11.1 递归范畴基础

引言

本节为整个递归希尔伯特理论建立范畴论基础，提供最高层次的统一抽象框架。关键问题是：如何将前10章建立的递归理论统一到范畴论框架中？相对论指标${\eta }^{(R)}(l;m)$如何在范畴论中表现？

定义 11.1.1.1 (递归范畴)

递归范畴的定义

定义：递归范畴${\mathcal{C}}^{(R)}$由以下数据构成：

1. 对象类：$\text{Ob}({\mathcal{C}}^{(R)})=\{{\mathcal{H}}_n^{(R)}:n\ge 0\}\cup \{{\mathcal{H}}^{(R)}\}$
2. 态射集：${\text{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{(R)}}({\mathcal{H}}_m^{(R)},{\mathcal{H}}_n^{(R)})$
3. 复合运算：态射的递归复合
4. 恒等态射：每个对象的恒等态射

递归态射

定义：态射$f:{\mathcal{H}}_m^{(R)}\to {\mathcal{H}}_n^{(R)}$在${\mathcal{C}}^{(R)}$中的表示：

1. 嵌入态射（$m\le n$）

$${\iota }_{m,n}^{(R)}:{\mathcal{H}}_m^{(R)}\hookrightarrow {\mathcal{H}}_n^{(R)}$$

自然包含映射。

2. 投影态射（$m\ge n$）

$${\pi }_{m,n}^{(R)}:{\mathcal{H}}_m^{(R)}\twoheadrightarrow {\mathcal{H}}_n^{(R)}$$

递归投影映射。

3. 相对论调制态射

$${\eta }_{l,m}^{(R)}:{\mathcal{H}}_m^{(R)}\to {\mathcal{H}}_{m+l}^{(R)}$$

由相对论指标${\eta }^{(R)}(l;m)$诱导的态射。

范畴公理验证

结合律： $$({\eta }_{l_2,m+l_1}^{(R)}\circ {\eta }_{l_1,m}^{(R)})={\eta }_{l_1+l_2,m}^{(R)}$$

恒等律： $${\eta }_{0,m}^{(R)}={\text{id}}_{{\mathcal{H}}_m^{(R)}}$$

递归相容性：态射与递归嵌套结构相容。

定义 11.1.1.2 (递归范畴的子范畴)

主要子范畴

1. 标签模式子范畴

• φ-子范畴：${\mathcal{C}}_{\varphi }^{(R)}$，对象和态射限制在φ模式
• e-子范畴：${\mathcal{C}}_e^{(R)}$，基于e模式的指数结构
• π-子范畴：${\mathcal{C}}_{\pi }^{(R)}$，基于π模式的交替结构

2. Zeckendorf子范畴（基于第8章）

$${\mathcal{C}}_{\text{Zeck}}^{(R)}\subset {\mathcal{C}}_{\varphi }^{(R)}$$

对象：$\{{\mathcal{H}}_{\text{Zeck}}^{(n)}:n\ge 0\}$ 态射：保持No-11约束的态射

3. 拓扑子范畴（基于第9章）

$${\mathcal{C}}_{\text{Top}}^{(R)}\subset {\mathcal{C}}^{(R)}$$

态射限制为递归连续映射。

4. 测度子范畴（基于第10章）

$${\mathcal{C}}_{\text{Meas}}^{(R)}\subset {\mathcal{C}}^{(R)}$$

态射限制为保测映射。

定理 11.1.1.1 (递归范畴的函子性质)

递归范畴具有丰富的函子结构：

层级函子

包含函子： $$I_n^{(R)}:{\mathcal{C}}_n^{(R)}\to {\mathcal{C}}^{(R)}$$

将第$n$层范畴嵌入完整递归范畴。

投影函子： $$P_n^{(R)}:{\mathcal{C}}^{(R)}\to {\mathcal{C}}_n^{(R)}$$

投影到第$n$层范畴。

相对论函子

相对论指标函子： $${\mathcal{F}}_{\eta }^{(R)}:{\mathcal{C}}^{(R)}\to {\mathcal{C}}^{(R)}$$

