S31. Fisher–Hartwig 型奇性与边缘放大

—— de Branges–Mellin 局部化行列式的 $\log M_R$ 修正、局部参数矩阵与相位坐标的普适性

Version: 1.1

摘要(定性)

在 de Branges 空间的相位—密度刻度下,考虑以窗 $w_R$ 局部化的投影型算子与符号 $a$ 所定义的对数行列式 ${\mathcal{F}}_R(\lambda )=\log \det (I+\lambda T_{a,w,R})$。在“带限 + Nyquist 取样 + 有限阶 Euler–Maclaurin (EM)“的换序纪律中,证明:当 $\log (1+\lambda a)$ 在有限多个相位点出现 Fisher–Hartwig(FH)型奇性(跳跃、根型尖点、相位扭转,及其叠加)时,除了强型 Szegő–Widom 极限的一阶平均与二阶 $H^{1/2}$ 能量项外,还出现由局部奇性驱动的 $\log M_R$ 级别修正。该 $\log M_R$ 项的系数仅由奇性处的局部指数—跳跃—扭转数据经一二次型给出,具有相位坐标普适性(不显含背景 de Branges 结构,背景仅通过相位体积 $M_R$ 接入)。多重奇性、多窗或非平稳拼接时,该修正满足逐点/逐块可加原则;在相位—密度阈值附近发生边缘放大,即 $M_R$ 的缩放改变但系数结构不变。中心化并剔除确定性项后,线性统计的涨落仍由 $H^{1/2}$ 能量控制并满足 CLT/MDP/LDP 与(在典型设定下的)模高斯型极限。上述结构在 Toeplitz/Wiener–Hopf 场景与 Riemann–Hilbert 的局部参数矩阵理论中得到印证。(Annals of Mathematics)

0. 设定与记号

0.1 de Branges 基线与相位—密度

取 Hermite–Biehler 整函数 $E$ 与 de Branges 空间 $\mathcal{H}(E)$。设 $$E(x)=|E(x)|e^{-i\phi (x)},{\phi }^{\prime }(x)>0,$$ 再生核 $K(\cdot ,\cdot )$ 满足 $$\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }=\frac{K(x,x)}{|E(x){|}^2}\text{(a.e.)},$$ 据此以 $$d\mu (x):=\frac{{\phi }^{\prime }(x)}{\pi }dx$$ 为基准测度,并以相位坐标 $$u=\frac{\phi (x)}{\pi }$$ 作同胚化;此时 $d\mu =du$。以上事实见 de Branges 原著与后续综述。(Purdue Mathematics)

0.2 局部化算子与对数行列式

给定偶窗 $w_R(t)=w(t/R)$(带限或指数型衰减),相位体积 $$M_R:={\int }_{\mathbb{R}}{w}_R(u)du.$$ 定义投影型局部化算子 $$T_{a,w,R}={\int }_{\mathbb{R}}a(x(u))w_R(u)\frac{|K(\cdot ,x(u))⟩⟨K(\cdot ,x(u))|}{K(x(u),x(u))}du,$$ 并记生成函数 $${\mathcal{F}}_R(\lambda ):=\log \det (I+\lambda T_{a,w,R}).$$ 在相位坐标中,$K$ 的局部极限为 sinc 型核,从而可视为带限投影的扰动;该“sine-kernel 普适性“在 de Branges 体系中已被系统阐述。(ScienceDirect)

0.3 FH 型奇性与窗口角点

在有限点集 $\mathcal{S}=\{u_p\}\subset \mathbb{R}$ 允许Fisher–Hartwig 型奇性,将 $$\log (1+\lambda a(x(u)))=H(u)+\sum _{p\in \mathcal{S}}{g}_p(u;u_p),$$ 其中 $H\in C^{1,\alpha }(\mathbb{R})$ 为平滑主部,$g_p$ 为以下原子之一或其乘积的对数: $$\text{跳跃: }{g}_p(u)={\Delta }_p{1}_{(u>u_p)},\text{根型: }{g}_p(u)={\alpha }_p\log |u-u_p|,\text{扭转: }{g}_p(u)=i{\beta }_p\mathrm{sgn}(u-u_p).$$ 若窗 $w_R$ 在若干 $u_b$ 处有台阶/角点,则此类效应不并入 $G$,而在 §4 单独记为窗角点贡献 ${\Gamma }_b^{(w)}\log M_R$,并与符号奇性可加。在 Toeplitz 与 Wiener–Hopf 情形,FH 奇性的指数—扭转载荷提供 $\log$-级修正是经典结论。(Annals of Mathematics)

