12.4 递归模空间理论

引言

基于前三节的递归代数几何理论，本节建立递归模空间理论，为递归结构的参数化和分类提供最高层次的几何框架。关键问题是：递归结构如何通过模空间参数化？相对论指标如何在模理论中体现？

定义 12.4.1.1 (递归模函子)

递归模问题

定义：递归结构的模问题： $${\mathcal{M}}^{(R)}:Sc{h}^{(R)}\to Set$$ $${\mathcal{M}}^{(R)}(S)=\{\text{S上的递归结构族}/\text{同构}\}$$

重要递归模函子

1. 递归Hilbert空间模函子

$${\mathcal{M}}_{\text{Hilb}}^{(R)}(S)=\{\text{S上的递归Hilbert空间族}\}$$

参数化所有递归Hilbert空间结构。

2. 相对论指标模函子

$${\mathcal{M}}_{\eta }^{(R)}(S)=\{{\eta }^{(R)}(l;m):\text{S上的相对论指标族}\}$$

参数化所有相对论指标结构。

3. Zeckendorf结构模函子（基于第8章）

$${\mathcal{M}}_{\text{Zeck}}^{(R)}(S)=\{\text{S上满足No-11约束的结构族}\}$$

4. ζ函数模函子

$${\mathcal{M}}_{\zeta }^{(R)}(S)=\{\text{S上的ζ函数族}\}$$

定理 12.4.1.1 (递归模空间的存在性)

主要递归模空间的存在性：

递归Hilbert scheme

存在性定理：递归Hilbert scheme ${\text{Hilb}}^{(R)}$存在且光滑。

构造： $${\text{Hilb}}^{(R)}=\bigcup _{n=0}^{\infty }{\text{Hilb}}_n^{(R)}$$

其中${\text{Hilb}}_n^{(R)}$参数化${\mathcal{H}}_n^{(R)}$中的子scheme。

相对论指标模空间

存在性：相对论指标模空间${\mathcal{M}}_{\eta }^{(R)}$存在。

分层结构： $${\mathcal{M}}_{\eta }^{(R)}=\coprod _{(l,m)}{\mathcal{M}}_{\eta }^{(R)}(l;m)$$

几何性质：

• 维度：$\dim {\mathcal{M}}_{\eta }^{(R)}(l;m)=l+m+1$
• 光滑性：在通用点处光滑
• 紧致化：存在好的紧致化

定义 12.4.1.2 (递归族的平坦性)

递归平坦族

定义：递归scheme态射$f:X^{(R)}\to S^{(R)}$称为递归平坦，当且仅当：

1. 局部平坦性：每点处局部平坦
2. 递归兼容性：平坦性与递归结构兼容
3. 相对论调制：平坦性由相对论指标调制

递归形变理论

无穷小形变： $${\text{Def}}^{(R)}(X)=\{\text{X的递归无穷小形变}\}$$

形变函子： $${\text{Def}}^{(R)}:{\text{Art}}^{(R)}\to Set$$

其中${\text{Art}}^{(R)}$是递归Artin环范畴。

递归阻碍理论

阻碍类：${\text{ob}}^{(R)}\in H^2(X,T_X^{(R)})$

阻碍消失条件： $${\text{ob}}^{(R)}=0\iff \text{形变可延拓}$$

定理 12.4.1.2 (递归模空间的几何性质)

递归模空间的几何分析：

奇点结构

奇点类型：

1. 相对论奇点：由相对论指标退化导致
2. Zeckendorf奇点：由No-11约束边界导致
3. ζ-奇点：由ζ函数特殊值导致

奇点分辨：通过爆破(blowup)分辨递归奇点。

紧致化理论

Deligne-Mumford紧致化的递归版本： $${\overline{\mathcal{M}}}^{(R)}={\mathcal{M}}^{(R)}\cup \{\text{退化递归结构}\}$$

边界分析：

• 无穷远点：${\eta }^{(R)}\to \infty$的退化
• 零点：${\eta }^{(R)}\to 0$的退化
• 约束边界：No-11约束的边界情况

推论 12.4.1.1 (RH的模理论表述)

