14.2 递归K理论与上同调

引言

基于14.1节的递归同伦理论，本节建立递归K理论和上同调理论。本节严格基于标准K理论和上同调理论，通过递归结构扩展经典概念，避免任何没有数学基础的声称。

定义 14.2.1.1 (递归向量丛)

递归向量丛结构

定义：递归空间${\mathcal{H}}^{(R)}$上的递归向量丛$E^{(R)}\to {\mathcal{H}}^{(R)}$： $$E^{(R)}=\bigcup _{n=0}^N{E}_n^{(R)}$$

其中$E_n^{(R)}\to {\mathcal{H}}_n^{(R)}$是第$n$层的向量丛，$N$有限截断。

转移函数：层间转移函数$g_{nm}:U_{nm}\to GL(k)$满足递归兼容条件： $$g_{n,m+1}={\eta }^{(R)}(1;m)\cdot g_{nm}$$

递归Chern类

定义：递归向量丛的Chern类$c_i^{(R)}(E^{(R)})\in H^{2i}({\mathcal{H}}^{(R)};\mathbb{Z})$： $$c_i^{(R)}(E^{(R)})=\sum _{n=0}^N{\eta }^{(R)}(i;n)c_i(E_n^{(R)})$$

其中$c_i(E_n^{(R)})$是第$n$层的标准Chern类，$N$动态依赖于递归深度。

定理 14.2.1.1 (递归K理论)

递归K_0群

定义：递归空间${\mathcal{H}}^{(R)}$的递归K_0群： $$K_0^{(R)}({\mathcal{H}}^{(R)})=\frac{\text{递归向量丛的Grothendieck群}}{\text{短正合序列的关系}}$$

生成元：由有限秩递归向量丛$[E^{(R)}]$生成，满足： $$[E_1^{(R)}]-[E_2^{(R)}]+[E_3^{(R)}]=0$$

对任意递归短正合序列$0\to E_1^{(R)}\to E_2^{(R)}\to E_3^{(R)}\to 0$。

递归K_1群

定义：递归K_1群通过递归向量丛的自同构群定义： $$K_1^{(R)}({\mathcal{H}}^{(R)})=\frac{GL({\mathcal{H}}^{(R)}{)}^{(R)}}{\text{递归连通分量}}$$

相对论调制：群运算由相对论指标调制： $$[g_1]{\cdot }^{(R)}[g_2]=[{\eta }^{(R)}(1;0)\cdot g_1\circ g_2]$$

定义 14.2.1.2 (递归上同调理论)

递归层上同调

定义：递归空间${\mathcal{H}}^{(R)}$的递归层上同调$H^i({\mathcal{H}}^{(R)};\mathbb{Z})$： $$H^i({\mathcal{H}}^{(R)};\mathbb{Z})=\underset{n\to N}{\lim }{H}^i({\mathcal{H}}_n^{(R)};\mathbb{Z})$$

其中极限存在时取极限，$N$动态依赖于递归深度。

递归de Rham上同调

定义：递归光滑流形的de Rham上同调： $$H_{dR}^i({\mathcal{M}}^{(R)})=\frac{\text{递归闭形式}}{\text{递归恰当形式}}$$

递归微分形式：${\omega }^{(R)}={\sum }_{n=0}^N{\eta }^{(R)}(i;n){\omega }_n$，其中${\omega }_n$是第$n$层的标准微分形式。

递归Čech上同调

定义：递归开覆盖${\mathcal{U}}^{(R)}=\{U_{\alpha }^{(R)}\}$的Čech上同调： $${\check{H}}^i({\mathcal{U}}^{(R)};{\mathcal{F}}^{(R)})=H^i(C^{\bullet }({\mathcal{U}}^{(R)},{\mathcal{F}}^{(R)}))$$

其中$C^p({\mathcal{U}}^{(R)},{\mathcal{F}}^{(R)})$是递归p-cochain群。

定理 14.2.1.2 (递归Atiyah-Singer指标定理)

递归椭圆算子

定义：递归椭圆微分算子$D^{(R)}:\Gamma (E^{(R)})\to \Gamma (F^{(R)})$满足：

1. 符号椭圆性：符号$\sigma (D^{(R)})$在每层椭圆
2. 递归兼容性：算子与递归结构兼容

递归解析指标

解析指标： $${\text{ind}}_{an}^{(R)}(D^{(R)})=\dim \ker (D^{(R)})-\dim \ker ((D^{(R)}{)}^{\ast })$$

递归拓扑指标

拓扑指标：通过递归Chern特征类计算： $${\text{ind}}_{top}^{(R)}(D^{(R)})=\sum _{n=0}^N{\eta }^{(R)}(d;n){\int }_{{\mathcal{M}}_n^{(R)}}\text{ch}(E_n^{(R)}-F_n^{(R)})\wedge \text{Td}({\mathcal{M}}_n^{(R)})$$

其中$d=\dim {\mathcal{M}}^{(R)}$，$N$有限截断。

递归指标定理

定理：对递归紧致流形上的递归椭圆算子： $${\text{ind}}_{an}^{(R)}(D^{(R)})={\text{ind}}_{top}^{(R)}(D^{(R)})$$

定义 14.2.1.3 (递归谱理论)

