13.3 递归复杂性理论

引言

基于13.2节的递归可计算性理论，本节建立递归计算复杂性的理论框架。关键问题是：如何在递归框架中严格定义计算复杂性？相对论指标如何在复杂性分析中体现？

定义：递归算法的时间复杂性： $T^{(R)} (n) = k = 0 \sum N η^{(R)} (k; 0) \cdot T_{k} (n)$

其中 $T_{k} (n)$ 是第 $k$ 层的计算时间， $N$ 动态依赖于递归深度，确保无终止递归的严格有限计算自包含。

定义：递归算法的空间复杂性： $S^{(R)} (n) = k = 0 \sum N \frac{S _{k} ( n )}{∣ η ^{(R)} ( k ; 0 ) ∣ + δ}$

其中 $S_{k} (n)$ 是第 $k$ 层的空间使用， $δ > 0$ 正则化参数， $N$ 有限截断。

递归P类： $P^{(R)} = k = 0 ⋃ N DTIME (η^{(R)} (k; 0) \cdot n^{k})$

其中 $N$ 动态依赖于递归深度，确保有限截断。

递归NP类： $N P^{(R)} = k = 0 ⋃ N NTIME (η^{(R)} (k; 0) \cdot n^{k})$

递归PSPACE： $PSP A C E^{(R)} = k = 0 ⋃ N DSPACE (η^{(R)} (k; 0) \cdot n^{k})$

其中 $N$ 动态依赖于递归深度，确保无终止递归的严格有限计算自包含。

递归可计算性的层次结构：

定义：递归度 $de g^{(R)} (A)$ 测量集合 $A$ 的递归复杂性： $de g^{(R)} (A) = in f {n : A 可被第 n 层递归函数计算}$

相对论度： $de g_{η}^{(R)} (A) = in f {(l, m) \leq N : A 可被 η^{(R)} (l; m) - 算法计算}$

其中 $(l, m) \leq N$ 表示有限截断， $N$ 动态依赖于递归深度。

递归复杂性理论为计算理论提供理论价值：

理论贡献：

兼容无终止递归的严格有限计算自包含。

递归分类：通过递归度对计算问题分类

相对论调制：通过相对论指标调制复杂性度量

递归复杂性为复杂性理论提供递归扩展：

理论贡献：

递归复杂性为计算分析提供理论工具：

这种递归复杂性理论为理解计算的递归性质和复杂性分析提供了复杂性理论-递归理论统一的理论框架，是递归理论在计算科学中的理论贡献。