RH问题的模空间表述：

RH模空间

定义：RH相关结构的模空间： $${\mathcal{M}}_{\text{RH}}^{(R)}=\{\text{满足RH条件的ζ函数族}\}$$

纤维结构： $${\mathcal{M}}_{\text{RH}}^{(R)}\to {\text{Spec}}^{(R)}(\mathbb{C})$$

每个纤维对应一个ζ函数族。

临界模空间

临界线模空间： $${\mathcal{M}}_{\text{crit}}^{(R)}=\{\text{零点在动态临界线上的ζ函数族}\}$$

RH几何猜想： $$\text{RH}\iff {\mathcal{M}}_{\text{crit}}^{(R)}={\mathcal{M}}_{\zeta }^{(R)}$$

即所有ζ函数的零点都在临界线上。

定义 12.4.1.3 (递归稳定性与GIT)

递归几何不变论(GIT)

递归群作用：群$G^{(R)}$在递归scheme $X^{(R)}$上的作用。

递归稳定点： $$X^{(R)\text{stable}}=\{x\in X^{(R)}:G^{(R)}\cdot x\text{ 闭轨道且稳定子有限}\}$$

递归商： $$X^{(R)}/G^{(R)}={\text{Spec}}^{(R)}(\mathbb{C}[X^{(R)}{]}^{G^{(R)}})$$

相对论稳定性

相对论稳定性条件： 点$x$相对论稳定当且仅当： $$\sum _{g\in G^{(R)}}|{\eta }^{(R)}(g\cdot x;x)|<\infty$$

递归数值判据

数值判据的递归版本： 线束${\mathcal{L}}^{(R)}$关于有限群$G_N^{(R)}$作用的递归数值判据： $${\mu }^{(R)}(x,{\mathcal{L}}^{(R)})=\sum _{g\in G_N^{(R)}}{\eta }^{(R)}(g;0)\cdot \mu (g\cdot x,\mathcal{L})$$

其中$G_N^{(R)}$是有限群截断，兼容无终止递归的严格有限计算自包含。

定理 12.4.1.3 (递归模空间的万有性质)

递归模空间的万有性质：

万有族

定理：递归模空间${\mathcal{M}}^{(R)}$上存在万有族： $$\pi :{\mathcal{X}}^{(R)}\to {\mathcal{M}}^{(R)}$$

满足：对任意族$f:Y^{(R)}\to S^{(R)}$，存在唯一态射$\varphi :S^{(R)}\to {\mathcal{M}}^{(R)}$使得： $$Y^{(R)}\cong S^{(R)}{\times }_{{\mathcal{M}}^{(R)}}{\mathcal{X}}^{(R)}$$

相对论万有性质

相对论调制的万有性： 万有族的相对论调制： $$\tilde{\pi }:\sum _{(l,m)}{\eta }^{(R)}(l;m){\mathcal{X}}_{l,m}^{(R)}\to {\mathcal{M}}^{(R)}$$

说明

递归模空间理论的统一价值

1. 递归结构的最高抽象

模空间理论为递归结构提供最高层次的抽象： $$\text{具体递归结构}\stackrel{\text{模空间}}{\to }\text{结构的几何}$$

抽象价值：

• 参数化统一：所有递归结构的统一参数化
• 分类完整：递归结构的完整几何分类
• 万有性质：构造的万有性质和最优性
• 几何化抽象：抽象结构的几何化实现

2. RH问题的模理论视角

模空间为RH提供全新的几何视角：

• ζ函数模空间：ζ函数族的几何参数化
• 零点模空间：零点分布的几何分类
• 临界线几何：临界线的模空间几何
• RH几何判据：基于模空间几何的RH判据

3. 相对论指标的模理论统一

模理论统一了相对论指标的所有作用：

• 参数模空间：相对论指标的模空间表示
• 调制几何：调制作用的几何实现
• 分类理论：相对论调制的几何分类
• 万有参数化：相对论参数化的万有性质

这种递归模空间理论为理解递归结构的几何本质和参数化统一提供了模理论-代数几何统一的最高抽象工具，是递归理论抽象化和几何化的顶峰成就。