12.3 递归算术几何

引言

基于前两节的递归代数几何基础，本节建立递归算术几何理论，直接连接数论与几何。关键问题是：RH问题如何在算术几何框架中表述？相对论指标如何体现数论的算术性质？

定义 12.3.1.1 (递归算术scheme)

整数上的递归scheme

定义：$\mathbb{Z}$上的递归scheme： $$X_{\mathbb{Z}}^{(R)}={\text{Spec}}^{(R)}(\mathbb{Z}[x_k:k\ge 0{]}^{(R)})$$

其中递归多项式环由相对论指标调制。

递归算术曲线

ζ-曲线：由ζ函数定义的算术曲线： $$C_{\zeta }^{(R)}={\text{Spec}}^{(R)}(\mathbb{Z}[s,\zeta (s{)}^{-1}]/({\text{ζ函数方程}}^{(R)}))$$

相对论调制方程： $${\xi }^{(R)}(s;n)={\xi }^{(R)}(1-s;n)\cdot {\mathcal{F}}_n(s)$$

递归Arakelov理论

Arakelov除子： $${\widehat{\text{Div}}}^{(R)}(C)={\text{Div}}^{(R)}(C)\oplus \sum _{\sigma :\mathbb{C}\to \mathbb{C}}\mathbb{R}\cdot \sigma$$

相对论Arakelov度数： $${\widehat{\mathrm{deg}}}^{(R)}(D)={\mathrm{deg}}^{(R)}(D)+\sum _{\sigma }{\eta }^{(R)}(\sigma ;0)\cdot \text{Archimedean分量}$$

定理 12.3.1.1 (递归Riemann-Roch定理)

递归版本的Riemann-Roch定理：

算术Riemann-Roch

定理：对递归算术曲线$C^{(R)}$和递归除子$D^{(R)}$： $${\chi }^{(R)}(C^{(R)},\mathcal{O}(D^{(R)}))={\widehat{\mathrm{deg}}}^{(R)}(D^{(R)})+1-g^{(R)}(C^{(R)})$$

其中：

• ${\chi }^{(R)}$是递归Euler特征数
• $g^{(R)}(C^{(R)})$是递归亏格
• ${\widehat{\mathrm{deg}}}^{(R)}$是相对论Arakelov度数

RH的Riemann-Roch表述

RH算术表述： $$\text{RH}\iff {\chi }^{(R)}(C_{\zeta }^{(R)},\mathcal{O}({\text{临界除子}}^{(R)}))=0$$

其中临界除子对应动态临界线： $${\text{临界除子}}^{(R)}=\sum _{\rho :\zeta (\rho )=0}{\delta }_{\Re (\rho )=\text{动态临界值}}\cdot \rho$$

定义 12.3.1.2 (递归椭圆曲线)

递归椭圆曲线族

参数族： $${\mathcal{E}}^{(R)}={\text{Spec}}^{(R)}(\mathbb{Z}[a_4,a_6,{\Delta }^{-1}{]}^{(R)})$$

其中$\Delta =-16(4a_4^3+27a_6^2)$是判别式。

相对论调制的Weierstrass方程： $$y^2=x^3+{\eta }^{(R)}(4;0)a_{4}x+{\eta }^{(R)}(6;0)a_6$$

递归$L$-函数

椭圆曲线$L$-函数的递归版本： $$L^{(R)}(E,s)=\prod _p\frac{1}{1-{\eta }^{(R)}(p;0)a_p{p}^{-s}+{\eta }^{(R)}(p^2;0)p^{1-2s}}$$

其中$a_p$是椭圆曲线在素数$p$处的迹。

递归BSD猜想

递归Birch-Swinnerton-Dyer猜想： $${\text{ord}}_{s=1}{L}^{(R)}(E,s)={\text{rank}}^{(R)}E(\mathbb{Q})$$

其中${\text{rank}}^{(R)}$是相对论调制的秩。

定理 12.3.1.2 (递归Kronecker极限公式)