0.4 取样与换序纪律

采用“带限 + Nyquist + 有限阶 EM“纪律:窗 $w_R$ 与核之卷积的频带被有效限制;在相位格点的 Nyquist 取样下别名(aliasing)为零;积分—求和换序仅用有限阶 Euler–Maclaurin,余项以伯努利层估计控制为 $o(1)$。相关背景参见 Poisson 求和/采样与 EM 余项估计。(buzsakilab.nyumc.org)

1. 平滑—奇性分离

引理 1.1(分解与耦合小量) 令 $$H(u):=\text{平滑主部},G(u):=\sum _{p\in \mathcal{S}}{g}_p(u;u_p).$$ 则 $${\mathcal{F}}_R(\lambda )={\mathcal{F}}_R{|}_H+{\mathcal{F}}_R{|}_G+{\mathcal{I}}_R(H,G),$$ 其中 ${\mathcal{I}}_R(H,G)=o(1)$,且在本节假设下 $${\mathcal{F}}_R{|}_H=M_R⟨H⟩+\frac{1}{2}{\mathcal{Q}}_R(H)+o(1),$$ 记 $⟨H⟩:=M_R^{-1}{\int }_{\mathbb{R}}H(u)w_R(u)du$ 为窗平均零模,${\mathcal{Q}}_R(H)$ 为投影二次型;其极限为相位坐标上的 $H^{1/2}$ 能量: $$\mathcal{Q}(H)=\frac{1}{4{\pi }^2}{\iint }_{{\mathbb{R}}^2}\frac{(H(u)-H(v){)}^2}{(u-v{)}^2}dudv.$$

证明要点. 对数行列式的 cumulant 展开 $$\log \det (I+\lambda T)=\sum _{k\ge 1}\frac{(-1{)}^{k+1}}{k}{\lambda }^k\mathrm{Tr}(T^k)$$ 在带限投影近似下将 $H$ 的贡献规约为 Toeplitz/Wiener–Hopf 型的强 Szegő 二次项,给出 $H^{1/2}$ 能量表示;$G$ 的贡献由局部参数矩阵主导,于第 2 节展开。耦合项 ${\mathcal{I}}_R$ 由核的局域性与有限阶 EM 控制为 $o(1)$。强型 Szegő 的二次项与其 $H^{1/2}$ 表示可参见 Simon 及相关综述。(math.caltech.edu)

2. 主定理:FH 型 $\log M_R$ 修正

定理 2.1(一般形式) 在第 0 节与第 1 节的假设下,有 $$\boxed{{\mathcal{F}}_R(\lambda )=M_R⟨H⟩+\frac{1}{2}{\mathcal{Q}}_R(H)+\sum _{p\in \mathcal{S}}{\Gamma }_p(\lambda )\log M_R+\mathcal{C}(\lambda ;\mathcal{S})+o(1)}$$ 其中 ${\Gamma }_p(\lambda )$ 为作用在局部数据的二次型,$\mathcal{C}$ 为常数级项。

(i)可加性与局部性 ${\Gamma }_p$ 仅依赖奇性点 $u_p$ 的局部数据 $({\alpha }_p(\lambda ),{\beta }_p(\lambda ),{\Delta }_p(\lambda ))$,与背景 $E$ 的全局信息无关;不同 $p$ 的贡献相加。

(ii)相位坐标普适性 ${\Gamma }_p$ 不显含 ${\phi }^{\prime }(x_p)$;背景几何仅通过 $M_R=\int w_{R}du$ 进入。

(iii)窗角点 若 $w_R$ 在 $u_b$ 含台阶/角点,则出现额外项 ${\Gamma }_b^{(w)}\log M_R$;其参数由台阶高度/角度给出,并与符号奇性可加。

证明思路. 采用 Riemann–Hilbert 方法对相位点 $u_p$ 建立局部参数矩阵(confluent hypergeometric/Bessel 型),与外解匹配得到 $\log$-级主项与常数项;该机制与 Toeplitz/Wiener–Hopf 的 FH 理论一致,其中 $\log \det$ 的 $\log n$ 系数由 FH 指数—扭转参数的二次型给出。对 Toeplitz 矩阵 $T_n(f)$ 有 $$\log \det T_n(f)=n{\hat{V}}_0+\sum _{k\ge 1}k|{\hat{V}}_k{|}^2+\sum _j({\alpha }_j^2-{\beta }_j^2)\log n+C+o(1),$$ 而 Wiener–Hopf 情形亦有完全平行的 $\log$-级别。将 $n$ 与本文的相位体积 $M_R$ 对应,即得陈述。(Annals of Mathematics)

