 $\frac{1}{M _{R}} μ_{R} \to m \in (0, \infty)$ 、 $\frac{1}{M _{R}} σ_{R}^{2} \to v \in (0, \infty)$ ,且 $j max p_{j}^{(R)} (1 - p_{j}^{(R)}) = o (σ_{R}^{2}),$ 则 $\frac{S _{R} - μ _{R}}{σ _{R}} d N (0, 1) .$ 说明条件保证了“无主导特征值“与“方差线性扩展“;这在 $ess inf a > 0$ 与 $ess sup a < 1$ (带内非饱和)且 $w_{R} \to 1$ 的情形下自动满足。

定理 30.3(中偏差 MDP)

若 $r_{R} \to \infty$ 且 $r_{R} / σ_{R} \to 0$ ,则 $Z_{R} := \frac{S _{R} - μ _{R}}{σ _{R} r _{R}}$ 满足速率为 $r_{R}^{2}$ 、速率函数 $I (x) = \frac{x ^{2}}{2}$ 的 MDP。

定理 30.4(大偏差 LDP)

$\frac{1}{M _{R}} S_{R}$ 在速率 $M_{R}$ 上满足 LDP,其良性速率函数 $I (s) = θ \in R sup {θ s - Λ (θ)},$ 其中 $Λ (θ) = R \to \infty lim \frac{1}{M _{R}} \int lo g (1 + (e^{θ} - 1) a (x) w_{R} (x)) d μ (x) .$ 若进一步有 $w_{R} \to 1$ 并且带窗平均与 $μ$ -平均一致,则 $Λ (θ) = ⟨ lo g (1 + (e^{θ} - 1) a) ⟩ = R \to \infty lim ⟨ lo g (1 + (e^{θ} - 1) a) ⟩_{w_{R}} .$ 说明由 Gärtner–Ellis 定理:上述 $Λ (θ)$ 为极限累积母函数,其严格凸与 $C^{1}$ 保证良性。

3. 线性统计的泛函二阶极限/高阶塌缩( $H^{1/2}$ 场)

取 $h \in C^{1, α} \cap L^{\infty}$ ,定义中心化线性统计 $L_{R} (h) := Tr h (T_{a, w, R}) - \int h (a (x) w_{R} (x)) d μ (x) .$

定理 30.5(泛函二阶极限/高阶塌缩)

设 ${h_{ℓ}}_{ℓ = 1}^{m} \subset C^{1, α} \cap L^{\infty}$ 。则 $\frac{1}{M _{R}} Q_{R} (h_{ℓ}^{'} (a) a (1 - a), h_{k}^{'} (a) a (1 - a)) ⟶ Q (h_{ℓ}^{'} (a) a (1 - a), h_{k}^{'} (a) a (1 - a)),$ 并据此定义极限协方差矩阵 $Σ_{ℓ k} := \frac{1}{2} Q (h_{ℓ}^{'} (a) a (1 - a), h_{k}^{'} (a) a (1 - a)),$ 这里 $Q (\cdot, \cdot)$ 为 $H^{1/2}$ 双线性型(相位坐标)。同时,所有 $k \geq 3$ 阶多线性累积量均为 $o (M_{R})$ 。

(若采用§2的 Poisson–Binomial 占据随机化解释“随机性“,则有 $\frac{1}{M _{R}} (L_{R} (h_{1}), \dots, L_{R} (h_{m})) d N (0, Σ) .$ )

证明要点 多维累积量法:二阶项给出 $Σ$ ,高阶累积量统一为 $o (M_{R})$ 。

窗的进入方式说明 在协方差矩阵 $Σ_{ℓ k} = \frac{1}{2} Q (h_{ℓ}^{'} (a) a (1 - a), h_{k}^{'} (a) a (1 - a))$ 中, $w_{R}$ 仅通过 $Π_{R}$ 进入 $Q_{R}$ 并在极限 $Q$ 中体现,故 $h^{'}$ 的自变量取 $a$ 而非 $a w_{R}$ 。

注对 $h (\cdot) = lo g (1 + λ \cdot)$ ,定理 30.5 的协方差为 $> \frac{1}{2} Q (\frac{λ a ( 1 - a )}{1 + λa}, \frac{λ a ( 1 - a )}{1 + λa}), >$ 而定理 30.1 中出现在 $F_{R}$ 的二阶确定性项为 $> \frac{1}{2} Q (lo g (1 + λa)) . >$ 二者分别对应于线性统计 $L_{R} (h)$ 的 CLT 协方差与对数行列式的二阶确定性修正,概念不同,不可直接等同。对分段常数 $h$ 得到区段计数的协方差。