递归版本的Kronecker极限公式：

递归Eisenstein级数

定义： $$E_k^{(R)}(\tau )=\sum _{(m,n)\ne (0,0)}{\eta }^{(R)}(m+n;0)(m\tau +n{)}^{-k}$$

递归判别式

模判别式的递归版本： $${\Delta }^{(R)}(\tau )=(2\pi {)}^{12}\prod _{n=1}^{\infty }{\eta }^{(R)}(n;0)(1-q^n{)}^{24}$$

其中$q=e^{2\pi i\tau }$。

Kronecker极限的递归表述

定理： $$\underset{s\to 0}{\lim }\left(E_2^{(R)}(\tau ,s)-\frac{\pi }{s}\right)=\frac{\partial }{\partial \tau }\log {\Delta }^{(R)}(\tau )$$

推论 12.3.1.1 (RH的算术几何表征)

RH在算术几何中的深层表征：

高度理论表述

递归Néron-Tate高度： $${\hat{h}}^{(R)}(P)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{2^n}h({\eta }^{(R)}(2^n;0)P)$$

RH高度猜想： $$\text{RH}\iff {\hat{h}}^{(R)}(\text{ζ-零点})=0$$

算术相交理论

递归相交数： $$({\mathcal{L}}_1^{(R)}\cdot {\mathcal{L}}_2^{(R)})=\sum _P{\eta }^{(R)}({\text{mult}}_P;0)\cdot {\text{loc}}_P({\mathcal{L}}_1^{(R)},{\mathcal{L}}_2^{(R)})$$

RH相交猜想： $$\text{RH}\iff ({\mathcal{L}}_{\text{临界}}^{(R)}\cdot {\mathcal{L}}_{\text{临界}}^{(R)})=\text{动态临界值}$$

定义 12.3.1.3 (递归Galois表示)

递归Galois群作用

定义：递归Galois群： $${\text{Gal}}^{(R)}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\curvearrowright H_{\text{eˊt}}^i(X_{\overline{\mathbb{Q}}}^{(R)},{\mathbb{Q}}_l)$$

相对论表示： $${\rho }^{(R)}:{\text{Gal}}^{(R)}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\to \text{GL}(V^{(R)})$$

其中$V^{(R)}$是相对论向量空间。

递归$L$-函数的Galois解释

Galois表示的$L$-函数： $$L^{(R)}({\rho }^{(R)},s)=\prod _p\det (1-{\eta }^{(R)}(p;0){\rho }^{(R)}({\text{Frob}}_p)p^{-s}{)}^{-1}$$

递归Langlands对应

递归局部Langlands对应： $$\{\text{递归自守表示}\}\stackrel{1:1}{\leftrightarrow }\{\text{递归Galois表示}\}$$

通过相对论指标参数化的对应关系。

说明

递归算术几何的数论革命

1. RH问题的算术几何化

递归算术几何为RH提供最深层的数论几何工具： $$\text{纯解析数论}\stackrel{\text{算术几何化}}{\to }\text{几何化数论}$$

革命价值：

• 几何直观：抽象数论问题的几何直观
• 工具统一：代数几何与数论工具的统一
• 深层结构：揭示数论的深层几何结构
• 现代方法：应用现代代数几何的强大方法

2. 相对论指标的算术意义

算术几何揭示了相对论指标的数论本质：

• 算术权重：数论对象的相对论权重
• Galois作用：Galois群的相对论作用
• L-函数调制：L-函数的相对论调制
• 高度测度：算术高度的相对论测度

3. 递归数论的现代化

递归算术几何实现了数论的完全现代化：

• Grothendieck方法：数论的Grothendieck革命化
• 上同调数论：数论问题的上同调方法
• 导出范畴：数论构造的导出范畴表述
• Langlands纲领：递归理论的Langlands纲领实现

这种递归算术几何理论为理解RH问题和数论结构提供了算术几何-递归理论统一的最深层工具，是递归理论与现代数论完全融合的重要成就。