注. 在自伴情形(无纯相位扭转)二次型为正定;含扭转(单位模因子)时,经典 FH 公式显示 $\beta$-方向具负符号(${\alpha }^2-{\beta }^2$),故整体二次型呈 $(+,-)$ 的签名结构;本文所有“正定“表述均指对幅度参数子空间(无扭转)之正定,与 Toeplitz/Wiener–Hopf 文献一致。(Annals of Mathematics)

3. 三类原子奇性的系数结构

以下用 ${\Gamma }_p(\lambda )$ 的二次型(忽略可与模型标准化有关的常数归一)。

3.1 跳跃(phase step)

若 $g_p(u)={\Delta }_p{1}_{(u>u_p)}$,则 $${\Gamma }_p(\lambda )={\mathsf{Q}}_{\mathrm{st}}({\Delta }_p(\lambda )),{\Delta }_p(\lambda )\text{为}\log (1+\lambda a)\text{在}{u}_p\text{处的跳跃幅}.$$ 直观上,跳高越大,边界层匹配产生的相位不连续越强,$\log M_R$ 的“惩罚“越大;与 Toeplitz/Wiener–Hopf 的分段常数符号一致。(ScienceDirect)

3.2 根型(root/尖点)

若 $g_p(u)={\alpha }_p\log |u-u_p|$,则 $${\Gamma }_p(\lambda )={\mathsf{Q}}_{\mathrm{rt}}({\alpha }_p(\lambda )),$$ 对应 Toeplitz FH 的 ${\alpha }^2$ 贡献。(Annals of Mathematics)

3.3 相位扭转(twist)

若 $g_p(u)=i{\beta }_p\mathrm{sgn}(u-u_p)$,则 $${\Gamma }_p(\lambda )=-{\mathsf{Q}}_{\mathrm{tw}}({\beta }_p(\lambda )),$$ 负号对应 FH 公式中的 $-{\beta }^2$。(Annals of Mathematics)

3.4 组合奇性与交叉项

若上述原子叠加于同一点 $u_p$,则 $${\Gamma }_p(\lambda )={\mathsf{Q}}_{\mathrm{FH}}({\alpha }_p(\lambda ),{\beta }_p(\lambda ),{\Delta }_p(\lambda )),$$ 一般含交叉项(如“跳跃 × 扭转“),但在若干对称规范下可对角化。合并与并合(merging)奇性时,该系数在 Painlevé V 控制的转变区间中保持一致的二次依赖结构。(Project Euclid)

4. 边界层与窗角点的贡献

若窗 $w_R$ 在 $u_b$ 含台阶/角点,其对 ${\mathcal{F}}_R$ 的贡献与“符号跳跃“同型,可写作 $${\Gamma }_b^{(w)}\log M_R,{\Gamma }_b^{(w)}={\mathsf{Q}}_{\mathrm{st}}^{(w)}(\text{台阶/角度参数}).$$ 这是 Wiener–Hopf/反卷积框架中“截断+不连续符号“导致的边界修正之 1D 版本;在更高维截断区域可见 Widom–Sobolev 型两项公式与边界积分项。(arXiv)

5. 与二阶能量、涨落与偏差的耦合

定理 5.1(中心化后之涨落普适性) 记 $${\tilde{\mathcal{F}}}_R(\lambda ):={\mathcal{F}}_R(\lambda )-M_R⟨H⟩-\frac{1}{2}{\mathcal{Q}}_R(H)-\sum _{p\in \mathcal{S}}{\Gamma }_p(\lambda )\log M_R-\mathcal{C}(\lambda ;\mathcal{S}).$$ 则在 $R\to \infty$ 时,高阶($\ge 3$)累积量为 $o(M_R)$;在 $M_R^{-1/2}$ 归一后,${\tilde{\mathcal{F}}}_R(\lambda )$ 满足中心极限定理与中/大偏差原理;在适用场景下,还满足 mod-$\phi$(含模高斯)框架的尾偏差精化。方差由 $H^{1/2}$ 能量给出。

证明要点. determinantal(或 biorthogonal)结构下的线性统计可用累积量计数与有限递推/带限投影分析,平滑部分的二次型给出协方差;FH 项仅改变确定性中心项。参见 Soshnikov、Breuer–Duits 与 Lambert 等的 CLT/累积量技术;mod-$\phi$ 的精化参见 Féray–Méliot–Nikeghbali。(arXiv)

