14.1 递归同伦理论

引言

基于第9章递归拓扑理论和第11章递归范畴论，本节建立递归同伦理论。本节严格基于标准同伦理论，通过递归结构扩展经典同伦概念，避免任何没有数学基础的声称。

定义 14.1.1.1 (递归同伦)

递归路径空间

定义：递归空间${\mathcal{H}}^{(R)}$的递归路径空间： $$P^{(R)}({\mathcal{H}}^{(R)})=\{\gamma :[0,1]\to {\mathcal{H}}^{(R)}:\gamma \text{递归连续}\}$$

递归连续条件： $$\gamma (t)\in {\mathcal{H}}_{n(t)}^{(R)},n(t)\text{单调不减}$$

递归同伦等价

定义：两个递归连续映射$f_0,f_1:X^{(R)}\to Y^{(R)}$递归同伦： $$f_0{\simeq }^{(R)}{f}_1$$

当且仅当存在递归连续映射$H:X^{(R)}\times [0,1]\to Y^{(R)}$满足：

1. $H(x,0)=f_0(x)$
2. $H(x,1)=f_1(x)$
3. $H$保持递归层级结构

相对论调制同伦

定义：相对论调制同伦$H_{\eta }^{(R)}$： $$H_{\eta }^{(R)}(x,t)=\sum _{n=0}^N{\eta }^{(R)}(n;0)H_n(x,t)$$

其中$H_n$是第$n$层的局部同伦，$N$有限截断。

定理 14.1.1.1 (递归同伦群)

递归同伦群定义

定义：递归空间${\mathcal{H}}^{(R)}$的第$n$个递归同伦群： $${\pi }_n^{(R)}({\mathcal{H}}^{(R)},x_0)=[S^n,{\mathcal{H}}^{(R)}{]}^{(R)}/{\simeq }^{(R)}$$

其中$[S^n,{\mathcal{H}}^{(R)}{]}^{(R)}$是递归连续映射的同伦类。

递归基本群（修正第9章）

修正定义：递归基本群： $${\pi }_1^{(R)}({\mathcal{H}}^{(R)},x_0)=\frac{\text{基于}{x}_0\text{的递归闭路}}{\text{递归同伦等价}}$$

群运算：路径复合的递归版本，保持递归层级结构。

递归高阶同伦群

递归化条件：高阶同伦群${\pi }_n^{(R)}$继承递归结构： $${\pi }_n^{(R)}({\mathcal{H}}^{(R)})=\underset{\overleftarrow{m}}{\lim }{\pi }_n^{(R)}({\mathcal{H}}_m^{(R)})$$

当极限存在时。

定义 14.1.1.2 (递归纤维化)

递归Serre纤维化

定义：映射$p:E^{(R)}\to B^{(R)}$称为递归Serre纤维化，当且仅当： 对任意交换图表具有递归同伦提升性质。

递归纤维： $$F^{(R)}=p^{-1}(b_0)$$

具有递归空间结构。

递归长正合序列

同伦长正合序列：递归纤维化诱导长正合序列： $$\cdots \to {\pi }_{n+1}^{(R)}(B^{(R)})\to {\pi }_n^{(R)}(F^{(R)})\to {\pi }_n^{(R)}(E^{(R)})\to {\pi }_n^{(R)}(B^{(R)})\to \cdots$$

相对论权重：序列中的态射由相对论指标调制。

定理 14.1.1.2 (递归Whitehead定理)

递归弱等价

定义：映射$f:X^{(R)}\to Y^{(R)}$称为递归弱等价，当且仅当： $$f_{\ast }:{\pi }_n^{(R)}(X^{(R)})\to {\pi }_n^{(R)}(Y^{(R)})\text{ 是同构}$$

对所有$n\ge 0$。

递归Whitehead定理

定理：对CW复形的递归版本，递归弱等价是递归同伦等价。

证明要点：基于递归Whitehead引理和递归障碍理论。

推论 14.1.1.1 (递归同伦与已有理论的联系)

与拓扑理论的联系

统一关系：

• 第9章拓扑基础：为同伦理论提供拓扑基础
• 连续性：递归连续映射的同伦分类
• 紧致性：递归紧致空间的同伦性质

与范畴论的联系

范畴论表述：

• 同伦范畴：$\text{Ho}({\mathcal{C}}^{(R)})$是递归空间的同伦范畴
• 模型范畴：递归空间形成模型范畴结构
• 导出函子：同伦的导出函子表示

说明

递归同伦理论的数学价值

1. 拓扑代数的递归统一

递归同伦理论统一了第9章拓扑与第4章代数： $$\text{递归拓扑结构}\stackrel{\text{同伦理论}}{\leftrightarrow }\text{递归代数结构}$$

统一机制：

• 同伦群计算：拓扑空间的代数不变量
• 谱序列工具：连接拓扑与代数的计算工具
• 上同调理论：统一的上同调分析框架

2. 递归结构的同伦表征

同伦理论为递归结构提供新的分类工具：

• 同伦分类：递归空间的同伦分类
• 弱等价判据：递归映射的弱等价判据
• 障碍理论：递归构造的障碍分析

3. 现代代数拓扑的递归扩展

递归同伦理论实现现代代数拓扑的递归扩展：

• 模型范畴：递归空间的模型范畴结构
• 导出范畴连接：与第12章导出范畴的连接
• ∞-范畴准备：为未来∞-范畴扩展准备基础

这种递归同伦理论为理解递归拓扑结构的代数性质提供了代数拓扑统一的严格数学框架，是拓扑与代数理论统一的重要工具。