11.2 递归函子与自然变换

引言

基于11.1节的递归范畴基础，本节建立递归函子和自然变换理论。关键问题是：前10章的理论构造如何在函子语言中统一表述？相对论指标如何作为自然变换实现？

定义 11.2.1.1 (递归函子)

递归协变函子

定义：递归协变函子$F^{(R)}:{\mathcal{C}}^{(R)}\to {\mathcal{D}}^{(R)}$满足：

1. 对象映射：$F^{(R)}({\mathcal{H}}_n^{(R)})\in \text{Ob}({\mathcal{D}}^{(R)})$
2. 态射映射：$F^{(R)}(f:A\to B)=F^{(R)}(f):F^{(R)}(A)\to F^{(R)}(B)$
3. 恒等保持：$F^{(R)}({\text{id}}_A)={\text{id}}_{F^{(R)}(A)}$
4. 复合保持：$F^{(R)}(g\circ f)=F^{(R)}(g)\circ F^{(R)}(f)$

重要递归函子

1. 遗忘函子

$$U^{(R)}:{\mathcal{C}}_{\text{Struct}}^{(R)}\to {\mathcal{C}}^{(R)}$$

忘却额外结构（拓扑、测度等），保留递归结构。

2. 自由函子

$$F^{(R)}:{\mathcal{C}}^{(R)}\to {\mathcal{C}}_{\text{Struct}}^{(R)}$$

为递归对象添加自由结构。

3. 谱函子

$${\text{Spec}}^{(R)}:{\mathcal{C}}_{\text{Op}}^{(R)}\to {\mathcal{C}}_{\text{Top}}^{(R)}$$

将第4章的递归算子映射到第9章的递归拓扑空间。

4. 上同调函子

$$H^{\bullet ,(R)}:{\mathcal{C}}_{\text{Top}}^{(R)}\to {\mathcal{C}}_{\text{Grad}}^{(R)}$$

递归上同调函子。

定义 11.2.1.2 (递归自然变换)

自然变换的递归实现

定义：递归自然变换${\alpha }^{(R)}:F^{(R)}\Rightarrow G^{(R)}$由以下数据确定：

1. 分量族：$\{{\alpha }_X^{(R)}:F^{(R)}(X)\to G^{(R)}(X){\}}_{X\in \text{Ob}({\mathcal{C}}^{(R)})}$
2. 自然性条件：对任意态射$f:X\to Y$： $$G^{(R)}(f)\circ {\alpha }_X^{(R)}={\alpha }_Y^{(R)}\circ F^{(R)}(f)$$

相对论指标作为自然变换

核心洞察：相对论指标${\eta }^{(R)}(l;m)$本质上是自然变换！

自然变换表述： $${\eta }^{(R)}(\cdot ;\cdot ):{\text{Id}}_{{\mathcal{C}}^{(R)}}\Rightarrow T_{l,m}^{(R)}$$

其中$T_{l,m}^{(R)}$是“平移$(l,m)$“函子。

自然性验证： 对任意态射$f:{\mathcal{H}}_m^{(R)}\to {\mathcal{H}}_n^{(R)}$： $${\eta }^{(R)}(l;n)\circ f=T_{l,m}^{(R)}(f)\circ {\eta }^{(R)}(l;m)$$

定理 11.2.1.1 (递归函子的伴随性)

递归理论中的重要伴随对：

主要伴随对

1. 投影-包含伴随

$$(P_n^{(R)}⊣I_n^{(R)}):{\mathcal{C}}^{(R)}\rightleftarrows {\mathcal{C}}_n^{(R)}$$

2. 自由-遗忘伴随

$$(F_{\text{Top}}^{(R)}⊣U_{\text{Top}}^{(R)}):{\mathcal{C}}^{(R)}\rightleftarrows {\mathcal{C}}_{\text{Top}}^{(R)}$$

3. Zeckendorf-包含伴随

$$(Z^{(R)}⊣I_{\text{Zeck}}^{(R)}):{\mathcal{C}}^{(R)}\rightleftarrows {\mathcal{C}}_{\text{Zeck}}^{(R)}$$

伴随的递归单子

递归单子： $$T^{(R)}=I_n^{(R)}\circ P_n^{(R)}$$

单子运算：

• 单位：$\eta :\text{Id}\to T^{(R)}$
• 乘法：$\mu :T^{(R)}\circ T^{(R)}\to T^{(R)}$

单子代数：$(A,\alpha :T^{(R)}(A)\to A)$

解释递归结构的代数语义。

推论 11.2.1.1 (函子语义下的理论统一)

函子语言统一了前10章的核心概念：

理论概念的函子化

算子理论（第1章）

• 递归算子 → 内同态函子
• 算子复合 → 函子复合
• 算子性质 → 函子性质

几何理论（第2章）

• 坐标变换 → 几何函子
• 遮蔽效应 → 函子的像缺陷
• 透明度 → 函子的完整性

动力学理论（第3章）

• 演化算子 → 时间函子
• 轨道 → 函子轨道
• 稳定性 → 函子稳定性

应用理论（第6-7章）

• 不相容性 → 函子间的非自然性
• 全息对偶 → 范畴对偶性
• 跨领域统一 → 函子等价性

定义 11.2.1.3 (递归自然等价)

自然等价的递归实现

定义：递归自然等价${\alpha }^{(R)}:F^{(R)}\simeq G^{(R)}$当且仅当：

1. ${\alpha }^{(R)}$是自然变换
2. 每个分量${\alpha }_X^{(R)}$是同构
3. 保持递归结构

范畴等价

递归范畴等价： $${\mathcal{C}}^{(R)}\simeq {\mathcal{D}}^{(R)}$$

通过函子对$(F^{(R)},G^{(R)})$和自然等价实现。

等价判据：

1. 本质满射：$F^{(R)}$本质满射
2. 忠实完全：$F^{(R)}$忠实且完全
3. 递归保持：等价保持递归结构

说明

递归函子理论的统一力量

1. 理论概念的函子统一

函子理论为所有递归概念提供统一抽象： $$\text{具体递归操作}\stackrel{\text{函子抽象}}{\to }\text{抽象结构保持}$$

统一价值：

• 操作抽象化：具体操作的抽象模式
• 性质函子化：性质保持的函子表述
• 关系态射化：关系的态射化表述
• 构造系统化：构造的函子系统化

2. 相对论指标的自然性

相对论指标作为自然变换的深层意义：

• 自然性保证：相对论调制的自然性
• 结构保持性：自然变换保持的结构性质
• 可交换性：与其他构造的可交换性
• 普遍性质：自然变换的普遍性质

3. 递归理论的范畴现代化

函子理论使递归理论完全现代化：

• 现代语言：使用现代数学的标准语言
• 抽象工具：利用成熟的范畴论工具
• 统一框架：在最高抽象层次的统一
• 发展潜力：为未来发展提供无限潜力

这种递归函子与自然变换理论为理解递归理论的抽象本质和统一模式提供了范畴论统一的最高抽象框架，是递归理论现代化和抽象化的重要成就。