6. 多窗与非平稳拼接:可加原则

设 $\{w_R^{(\ell )}\}$ 构成 Parseval 紧帧拼接,${\sum }_{\ell }{w}_R^{(\ell )}\to 1$ 局部一致。则 $$\sum _{\ell }{\Gamma }_p^{(\ell )}(\lambda )={\Gamma }_p(\lambda ),\sum _{\ell }{\mathcal{Q}}_R^{(\ell )}(H)={\mathcal{Q}}_R(H)+o(1).$$ 非 Parseval 情形可用帧乘子作等效符号修正后同式成立。帧与时频局部化算子(Daubechies)提供了上述分块—相加结构的抽象背景。(SpringerLink)

7. 证明框架(提要)

1. cumulant 展开与可交换性:$\log \det (I+\lambda T)$ 的迹级数在带限+Nyquist+有限阶 EM 下合法换序,余项 $o(1)$。(buzsakilab.nyumc.org)
2. 相位坐标化与核局域性:由 de Branges 相位化得到近似带限投影(sinc 模型),据此得到强型 Szegő 的均值与 $H^{1/2}$ 二次项。(ScienceDirect)
3. 局部参数矩阵:在每个 $u_p$ 处建立 confluent hypergeometric/Bessel 型参数矩阵,匹配外解获得 $\log M_R$ 主项与常数项。(Annals of Mathematics)
4. 并合与稳健性:奇性并合由 Painlevé V 控制,$\log$ 系数保持二次依赖。(Project Euclid)
5. Wiener–Hopf 与窗角点:截断/角点的 FH 同型贡献给出额外的 $\log M_R$ 项。(ScienceDirect)

8. 例与模板

例 1(单跳跃) $\log (1+\lambda a)=H+\Delta 1_{(u>0)}$。则 $${\mathcal{F}}_R(\lambda )=M_R⟨H⟩+\frac{1}{2}{\mathcal{Q}}_R(H)+{\mathsf{Q}}_{\mathrm{st}}(\Delta )\log M_R+\mathcal{C}+o(1).$$ 与分段常数符号的 Wiener–Hopf/Toeplitz 公式一致。(ScienceDirect)

例 2(根型尖点) $\log (1+\lambda a)=H+\alpha \log |u|$。则 $${\mathcal{F}}_R(\lambda )=M_R⟨H⟩+\frac{1}{2}{\mathcal{Q}}_R(H)+{\mathsf{Q}}_{\mathrm{rt}}(\alpha )\log M_R+\mathcal{C}+o(1).$$ 对应 FH 的 ${\alpha }^2$ 指数。(Annals of Mathematics)

例 3(窗角点) 平滑符号 + 台阶窗。则 $${\mathcal{F}}_R(\lambda )=M_R⟨H⟩+\frac{1}{2}{\mathcal{Q}}_R(H)+{\Gamma }^{(w)}\log M_R+\mathcal{C}+o(1).$$ ${\Gamma }^{(w)}$ 由台阶高度给出。(arXiv)

例 4(组合奇性并合极限) 在 $u_0$ 叠加跳跃+扭转+尖点并令两奇性并合: $${\Gamma }_{u_0}={\mathsf{Q}}_{\mathrm{FH}}(\alpha ,\beta ,\Delta )\text{(并合区间中保持二次依赖)}.$$ 可与 Painlevé V 转换相接。(Project Euclid)

9. 适用范围与失效边界

1. 无限阶 EM 禁用:无穷级 EM 会引入伪奇性并放大边界层;本文仅用有限阶,余项 $o(1)$。(dlmf.nist.gov)
2. 非局部奇性:若奇性沿区间连续分布,需将离散和替换为密度化积分,$\log M_R$ 项转化为相位积分。
3. 饱和/退化符号:若 $a$ 在正测度区域饱和,需在非饱和域计算二阶能量;FH 项仍由局部数据给出。
4. 度量退化:若 ${\phi }^{\prime }$ 退化,不使用相位化而回到一般 RKHS 的局部谱逼近。
5. 扭转项的符号:含纯扭转时二次型的 $\beta$-方向为负(Toeplitz/Wiener–Hopf 经典符号);需按自伴/非自伴分别陈述。(Annals of Mathematics)

10. 可检清单

1. 相位—密度:验证 ${\phi }^{\prime }(x)=\pi K(x,x)/|E(x){|}^2>0$,取 $d\mu =du$。(Purdue Mathematics)
2. 奇性分解:写 $\log (1+\lambda a)=H+{\sum }_p{g}_p$,记录 $({\alpha }_p,{\beta }_p,{\Delta }_p)$。
3. 窗口规范:带限或指数窗,Nyquist 取样,有限阶 EM;若有角点,记其等效跳跃。(buzsakilab.nyumc.org)
4. 主式与二阶:算 $M_R⟨H⟩$ 与 ${\mathcal{Q}}_R(H)$,核对 $H^{1/2}$ 极限。(math.caltech.edu)
5. FH 修正:逐点计算 ${\Gamma }_p={\mathsf{Q}}_{st/rt/tw/FH}$。(Annals of Mathematics)
6. 中心化涨落:剔除主项 + 二阶 + ${\sum }_p{\Gamma }_p\log M_R+\mathcal{C}$ 后做 CLT/MDP/LDP/模$\phi$ 检验。(arXiv)
7. 多窗拼接:Parseval 紧帧下逐块相加;一般帧用帧乘子修正。(SpringerLink)