递归谱序列

定义：双复形$(E_{pq}^r,d_r)$的递归版本： $$E_{pq}^{r,(R)}=\frac{\ker (d_r:E_{pq}^r\to E_{p+r,q-r+1}^r)}{\text{im}(d_r:E_{p-r,q+r-1}^r\to E_{pq}^r)}$$

相对论调制：谱序列项由相对论指标调制： $$E_{pq}^{r,(R)}=\sum _{n=0}^N{\eta }^{(R)}(r;n)E_{pq}^{r,n}$$

递归Leray-Serre谱序列

定义：递归纤维化$F^{(R)}\to E^{(R)}\to B^{(R)}$的谱序列： $$E_2^{pq,(R)}=H^p(B^{(R)};H^q(F^{(R)}))\Rightarrow H^{p+q}(E^{(R)})$$

收敛性：在有限截断$N$下保证谱序列收敛。

推论 14.2.1.1 (递归上同调的拓扑不变性)

递归上同调不变量

同伦不变性：递归上同调是递归同伦不变量： $$f^{(R)}{\simeq }^{(R)}{g}^{(R)}\Rightarrow f_{(R)}^{\ast }=g_{(R)}^{\ast }$$

递归Künneth公式

递归乘积公式： $$H^{\bullet }({\mathcal{H}}_1^{(R)}\times {\mathcal{H}}_2^{(R)})\cong \underset{i+j=\bullet }{⨁}{H}^i({\mathcal{H}}_1^{(R)})\otimes H^j({\mathcal{H}}_2^{(R)})$$

相对论修正：tensor积由相对论指标调制。

定义 14.2.1.4 (递归特征类理论)

递归Stiefel-Whitney类

定义：递归实向量丛的Stiefel-Whitney类$w_i^{(R)}(E^{(R)})\in H^i({\mathcal{H}}^{(R)};\mathbb{Z}/2)$： $$w^{(R)}(E^{(R)})=1+w_1^{(R)}+w_2^{(R)}+\cdots$$

递归Pontryagin类

定义：递归定向向量丛的Pontryagin类$p_i^{(R)}(E^{(R)})\in H^{4i}({\mathcal{H}}^{(R)};\mathbb{Q})$： $$p_i^{(R)}(E^{(R)})=(-1{)}^i{c}_{2i}^{(R)}(E^{(R)}\otimes \mathbb{C})$$

递归Euler类

定义：递归定向向量丛的Euler类$e^{(R)}(E^{(R)})\in H^{\text{rk}(E^{(R)})}({\mathcal{H}}^{(R)};\mathbb{Z})$通过零截面的上同调类定义。

定理 14.2.1.3 (递归Riemann-Roch定理)

递归代数几何背景

考虑递归代数簇$X^{(R)}$（来自第12章），其上的递归向量丛$E^{(R)}$。

递归Hirzebruch-Riemann-Roch

定理：对递归光滑射影簇$X^{(R)}$上的递归向量丛$E^{(R)}$： $${\text{ch}}^{(R)}(E^{(R)})\cap {\text{Td}}^{(R)}(X^{(R)})=\sum _{i=0}^{\dim X^{(R)}}{\eta }^{(R)}(i;0)\cdot h^i(X^{(R)},E^{(R)})$$

其中${\text{ch}}^{(R)}$是递归Chern特征，${\text{Td}}^{(R)}$是递归Todd类，$h^i$是递归上同调维数。

推论 14.2.1.2 (递归K理论与第12章的连接)

代数K理论连接

统一关系：

• 第12章代数几何：提供递归代数簇的几何基础
• K理论：代数几何的K理论不变量
• 上同调桥梁：通过上同调连接几何与代数

递归Grothendieck-Riemann-Roch

定理：对递归代数簇的递归态射$f:X^{(R)}\to Y^{(R)}$： $$f_{\ast }({\text{ch}}^{(R)}(E^{(R)})\cap {\text{Td}}^{(R)}(X^{(R)}))={\text{ch}}^{(R)}(f_{\ast }{E}^{(R)})\cap {\text{Td}}^{(R)}(Y^{(R)})$$

说明

递归K理论与上同调的理论价值

1. 代数拓扑的递归统一

递归K理论统一了拓扑与代数的递归版本： $$\text{递归拓扑空间}\stackrel{\text{K理论}}{\leftrightarrow }\text{递归代数结构}$$

统一机制：

• 向量丛分类：拓扑向量丛的代数分类
• 特征类计算：几何对象的代数不变量
• 指标定理：分析与拓扑的深层连接

2. 递归上同调的计算工具

递归上同调为递归结构计算提供工具：

• 拓扑不变量：递归空间的拓扑分类
• 障碍理论：递归构造的障碍分析
• 谱序列工具：复杂递归结构的系统计算

3. 现代代数拓扑的递归扩展

递归K理论实现现代代数拓扑的递归扩展：

• 高K理论：递归空间的高K群
• 代数K理论连接：与第12章代数几何的K理论连接
• 拓扑K理论：C*-代数的递归K理论

这种递归K理论与上同调为理解递归结构的代数拓扑性质提供了K理论-上同调统一的代数拓扑框架，是递归理论与现代代数拓扑深度融合的重要成就。