11.3 递归伴随与极限

引言

基于前两节的递归范畴和函子理论，本节深入研究递归伴随函子和极限理论。关键问题是：递归理论中的对偶性如何通过伴随函子表达？递归构造如何通过范畴极限统一？

定义 11.3.1.1 (递归伴随函子)

递归伴随的定义

定义：函子对$(F^{(R)},G^{(R)})$形成递归伴随： $$F^{(R)}:{\mathcal{C}}^{(R)}\rightleftarrows {\mathcal{D}}^{(R)}:G^{(R)}$$

当且仅当存在自然双射： $${\text{Hom}}_{{\mathcal{D}}^{(R)}}(F^{(R)}(X),Y)\cong {\text{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{(R)}}(X,G^{(R)}(Y))$$

对所有$X\in {\mathcal{C}}^{(R)},Y\in {\mathcal{D}}^{(R)}$。

主要递归伴随对

1. 基础投影-包含伴随

$$(P_n^{(R)}⊣I_n^{(R)}):{\mathcal{C}}^{(R)}\rightleftarrows {\mathcal{C}}_n^{(R)}$$

单位：${\eta }_X:X\to I_n^{(R)}{P}_n^{(R)}(X)$（自然嵌入） 余单位：${\epsilon }_Y:P_n^{(R)}{I}_n^{(R)}(Y)\to Y$（自然投影）

2. Zeckendorf-完整伴随（基于第8章）

$$(Z^{(R)}⊣C^{(R)}):{\mathcal{C}}^{(R)}\rightleftarrows {\mathcal{C}}_{\text{Zeck}}^{(R)}$$

其中$Z^{(R)}$是Zeckendorf化函子，$C^{(R)}$是完整化函子。

3. 拓扑-几何伴随（连接第2章和第9章）

$$({\text{Top}}^{(R)}⊣{\text{Geom}}^{(R)}):{\mathcal{C}}_{\text{Geom}}^{(R)}\rightleftarrows {\mathcal{C}}_{\text{Top}}^{(R)}$$

4. 测度-拓扑伴随（连接第9章和第10章）

$$({\text{Meas}}^{(R)}⊣{\text{Cont}}^{(R)}):{\mathcal{C}}_{\text{Top}}^{(R)}\rightleftarrows {\mathcal{C}}_{\text{Meas}}^{(R)}$$

定理 11.3.1.1 (递归伴随的存在性)

递归伴随在适当条件下普遍存在：

递归伴随函子定理

定理：设$F^{(R)}:{\mathcal{C}}^{(R)}\to {\mathcal{D}}^{(R)}$是递归函子，若：

1. 解保持性：$F^{(R)}$保持某类极限
2. 可达性条件：${\mathcal{C}}^{(R)}$局部可达
3. 递归兼容性：$F^{(R)}$与递归结构兼容

则$F^{(R)}$有右伴随$G^{(R)}$。

构造方法

右伴随的构造： $$G^{(R)}(Y)=\underset{\overrightarrow{(X,f:F^{(R)}(X)\to Y)}}{\lim }X$$

其中极限在逗号范畴$F^{(R)}\downarrow Y$上取得。

定义 11.3.1.2 (递归极限和余极限)

递归极限

定义：递归极限${\lim }_{\overleftarrow{I}}{D}^{(R)}$是对象$L$配备态射族$\{{\pi }_i:L\to D_i\}$，满足：

1. 兼容性：$D_{ij}\circ {\pi }_i={\pi }_j$
2. 普遍性质：对任意$(X,\{f_i:X\to D_i\})$，存在唯一$u:X\to L$使得${\pi }_i\circ u=f_i$
3. 递归保持性：极限保持递归结构

重要递归极限

1. 递归乘积

$$\prod _{i\in I}{\mathcal{H}}_i^{(R)}=\underset{\overleftarrow{i\in I}}{\lim }{\mathcal{H}}_i^{(R)}$$

相对论加权乘积： $$\prod _{\eta }^{(R)}{\mathcal{H}}_i^{(R)}=\{(x_i):\sum _i|{\eta }^{(R)}(i;0){|}^2\Vert x_i{\Vert }^2<\infty \}$$

