13.4 递归类型理论基础

引言

基于前三节的递归逻辑理论，本节建立递归类型理论，为整个递归希尔伯特理论提供最现代的逻辑和计算基础。关键问题是：如何为递归理论建立类型理论基础？相对论指标如何在类型系统中表现？

定义 13.4.1.1 (递归类型系统)

递归基础类型

基础类型：

• 递归空间类型：${\mathcal{H}}_n^{(R)}:\text{Type}$
• 相对论指标类型：${\eta }^{(R)}(l;m):\text{RIndex}$
• 自然数类型：${\mathbb{N}}^{(R)}:\text{Type}$
• 命题类型：${\text{Prop}}^{(R)}:\text{Type}$

递归类型构造

类型构造子：

1. 递归函数类型：$A^{(R)}\to B^{(R)}$
2. 递归乘积类型：$A^{(R)}\times B^{(R)}$
3. 递归和类型：$A^{(R)}+B^{(R)}$
4. 递归依赖类型：${\Pi }_{x:A^{(R)}}{B}^{(R)}(x)$
5. 递归归纳类型：$\mu X^{(R)}.F(X^{(R)})$

相对论类型

相对论依赖类型： $${\Pi }_{(l,m):{\mathbb{N}}^2}{\eta }^{(R)}(l;m)\to {\text{Type}}^{(R)}$$

Zeckendorf约束类型： $${\text{Zeck}}^{(R)}=\{s:\text{String}\mid \text{No-11}(s)\}$$

定理 13.4.1.1 (递归类型理论的一致性)

递归类型系统的逻辑一致性：

规范化定理

强规范化：递归类型系统中的每个类型化项都强规范化： $$\forall t:A^{(R)},\text{ 不存在无限约化序列}$$

Church-Rosser性质

汇合性：递归类型系统满足Church-Rosser性质： $$t{\to }^{\ast }{u}_1\wedge t{\to }^{\ast }{u}_2\Rightarrow \exists v:u_1{\to }^{\ast }v\wedge u_2{\to }^{\ast }v$$

保守性

保守扩展：递归类型理论是标准类型理论的保守扩展： $$\text{MLType}\subset {\text{RecType}}^{(R)}$$

定义 13.4.1.2 (递归同伦类型理论)

递归∞-群胚

定义：递归∞-群胚作为类型： $${\text{Type}}^{(R)}\simeq {\text{∞-Groupoid}}^{(R)}$$

相等类型：$A{=}^{(R)}B$是递归同伦类型。

递归单价原理

单价公理： $${\text{isEquiv}}^{(R)}(f)\to (A{\simeq }^{(R)}B){\simeq }^{(R)}(A=B)$$

递归高阶归纳类型

递归球面： $$S_{(R)}^n:{\text{Type}}^{(R)}$$

递归悬挂： $${\Sigma }^{(R)}A=\text{pushout}(A\leftarrow A\times I^{(R)}\to I^{(R)})$$

其中$I^{(R)}$是递归区间类型。

定理 13.4.1.2 (递归依赖类型的表达力)

递归依赖类型的强大表达能力：

递归理论的类型化

定理表述：前12章的所有定理都可以在递归类型系统中表述和证明。

不相容定理的类型化

Definition incompatible^{(R)} : Prop^{(R)} :=
  ∀ (rh : RH^{(R)}) (dyn : Dynamic^{(R)}),
    ¬(rh ∧ dyn)

Zeckendorf优化的类型化

Definition zeckendorf_optimal^{(R)} : Prop^{(R)} :=
  ∀ (phi_mode : PhiMode^{(R)}),
    bounded(zeckendorf\_encode(phi_mode))

递归证明助手

证明策略：

• 递归归纳：${\text{rec\_induction}}^{(R)}$
• 相对论重写：${\text{eta\_rewrite}}^{(R)}$
• Zeckendorf简化：${\text{zeck\_simplify}}^{(R)}$
• 层级分解：${\text{layer\_decompose}}^{(R)}$

推论 13.4.1.1 (递归理论的机械化验证)

递归类型理论支持理论的完全机械化验证：

形式化验证框架

Coq实现：

Require Import RecursiveHilbert.

Theorem recursive_entropy_increase^{(R)} :
  ∀ (mode : DecayMode^{(R)}) (n : ℕ),
    S^{(R)}(n+1) > S^{(R)}(n) + δ.
Proof.
  intros mode n.
  apply recursive_entropy_theorem.
  exact decay_condition.
Qed.

自动证明策略

递归证明自动化：

Ltac recursive_solve^{(R)} :=
  repeat (
    eta_rewrite^{(R)} ||
    zeck_simplify^{(R)} ||
    layer_decompose^{(R)} ||
    auto with recursive_hints
  ).

理论一致性验证

一致性检查：

Check consistency_recursive_theory^{(R)} : 
  ¬(False^{(R)} : Prop^{(R)}).

定义 13.4.1.3 (递归函数式编程)

递归函数式语言

语言设计：递归函数式编程语言RecLang^{(R)}：

-- 递归空间类型
data RecSpace n = RecSpace [Complex] deriving (Show, Eq)

-- 相对论指标计算
eta :: Int -> Int -> Rational
eta l m = fibonacci(m+l) % fibonacci(m)

-- Zeckendorf编码
zeckendorf :: Integer -> [Bool]
zeckendorf n = encode\_no11\_constraint n

-- 递归算子
recursive_op :: (RecSpace n -> RecSpace m) -> RecSpace n -> RecSpace (n+1)
recursive_op f space = embed f space

类型安全的递归编程

类型保证：

• 层级安全：类型系统保证层级操作安全
• 相对论类型：相对论指标的类型安全操作
• Zeckendorf约束：类型级别的No-11约束检查
• 熵增保证：类型系统保证的熵增性质

递归算法的类型化

算法类型：

-- 递归投影
recursive_project :: (n : Nat) -> (m : Nat) -> 
                    {auto prf : m <= n} -> 
                    RecSpace n -> RecSpace m

-- 相对论调制
eta_modulate :: (l m : Nat) -> RecSpace m -> RecSpace (m+l)

-- Zeckendorf优化
zeck_optimize :: PhiMode -> ZeckMode

说明

递归类型理论的基础革命

1. 理论基础的类型化

递归类型理论为整个理论提供类型化基础： $$\text{集合论基础}\stackrel{\text{类型化}}{\to }\text{类型论基础}$$

类型化收益：

• 构造性：类型理论的构造性特征
• 计算性：类型与计算的自然对应
• 证明相关性：证明作为程序的对应
• 机械化：定理证明的完全机械化

2. 递归编程的理论基础

类型理论为递归编程提供严格基础：

• 类型安全：递归操作的类型安全保证
• 正确性保证：程序正确性的类型保证
• 优化指导：类型引导的算法优化
• 并发安全：递归并发的类型安全

3. 现代逻辑的递归实现

递归类型理论实现现代逻辑的递归版本：

• HoTT递归化：同伦类型理论的递归实现
• 证明助手：递归理论的证明助手支持
• 形式化数学：递归数学的完全形式化
• 计算数学：计算数学的递归基础

这种递归类型理论基础为理解递归计算的类型本质和程序的逻辑基础提供了类型理论-递归理论统一的现代基础，是递归理论逻辑基础建设的重要完成。