12.1 递归代数簇与scheme

引言

基于第11章的递归范畴论基础，本节将代数几何的核心概念——代数簇和scheme——扩展到递归框架。关键问题是：ζ函数和相对论指标${\eta }^{(R)}(l;m)$如何在代数几何中表现？递归代数簇如何为RH问题提供新的几何视角？

定义 12.1.1.1 (递归仿射代数簇)

递归多项式环

定义：递归多项式环： $$\mathbb{C}[x_0,x_1,\dots {]}^{(R)}=\underset{\overleftarrow{n}}{\lim }\mathbb{C}[x_0,x_1,\dots ,x_n]$$

其中极限由相对论指标${\eta }^{(R)}(l;m)$调制： $$x_k\mapsto {\eta }^{(R)}(k;0)x_k$$

递归理想

ζ理想：由ζ函数诱导的递归理想： $$I_{\zeta }^{(R)}=⟨\zeta (s)-\sum _{n=1}^{\infty }{\eta }^{(R)}(n;0)x_n^{-s}⟩$$

相对论理想： $$I_{\eta }^{(R)}=⟨{\eta }^{(R)}(l;m)-F_{\text{finite}}(\{x_{m+j}{\}}_{j=0}^l)/F_{\text{finite}}(\{x_j{\}}_{j=0}^m)⟩$$

递归代数簇

定义：递归仿射代数簇： $$V^{(R)}(I)=\{(a_k)\in ({\mathbb{C}}^{\ast }{)}^{\mathbb{N}}:f(a_k)=0,\forall f\in I\}$$

ζ-代数簇： $$V_{\zeta }^{(R)}=V^{(R)}(I_{\zeta }^{(R)})$$

相对论代数簇： $$V_{\eta }^{(R)}=V^{(R)}(I_{\eta }^{(R)})$$

定理 12.1.1.1 (递归Nullstellensatz)

递归版本的Hilbert零点定理：

递归零点对应

定理：存在递归理想与递归代数集的双射对应： $$\{\text{根理想}\}\stackrel{1:1}{\leftrightarrow }\{\text{递归代数集}\}$$

递归根理想： $$\sqrt{I^{(R)}}=\{f\in \mathbb{C}[x_k{]}^{(R)}:f^m\in I^{(R)}\text{ for some }m\}$$

相对论调制：根运算由相对论指标调制： $$\sqrt{I^{(R)}}=\{f:\sum _k|{\eta }^{(R)}(k;0){|}^2|f{|}^{2m_k}\in I^{(R)}\}$$

RH的代数几何表述

RH代数簇： $$V_{\text{RH}}^{(R)}=\{(s_k):\zeta (s_k)=0,\Re (s_k)=\sigma \}$$

临界代数簇： $$V_{\text{crit}}^{(R)}=V_{\text{RH}}^{(R)}\cap \{\Re (s)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\eta }^{(R)}(n;0)+\delta }{1+{\eta }^{(R)}(n;0)+\delta }\}$$

定义 12.1.1.2 (递归scheme)

递归仿射scheme

定义：递归仿射scheme： $${\text{Spec}}^{(R)}(A)=\{\mathfrak{p}:\mathfrak{p}\text{ 是 }A\text{ 的递归素理想}\}$$

递归素理想：理想$\mathfrak{p}$是递归素的，当且仅当： $$ab\in \mathfrak{p}\Rightarrow {\eta }^{(R)}(a)\in \mathfrak{p}\text{ 或 }{\eta }^{(R)}(b)\in \mathfrak{p}$$

其中${\eta }^{(R)}$是相对论调制。

递归scheme的结构层

结构sheaf：${\mathcal{O}}_X^{(R)}$定义为： $${\mathcal{O}}_X^{(R)}(U)=\{f\in K(X):f\text{ 在 }U\text{ 上递归正则}\}$$

其中$K(X)$是递归函数域。

相对论层： $${\mathcal{O}}_{\eta }^{(R)}(U)=\sum _n{\eta }^{(R)}(n;0){\mathcal{O}}_X^{(R)}(U\cap {\mathcal{H}}_n^{(R)})$$

递归scheme的态射

scheme态射：$(f,f^{\#}):(X,{\mathcal{O}}_X^{(R)})\to (Y,{\mathcal{O}}_Y^{(R)})$

• 连续映射：$f:X\to Y$递归连续
• 层态射：$f^{\#}:{\mathcal{O}}_Y^{(R)}\to f_{\ast }{\mathcal{O}}_X^{(R)}$