参考文献(选)

1 P. Deift, A. Its, I. Krasovsky, Asymptotics of Toeplitz, Hankel, and Toeplitz+Hankel determinants with Fisher–Hartwig singularities, Ann. of Math. 174 (2011), 1243–1299. (Annals of Mathematics) 2 P. Deift, A. Its, I. Krasovsky, On the asymptotics of a Toeplitz determinant with singularities, MSRI Publ. 65 (2014). (library.slmath.org) 3 E. Basor, Toeplitz and Wiener–Hopf determinants with piecewise continuous symbols, J. Math. Anal. Appl. 96 (1983), 483–506. (ScienceDirect) 4 E. Basor, Wiener–Hopf determinants with Fisher–Hartwig symbols, arXiv:math/0205198. (arXiv) 5 B. Fahs, Uniform Asymptotics of Toeplitz Determinants with Fisher–Hartwig Singularities, Comm. Math. Phys. 383 (2021), 685–730. (SpringerLink) 6 T. Claeys, I. Krasovsky, Toeplitz determinants with merging singularities, Duke Math. J. 164 (2015), 2897–2987. (Project Euclid) 7 L. de Branges, Hilbert Spaces of Entire Functions, Prentice–Hall, 1968. (Purdue Mathematics) 8 D. S. Lubinsky, Universality limits for random matrices and de Branges spaces of entire functions, J. Funct. Anal. 256 (2009), 3688–3729. (ScienceDirect) 9 B. Simon, The Sharp Form of the Strong Szegő Theorem, preprint; 以及专著 Szegő’s Theorem and Its Descendants, Princeton, 2011. (math.caltech.edu) 10 I. Daubechies, Time–Frequency Localization Operators, IEEE TIT 34 (1988), 605–612. (sites.math.duke.edu) 11 P. Balazs et al., Multipliers for continuous frames in Hilbert spaces, J. Phys. A 45 (2012);以及 O. Christensen, An Introduction to Frames and Riesz Bases, 2nd ed., 2016. (arXiv) 12 A. Soshnikov, Gaussian limit for determinantal random point fields, arXiv:math/0006037;J. Breuer, M. Duits, CLT for biorthogonal ensembles, arXiv:1309.6224;G. Lambert, Limit theorems for biorthogonal ensembles, arXiv:1511.06121. (arXiv) 13 A. J. Jerri, The Shannon sampling theorem—its various extensions and applications, 1977;DLMF §2.10 Euler–Maclaurin;Poisson Summation 综述。(buzsakilab.nyumc.org) 14 A. V. Sobolev 等,On the Szegő formulas for truncated Wiener–Hopf operators;The Widom–Sobolev formula for discontinuous matrix-valued symbols(2025 预印本)。(arXiv)

附:与经典理论的对照与解释

• 与 Toeplitz/Wiener–Hopf:本文的 $M_R$ 对应矩阵规模 $n$;FH 二次型的符号(${\alpha }^2-{\beta }^2$)与经典公式一致,窗角点的 $\log$-级别等价于不连续符号引入的 FH。(Annals of Mathematics)
• 与 Riemann–Hilbert:局部参数矩阵在奇性点采用合流超几何函数刻写;匹配外解给出 $\log M_R$ 系数与常数项(DIK)。(Annals of Mathematics)
• 与 de Branges 相位普适性:相位坐标下核趋于 sinc,二阶 $H^{1/2}$ 能量与 FH $\log$ 项分离,从而系数不显含 ${\phi }^{\prime }$(仅经 $M_R$ 入式)。(ScienceDirect)

结论. 在 de Branges–Mellin 的局部化行列式中,FH 型奇性以 $\log M_R$ 级别显影,系数由局部指数—跳跃—扭转数据经二次型给出,并对背景几何呈相位坐标普适性;二阶 $H^{1/2}$ 能量继续刻画涨落。该结构与 Toeplitz/Wiener–Hopf 的 FH 理论及 Riemann–Hilbert 局部参数矩阵完全同调,为多窗/非平稳框架与边缘放大的统一处理提供了可检与可拼装的公式体系。(Annals of Mathematics)