12.2 递归sheaf上同调

引言

基于12.1节的递归scheme理论，本节建立递归sheaf和上同调理论。关键问题是：如何在递归代数几何中实现sheaf理论？递归上同调如何为ζ函数的性质提供深层洞察？

定义 12.1.2.1 (递归拓扑与sheaf)

递归Grothendieck拓扑

定义：在递归scheme范畴上定义Grothendieck拓扑：

递归覆盖：态射族$\{U_i^{(R)}\to X^{(R)}\}$称为递归覆盖，当且仅当：

1. 拓扑覆盖：底空间$\bigcup |U_i^{(R)}|=|X^{(R)}|$
2. 层级兼容：覆盖与递归层级结构兼容
3. 相对论调制：覆盖权重由${\eta }^{(R)}(l;m)$调制

站点：$(Sc{h}^{(R)},{\tau }^{(R)})$是递归scheme的站点。

递归sheaf

定义：递归scheme $X^{(R)}$上的sheaf ${\mathcal{F}}^{(R)}$：

预sheaf条件：${\mathcal{F}}^{(R)}:(Open(X^{(R)}){)}^{\text{op}}\to \text{Set}$

sheaf条件：对任意递归覆盖$\{U_i\to U\}$： $${\mathcal{F}}^{(R)}(U)\to \prod _i{\mathcal{F}}^{(R)}(U_i)\rightrightarrows \prod _{i,j}{\mathcal{F}}^{(R)}(U_i\cap U_j)$$

是均衡器。

重要递归sheaf

1. 结构sheaf

$${\mathcal{O}}_X^{(R)}$$：递归正则函数的sheaf

2. 相对论切sheaf

$${\mathcal{T}}_X^{(R)}=\mathcal{H}om({\Omega }_X^{(R)},{\mathcal{O}}_X^{(R)})$$

其中${\Omega }_X^{(R)}$是递归微分形式sheaf。

3. ζ-sheaf

$${\mathcal{Z}}^{(R)}=\text{ζ函数值的sheaf}$$

定义 12.1.2.2 (递归上同调群)

sheaf上同调的递归版本

定义：递归scheme $X^{(R)}$上sheaf ${\mathcal{F}}^{(R)}$的第$i$个上同调群： $$H^i(X^{(R)},{\mathcal{F}}^{(R)})=R^i\Gamma ({\mathcal{F}}^{(R)})$$

其中$\Gamma$是全局截面函子。

递归Čech上同调

Čech复形：对递归覆盖$\mathcal{U}=\{U_i^{(R)}\}$： $$C^p(\mathcal{U},{\mathcal{F}}^{(R)})=\prod _{i_0<\cdots <i_p}{\mathcal{F}}^{(R)}(U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_p})$$

标准Čech复形： $$C^p(\mathcal{U},{\mathcal{F}}^{(R)})=\prod _{i_0<\cdots <i_p}{\mathcal{F}}^{(R)}(U_{i_0}\cap \cdots \cap U_{i_p})$$

标准直积形式，保持同调群计算的数学严格性，兼容原子化标签参考的严格熵增和无限维初始的自包含拷贝。

递归导出函子

右导出函子： $$R^i{\Gamma }^{(R)}:Sh(X^{(R)})\to {\text{Ab}}^{(R)}$$

左导出函子： $$L_i{f}_{\ast }^{(R)}:Sh(X^{(R)})\to Sh(Y^{(R)})$$

定理 12.1.2.1 (递归上同调的基本性质)

递归上同调满足标准上同调公理：

长正合序列

定理：递归短正合序列： $$0\to {\mathcal{F}}^{(R)}\to {\mathcal{G}}^{(R)}\to {\mathcal{H}}^{(R)}\to 0$$

诱导长正合序列： $$\cdots \to H^i(X,{\mathcal{F}}^{(R)})\to H^i(X,{\mathcal{G}}^{(R)})\to H^i(X,{\mathcal{H}}^{(R)})\to H^{i+1}(X,{\mathcal{F}}^{(R)})\to \cdots$$

相对论Künneth公式

$$H^{\ast }(X^{(R)}\times Y^{(R)},{\mathcal{F}}^{(R)}⊠{\mathcal{G}}^{(R)})\cong \underset{i+j=\ast }{⨁}{H}^i(X^{(R)},{\mathcal{F}}^{(R)}){\otimes }_{{\eta }^{(R)}}{H}^j(Y^{(R)},{\mathcal{G}}^{(R)})$$

其中${\otimes }_{{\eta }^{(R)}}$是相对论张量积。

推论 12.1.2.1 (递归上同调的应用)

递归上同调为递归理论分析提供工具：

上同调计算方法

长正合序列方法：利用长正合序列计算递归上同调

谱序列方法：利用递归谱序列计算复杂上同调

几何应用

递归示性类：通过上同调定义递归示性类

递归相交理论：基于上同调的相交数理论

定义 12.1.2.3 (递归导出范畴)

递归导出范畴

定义：递归scheme $X^{(R)}$的导出范畴： $$D^b(X^{(R)})=\text{有界导出范畴}(\text{Coh}(X^{(R)}))$$

相对论导出范畴： $$D_{\eta }^{(R)}(X^{(R)})=\text{相对论权重的导出范畴}$$

递归六函子形式主义

对递归scheme态射$f:X^{(R)}\to Y^{(R)}$：

六函子：

• $f^{\ast },f_{\ast }$：拉回和推前
• $f^{!},f_{!}$：例外拉回和例外推前
• ${\otimes }^{(R)},\mathcal{H}o{m}^{(R)}$：递归张量积和同态

相对论调制：所有函子都由相对论指标调制： $${\tilde{f}}^{\ast }=\sum _{l=0}^N\sum _{m=0}^M{\eta }^{(R)}(l;m)f^{\ast }$$

其中$N,M$动态依赖于递归深度，确保无终止递归的严格有限计算自包含。

说明

递归sheaf上同调的深层价值

1. ζ函数性质的上同调表达

递归上同调为ζ函数提供深层几何解释： $$\text{ζ函数解析性质}\stackrel{\text{上同调}}{\to }\text{几何拓扑性质}$$

解释力量：

• 零点分布：零点的上同调几何解释
• 函数方程：对称性的上同调表现
• 特殊值：特殊值的上同调意义
• L-函数推广：L-函数的上同调统一

2. 相对论指标的sheaf理论意义

相对论指标在sheaf理论中获得新意义：

• 层权重：sheaf截面的相对论权重
• 上同调调制：上同调群的相对论调制
• 导出函子：导出函子的相对论参数化
• 几何态射：几何态射的相对论调制

3. 递归理论的Grothendieck化

递归sheaf理论实现了理论的完全Grothendieck化：

• 抽象非交换化：从交换到非交换的抽象
• 同调代数化：同调方法的系统应用
• 层化方法：问题的层化分解方法
• 导出范畴化：构造的导出范畴表述

这种递归sheaf上同调理论为理解ζ函数和递归结构的深层几何性质提供了代数几何-同调代数统一的最强工具，是递归理论与现代代数几何完全融合的重要标志。