4. 多窗/非平稳与软化的稳定性

多窗与帧算子. 若 ${w_{R}^{(ℓ)}}_{ℓ = 1}^{K}$ 为 Parseval 紧帧拼接( $\sum_{ℓ} w_{R}^{(ℓ)} \to 1$ 局部一致),则 $Π_{R} = ℓ = 1 \sum K Π_{R}^{(ℓ)} + R_{R}, ∥ R_{R} ∥_{H S} = o (M_{R}),$ 因此 $Q_{R} (h) = ℓ = 1 \sum K Q_{R}^{(ℓ)} (h) + o (M_{R}), σ^{2} (λ) = R \to \infty lim \frac{1}{M _{R}} ℓ \sum Q_{R}^{(ℓ)} (lo g (1 + λa)) .$ 模高斯、CLT/MDP/LDP 逐窗叠加成立;非 Parseval 情形以帧乘子修正 $a \mapsto a \cdot S_{W}$ 。

BN–Bregman 软化. 以 $min - F_{R} + τ Λ^{*}$ 软化符号/窗的最优化。若 $Λ$ 在最优点邻域 $(μ, L)$ -强凸—平滑,则极小元与最小值对数据扰动李普希茨稳定; $τ ↓ 0$ 的 $Γ$ -极限回到硬问题,而模高斯与 CLT/MDP/LDP 的极限不变。

5. 阈值、边界层与 Fisher–Hartwig 型奇性

阈值区与相位伸长. 若 $φ^{'}$ 在某区间显著变小(S21 的阈值邻域),则相位坐标被拉伸, $H^{1/2}$ 能量弱化,导致方差放大与中/大偏差的速率常数下降;定理 30.1–30.5 仍成立,但协方差与速率函数对阈值几何更敏感。

符号奇性. 当 $lo g (1 + λa) \in / C^{1, α}$ (如触及分支或出现跳跃/幂次尖点)时,可能出现 $γ lo g M_{R}$ 的边缘项(Fisher–Hartwig 型);本文默认排除此情形(平滑符号)。必要时可将符号分解为“平滑×原子奇性“逐项处理。

6. 失效边界

无限阶 EM 禁用:将 EM 当无穷级外推会产生伪奇点并破坏累积量的统一 $o (M_{R})$ 控制。
带限/偶性缺失:需回退到一般 RKHS 的投影—卷积形式并在边界层加入界面条件。
饱和区:若 $a = 0$ 或 $a = 1$ 在带内占正测度,方差可退化;CLT 需额外非退化条件或在非饱和区内作限制。
谱主导:若存在宏观特征值团簇趋近 1,需以“去饱和“正则化或引入 Parseval 近似帧以重新分配能量。

7. 可检清单(最小充分条件)

相位密度: $φ^{'} (x) = π K (x, x) /∣ E (x) ∣^{2} > 0$ ,取 $d μ = \frac{φ ^{'}}{π} d x$ ;验证 Parseval 连续帧恒等式。
窗/换序:非负偶窗 $w \geq 0$ ,带限或指数衰减;有限阶 EM;Nyquist 条件消别名。
二阶量: $Q_{R} (h)$ 可计算且 $\frac{1}{M _{R}} Q_{R} (h) \to Q (h)$ (相位坐标 $H^{1/2}$ )。
模高斯: $Y_{R} (λ)$ 的三阶及以上累积量为 $o (M_{R})$ ;二阶极限为 $σ^{2} (λ) = lim M_{R}^{- 1} Q_{R} (lo g (1 + λa))$ 。
占据统计(若 $0 \leq a \leq 1$ 且 $0 \leq w \leq 1$ ):验证 $σ_{R}^{2} = Tr (T_{R} (1 - T_{R})) \sim v M_{R}$ 且 $max_{j} p_{j}^{(R)} (1 - p_{j}^{(R)}) = o (σ_{R}^{2})$ ,则 CLT/MDP/LDP 成立。
泛函二阶极限:测试族 $h \in C^{1, α} \cap L^{\infty}$ ;协方差由 $\frac{1}{2} Q (h^{'} (a) a (1 - a))$ 给出。
多窗/软化:Parseval 紧帧下二阶量可加;BN–Bregman 软化保持极限并赋予李普希茨稳定。
奇性保持:整个流程仅叠加整/全纯层,工作条带内不增奇性、极阶不升。

结语

本文把 S28 的强型 Szegő–Widom 二阶项与 S29 的 $H^{1/2}$ Hessian 结构,系统延展为涨落—偏差三层理论:模高斯(二阶主导、三阶塌缩)、CLT/MDP/LDP(占据统计)与泛函二阶极限/高阶塌缩( $H^{1/2}$ 场)。在带限—镜像一致与有限阶 EM 的纪律下,这些极限均以相位体积与** $H^{1/2}$ 能量**为核心刻度,并与多窗拼接、软化优化及阈值几何一致,为随后的“边缘奇性(Fisher–Hartwig)—非齐次/变系数—算子级最优设计“的深入研究提供了坚实而可检的基线。

Meta Theory of the Zeckendorf-Hilbert Universe