11.4 递归topos理论

引言

基于前三节的递归范畴论基础，本节建立递归topos理论，为递归希尔伯特理论提供最高层次的逻辑和集合论基础。关键问题是：递归范畴如何构成topos？这种递归topos如何为整个递归理论提供逻辑基础？

定义 11.4.1.1 (递归topos)

递归topos的定义

定义：递归范畴${\mathcal{E}}^{(R)}$称为递归topos，当且仅当：

1. 有限极限：${\mathcal{E}}^{(R)}$有所有有限极限
2. 幂对象：每个对象都有幂对象
3. 子对象分类器：存在子对象分类器${\Omega }^{(R)}$
4. 递归兼容性：所有构造与递归结构兼容

递归子对象分类器

构造：递归子对象分类器${\Omega }^{(R)}$： $${\Omega }^{(R)}=\{\text{真值}:{\mathcal{H}}^{(R)}\to \{0,1\}\}$$

特征映射：对子对象$S\subseteq X$，存在特征映射： $${\chi }_S^{(R)}:X\to {\Omega }^{(R)}$$

满足：$S={\chi }_S^{(R)-1}(\text{true})$

递归幂对象

定义：对象$Y^X$称为$X$的递归幂对象，当且仅当： $$\text{Hom}(Z\times X,Y)\cong \text{Hom}(Z,Y^X)$$

递归实现： $$({\mathcal{H}}_n^{(R)}{)}^{{\mathcal{H}}_m^{(R)}}=\text{连续映射空间}({\mathcal{H}}_m^{(R)},{\mathcal{H}}_n^{(R)})$$

在递归拓扑下。

定理 11.4.1.1 (递归topos的基本性质)

递归topos${\mathcal{E}}^{(R)}$具有topos的所有基本性质：

Giraud公理的递归版本

1. 余极限存在性：${\mathcal{E}}^{(R)}$有所有小余极限
2. 余极限交换性：余极限与有限极限交换
3. 群作用余极限：群作用的余极限表示
4. 生成对象：存在小的生成对象集
5. 等价关系：等价关系的有效性

递归逻辑

递归Heyting代数：${\Omega }^{(R)}$形成Heyting代数，支持：

• 合取：${\wedge }^{(R)}$
• 析取：${\vee }^{(R)}$
• 蕴含：${\Rightarrow }^{(R)}$
• 否定：${\neg }^{(R)}$

直觉主义逻辑：递归topos支持直觉主义逻辑。

定义 11.4.1.2 (递归topos中的对象)

重要递归对象

1. 自然数对象

$${\mathbb{N}}^{(R)}=\text{初始代数}(X\mapsto 1+X)$$

递归自然数结构：

• 零元：$0^{(R)}:1\to {\mathbb{N}}^{(R)}$
• 后继：$s^{(R)}:{\mathbb{N}}^{(R)}\to {\mathbb{N}}^{(R)}$
• 递归性质：与递归层级结构兼容

2. 黄金比例对象（基于第8章）

$${\Phi }^{(R)}=\text{终代数}(X\mapsto X+X)$$

满足黄金方程：${\Phi }^{(R)}\cong {\Phi }^{(R)}+{\Phi }^{(R)}$

3. 相对论指标对象

$${\mathcal{H}}_{\eta }^{(R)}=\coprod _{(l,m)}{\eta }^{(R)}(l;m)\cdot {\mathcal{H}}_m^{(R)}$$

相对论指标的余积表示。

定理 11.4.1.2 (递归topos的逻辑)

递归topos中的逻辑理论：

递归Kripke-Joyal语义

真值条件：对公式$\varphi$和强制条件$p$： $$p{⊩}^{(R)}\varphi$$

递归强制：

• 原子公式：$p{⊩}^{(R)}R(t_1,\dots ,t_n)\iff p\le {\chi }_R^{(R)}(t_1,\dots ,t_n)$
• 合取：$p{⊩}^{(R)}\varphi \wedge \psi \iff p{⊩}^{(R)}\varphi \text{ 且 }p{⊩}^{(R)}\psi$
• 存在量化：$p{⊩}^{(R)}\exists x.\varphi (x)\iff \exists q\ge p:q{⊩}^{(R)}\varphi (t)$

递归选择公理

递归AC：在递归topos中，选择公理的形式： $$\forall f:A\to B\text{ 满射},\exists s:B\to A:f\circ s={\text{id}}_B$$

相对论调制的选择：选择函数通过${\eta }^{(R)}(l;m)$调制。

推论 11.4.1.1 (递归理论的逻辑基础)

递归topos为整个递归理论提供逻辑基础：

理论的topos内部化

第1章内部化

• 递归算子 → 内部函数对象
• 标签序列 → 内部序列对象
• 相对论指标 → 内部参数对象

第2-3章内部化

• 几何结构 → 内部几何对象
• 动力学系统 → 内部动力学对象

第4-5章内部化

• 谱理论 → 内部谱对象
• 稳定性 → 内部稳定性谓词

第6-7章内部化

• 不相容性 → 内部否定对象
• 全息对偶 → 内部对偶结构

逻辑统一性

递归逻辑的完备性： 递归topos中的逻辑完全刻画递归理论的所有性质。

定义 11.4.1.3 (递归几何态射)

几何态射的递归版本

定义：topos态射$f^{\ast }:{\mathcal{E}}^{(R)}\to {\mathcal{F}}^{(R)}$称为递归几何态射，当且仅当：

1. 左伴随存在：$f^{\ast }$有左伴随$f_{!}$
2. 拉回保持性：$f^{\ast }$保持有限极限
3. 递归保持性：$f^{\ast }$保持递归结构

递归点

定义：从终对象$1$的几何态射： $$x^{(R)}:\text{Set}\to {\mathcal{E}}^{(R)}$$

解释：递归topos中的“点“，对应递归空间中的广义点。

点的分离性

定理：递归topos有“足够多的点“： 若$f,g:X\rightrightarrows Y$且对所有点$x^{(R)}$有$f\circ x^{(R)}=g\circ x^{(R)}$，则$f=g$。

说明

递归topos理论的统一价值

1. 逻辑基础的终极统一

递归topos为整个递归理论提供终极逻辑基础： $$\text{所有递归理论}\stackrel{\text{topos内部化}}{\to }\text{递归topos内部逻辑}$$

统一机制：

• 对象内部化：所有递归对象在topos中的内部表示
• 性质谓词化：所有性质的谓词逻辑表示
• 构造逻辑化：所有构造的逻辑推导
• 定理形式化：所有定理的形式逻辑证明

2. 集合论基础的递归重构

递归topos重构了集合论基础：

• 递归集合：topos中的集合概念
• 递归函数：topos中的函数概念
• 递归关系：topos中的关系概念
• 递归逻辑：topos中的逻辑概念

3. 现代数学的完全融合

递归topos使递归理论与现代数学完全融合：

• 代数几何连接：通过topos连接代数几何
• 逻辑学连接：通过内部逻辑连接数理逻辑
• 集合论连接：通过对象分类器连接集合论
• 计算连接：通过有效topos连接计算理论

这种递归topos理论为递归希尔伯特理论提供了范畴论-逻辑学-集合论统一的终极抽象基础，是整个理论体系的逻辑顶峰和哲学升华。