2. 递归等化子

$${\text{Eq}}^{(R)}(f,g)=\{x\in X:f(x){=}^{(R)}g(x)\}$$

其中${=}^{(R)}$是相对论等价。

3. 递归纤维积

$$A{\times }_C^{(R)}B=\lim (A\to C\leftarrow B)$$

相对论调制的纤维积。

定理 11.3.1.2 (递归极限的存在性)

递归范畴中极限的存在性：

完备性定理

定理：递归范畴${\mathcal{C}}^{(R)}$是完备的（所有小极限存在）。

证明要点：

1. 层级完备性：每层${\mathcal{C}}_n^{(R)}$完备
2. 递归兼容性：极限与递归结构兼容
3. 相对论调制：相对论指标保持极限性质

余完备性

定理：递归范畴${\mathcal{C}}^{(R)}$是余完备的（所有小余极限存在）。

推论 11.3.1.1 (理论构造的极限表述)

前10章的理论构造在极限语言中的统一：

构造的极限表述

递归母空间（第1章）

$${\mathcal{H}}^{(R)}={\text{colim}}_n{\mathcal{H}}_n^{(R)}$$

递归母空间是层级空间的余极限。

全息编码（第1,7章）

$${\mathcal{E}}^{(R)}=\underset{\overleftarrow{(l,m)}}{\lim }{\mathcal{E}}_{l,m}^{(R)}$$

全息编码是局部编码的极限。

稳定性分析（第5章）

$${\text{Stab}}^{(R)}=\text{Eq}({\mathcal{L}}^{(R)},\text{id})$$

稳定点是演化算子与恒等的等化子。

不相容定理（第6章）

$${\text{Incomp}}^{(R)}=\text{Pushout}(\text{RH},\text{Dynamic})$$

不相容性是RH与动态选择的推出。

定义 11.3.1.3 (递归Kan扩张)

左Kan扩张

定义：沿函子$K^{(R)}:{\mathcal{A}}^{(R)}\to {\mathcal{B}}^{(R)}$的左Kan扩张： $${\text{Lan}}_{K^{(R)}}{F}^{(R)}={\text{colim}}_{(A\to K^{(R)}B)}{F}^{(R)}(A)$$

递归密度单子

相对论密度单子： $$D^{(R)}={\text{Lan}}_{Y^{(R)}}{\text{Id}}_{{\mathcal{C}}^{(R)}}$$

其中$Y^{(R)}:{\mathcal{C}}^{(R)}\to \text{Set}$是Yoneda嵌入的递归版本。

解释：相对论指标的“密度“来自Kan扩张的普遍构造。

定理 11.3.1.3 (递归Yoneda引理)

递归版本的Yoneda引理：

递归Yoneda嵌入

函子： $$Y^{(R)}:{\mathcal{C}}^{(R)}\to [{\mathcal{C}}^{(R)\text{op}},\text{Set}]$$ $$Y^{(R)}(X)={\text{Hom}}_{{\mathcal{C}}^{(R)}}(-,X)$$

递归Yoneda引理

定理：存在自然双射： $$\text{Nat}(Y^{(R)}(X),F)\cong F(X)$$

对任意函子$F:{\mathcal{C}}^{(R)\text{op}}\to \text{Set}$。

递归特化：相对论指标通过Yoneda嵌入获得范畴论解释。

说明

递归伴随与极限理论的深层价值

1. 对偶性的范畴实现

伴随函子实现了递归理论中的各种对偶性： $$\text{递归对偶概念}\stackrel{\text{伴随函子}}{\to }\text{范畴对偶性}$$

对偶统一：

• 投影-包含对偶：层级的上下对偶
• 拓扑-几何对偶：连续性与离散性的对偶
• 测度-拓扑对偶：量化与结构的对偶
• Zeckendorf-完整对偶：约束与自由的对偶

2. 构造的普遍性

极限理论为递归构造提供普遍性质：

• 普遍性质：构造的最优性和唯一性
• 函子性：构造的函子性质
• 自然性：构造的自然性
• 可交换性：不同构造的可交换性

3. 抽象的计算实现

伴随和极限提供抽象概念的计算实现：

• 伴随计算：通过伴随对的计算优化
• 极限算法：极限构造的算法实现
• Kan扩张计算：普遍构造的计算方法
• Yoneda嵌入：表示理论的计算应用

这种递归伴随与极限理论为理解递归理论的深层结构和普遍性质提供了范畴论-递归理论统一的最高抽象工具，是递归理论抽象化的重要成就。