作用：

• 对象：${\mathcal{F}}_{\eta }^{(R)}({\mathcal{H}}_n^{(R)})={\mathcal{H}}_n^{(R)}$
• 态射：${\mathcal{F}}_{\eta }^{(R)}(f)={\eta }^{(R)}(\text{source},\text{target})\cdot f$

忘却函子

拓扑忘却函子： $$U_{\text{Top}}^{(R)}:{\mathcal{C}}_{\text{Top}}^{(R)}\to {\mathcal{C}}^{(R)}$$

忘却拓扑结构，保留递归结构。

测度忘却函子： $$U_{\text{Meas}}^{(R)}:{\mathcal{C}}_{\text{Meas}}^{(R)}\to {\mathcal{C}}^{(R)}$$

忘却测度结构。

定义 11.1.1.3 (递归范畴的极限)

递归极限和余极限

递归拉回

对态射$f:A^{(R)}\to C^{(R)}$和$g:B^{(R)}\to C^{(R)}$，递归拉回： $$A{\times }_C^{(R)}B=\{(a,b)\in A^{(R)}\times B^{(R)}:f(a){=}^{(R)}g(b)\}$$

其中${=}^{(R)}$是相对论等价关系。

递归推出

对态射$f:C^{(R)}\to A^{(R)}$和$g:C^{(R)}\to B^{(R)}$，递归推出： $$A\coprod _C^{(R)}B=(A^{(R)}\coprod B^{(R)})/{\sim }^{(R)}$$

其中${\sim }^{(R)}$是由$f$和$g$诱导的相对论等价关系。

递归伴随

伴随对：$(P_n^{(R)}⊣I_n^{(R)})$

投影函子与包含函子形成递归伴随对： $$\text{Hom}(P_n^{(R)}(X),Y)\cong \text{Hom}(X,I_n^{(R)}(Y))$$

单子结构： $$T^{(R)}=I_n^{(R)}\circ P_n^{(R)}$$

是递归范畴上的单子。

推论 11.1.1.1 (递归理论的范畴统一)

范畴论为前10章理论提供统一抽象：

理论统一表

范畴论优势

1. 抽象统一性：所有具体结构的抽象统一
2. 态射中心性：从对象到关系的视角转换
3. 函子性质：结构保持映射的系统研究
4. 极限理论：统一的构造理论

定义 11.1.1.4 (递归2-范畴)

递归2-范畴结构

定义：递归2-范畴${\mathcal{C}}^{(R,2)}$包含：

1. 0-胞：递归空间对象
2. 1-胞：递归态射
3. 2-胞：态射间的相对论调制

2-态射的相对论调制

自然变换的递归版本： $${\alpha }^{(R)}:F^{(R)}\Rightarrow G^{(R)}$$

其中${\alpha }_X^{(R)}:F^{(R)}(X)\to G^{(R)}(X)$由相对论指标调制： $${\alpha }_X^{(R)}={\eta }^{(R)}(\text{source}(X),\text{target}(X))\cdot {\alpha }_X$$

说明

递归范畴论的理论革命意义

1. 抽象程度的质的飞跃

递归范畴论将理论抽象到最高层次： $$\text{具体递归结构}\stackrel{\text{范畴抽象}}{\to }\text{抽象递归模式}$$

抽象收益：

• 统一语言：为所有递归概念提供统一的范畴语言
• 结构保持：通过函子保持重要的结构性质
• 关系中心：从“是什么“到“如何相关“的视角转换
• 构造系统：通过极限和余极限的系统构造方法

2. 现代数学的完全接轨

递归范畴论使递归理论与现代数学前沿完全接轨：

• ∞-范畴理论：为递归∞-范畴的未来发展奠基
• 高阶范畴论：为递归高阶结构提供框架
• 同伦类型论：为递归同伦理论提供基础
• 代数拓扑：为递归代数拓扑提供范畴基础

3. 递归理论的元数学基础

范畴论为递归理论提供元数学基础：

• 理论的理论：递归理论本身的范畴论表述
• 概念的概念：递归概念间关系的抽象表述
• 结构的结构：递归结构的高阶结构分析
• 统一的统一：统一框架的范畴论统一

这种递归范畴基础为理解递归理论的深层抽象结构和统一模式提供了范畴论-递归理论统一的最高抽象框架，是递归理论抽象化和现代化的重要里程碑。