定理 12.1.1.2 (递归代数几何基本定理)

递归代数几何的基本对应：

范畴等价

定理：存在范畴等价： $$\{\text{递归仿射scheme}{\}}^{\text{op}}\simeq \{\text{递归交换环}\}$$

函子：

• 正向：${\text{Spec}}^{(R)}:{\text{Ring}}^{(R)}\to {\text{AffSch}}^{(R)\text{op}}$
• 反向：${\Gamma }^{(R)}:{\text{AffSch}}^{(R)}\to {\text{Ring}}^{(R)}$

相对论调制的几何意义

几何解释：相对论指标${\eta }^{(R)}(l;m)$在代数几何中的意义：

• 坐标权重：代数簇坐标的相对论权重
• 理想生成：理想的相对论生成元
• 态射调制：scheme态射的相对论调制
• 上同调权重：上同调群的相对论权重

推论 12.1.1.1 (ζ函数的代数几何实现)

ζ函数在递归代数几何中的实现：

ζ-scheme

构造：ζ函数的scheme表示： $${\mathcal{Z}}^{(R)}={\text{Spec}}^{(R)}(\mathbb{C}[s]/(f_{\zeta }^{(R)}(s)))$$

其中$f_{\zeta }^{(R)}(s)$是ζ函数的递归多项式逼近。

零点scheme： $$\text{Zero}(\zeta {)}^{(R)}={\mathcal{Z}}^{(R)}\cap V(s-\rho )$$

其中$\rho$是ζ函数零点。

RH的scheme理论表述

RH scheme猜想： $$\text{RH}\iff \text{Zero}(\zeta {)}^{(R)}\subset {\text{CritLine}}^{(R)}$$

其中${\text{CritLine}}^{(R)}$是动态临界线scheme： $${\text{CritLine}}^{(R)}={\text{Spec}}^{(R)}\left(\mathbb{C}[s]/\left(s-\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{{\eta }^{(R)}(n;0)+\delta }{1+{\eta }^{(R)}(n;0)+\delta }\right)\right)$$

定义 12.1.1.3 (递归射影代数几何)

递归射影空间

定义：递归射影空间： $${\mathbb{P}}^{(R)\infty }={\text{Proj}}^{(R)}(\mathbb{C}[x_0,x_1,\dots {]}^{(R)})$$

相对论射影坐标： $$[a_0:a_1:\cdots ]\mapsto [{\eta }^{(R)}(0;0)a_0:{\eta }^{(R)}(1;0)a_1:\cdots ]$$

递归射影代数簇

定义：递归射影代数簇： $$V^{(R)}=\text{零点集}({\text{齐次理想}}^{(R)})\subset {\mathbb{P}}^{(R)\infty }$$

Zeckendorf射影簇：满足No-11约束的射影代数簇： $$V_{\text{Zeck}}^{(R)}=V^{(R)}\cap \{\text{No-11约束}\}$$

递归除子理论

递归除子： $${\text{Div}}^{(R)}(X)=\underset{\text{素除子}}{⨁}\mathbb{Z}\cdot D$$

相对论度数： $${\mathrm{deg}}^{(R)}(D)=\sum _{\text{分量}}{\eta }^{(R)}(\text{分量})\cdot \text{重数}$$

说明

递归代数几何的革命意义

1. RH问题的代数几何化

递归代数几何为RH提供最强有力的几何工具： $$\text{解析数论问题}\stackrel{\text{代数几何化}}{\to }\text{几何代数问题}$$

几何化优势：

• 可视化：抽象零点分布的几何可视化
• 工具丰富性：代数几何的强大工具库
• 统一视角：算术与几何的统一视角
• 现代方法：现代代数几何的前沿方法

2. 相对论指标的几何本质

代数几何揭示了相对论指标的几何本质：

• 坐标变换：相对论指标作为坐标变换
• 态射调制：scheme态射的几何调制
• 上同调权重：几何上同调的权重结构
• 模空间参数：模空间的相对论参数化

3. 递归理论的Grothendieck化

递归代数几何实现了理论的Grothendieck革命化：

• scheme语言：递归理论的scheme语言表述
• sheaf方法：递归性质的sheaf理论分析
• 上同调工具：递归问题的上同调分析
• 模理论：递归结构的模空间理论

这种递归代数簇与scheme理论为理解ζ函数和RH问题提供了代数几何统一的最强工具，是递归理论与现代代数几何完全融合的重要成就。