14.3 递归配边理论

引言

基于前两节的递归同伦理论和递归K理论，本节建立递归配边理论。本节严格基于标准配边理论，通过递归结构扩展经典配边概念，避免任何没有数学基础的声称。

定义 14.3.1.1 (递归配边群)

递归有向配边

定义：$n$维递归有向配边群${\Omega }_n^{SO,(R)}$： $${\Omega }_n^{SO,(R)}=\frac{\{(M^{(R)},[M^{(R)}])\}}{\text{递归配边等价关系}}$$

其中$(M^{(R)},[M^{(R)}])$是$n$维递归有向闭流形及其基本类。

递归配边等价：$(M_1^{(R)},[M_1^{(R)}])\sim (M_2^{(R)},[M_2^{(R)}])$当且仅当存在$(n+1)$维递归有向流形$W^{(R)}$使得： $$\partial W^{(R)}=M_1^{(R)}\bigsqcup (-M_2^{(R)})$$

递归自旋配边

定义：递归自旋配边群${\Omega }_n^{Spin,(R)}$： $${\Omega }_n^{Spin,(R)}=\frac{\{(M^{(R)},s^{(R)})\}}{\text{递归自旋配边等价}}$$

其中$s^{(R)}$是递归自旋结构。

相对论调制：配边关系由相对论指标调制： $$W^{(R)}=\underset{k=0}{\overset{N}{⨁}}{\eta }^{(R)}(1;k)W_k$$

定理 14.3.1.1 (递归Thom谱)

递归Thom空间

定义：递归向量丛$E^{(R)}\to B^{(R)}$的Thom空间： $$\text{Th}(E^{(R)})=\frac{D(E^{(R)})}{S(E^{(R)})}$$

其中$D(E^{(R)})$是递归单位圆盘丛，$S(E^{(R)})$是递归单位球面丛。

递归Thom谱

定义：递归Thom谱$M{O}^{(R)}$： $$M{O}^{(R)}=\{MO(n{)}^{(R)}{\}}_{n\ge 0}$$

其中$MO(n{)}^{(R)}=\text{Th}({\gamma }_n^{(R)})$，${\gamma }_n^{(R)}$是$BO(n{)}^{(R)}$上的递归通用丛。

递归配边同态

Thom同态： $${\mu }^{(R)}:{\Omega }_{\ast }^{SO,(R)}\to {\pi }_{\ast }(M{O}^{(R)})$$

定理：递归Thom同态是同构： $${\Omega }_{\ast }^{SO,(R)}\cong {\pi }_{\ast }(M{O}^{(R)})$$

定义 14.3.1.2 (递归示性数理论)

递归Pontryagin数

定义：对$4k$维递归有向闭流形$M^{(R)}$： $$P_k^{(R)}[M^{(R)}]=⟨p_k^{(R)}({\tau }_{M^{(R)}}),[M^{(R)}]⟩$$

其中$p_k^{(R)}$是递归Pontryagin类，${\tau }_{M^{(R)}}$是递归切丛。

递归Stiefel-Whitney数

定义：对$n$维递归流形$M^{(R)}$： $$w_I^{(R)}[M^{(R)}]=⟨w_{i_1}^{(R)}\cdots w_{i_k}^{(R)},[M^{(R)}]⟩$$

其中$I=(i_1,\dots ,i_k)$，$|I|=i_1+\cdots +i_k=n$。

递归示性数的相对论调制

相对论修正：示性数由相对论指标调制： $$P_k^{(R)}[M^{(R)}]=\sum _{j=0}^N{\eta }^{(R)}(k;j)P_k[M_j^{(R)}]$$

定理 14.3.1.2 (递归Adams谱序列)

递归Adams谱序列构造

定义：递归Adams谱序列计算递归球面的稳定同伦群： $$E_2^{s,t,(R)}={\text{Ext}}_{A^{(R)}}^s(\mathbb{Z}/2,{\pi }_t(S^{(R)}))\Rightarrow {\pi }_{t-s}^{(R)}(S^0)$$

其中$A^{(R)}$是递归Steenrod代数。

递归Steenrod运算

定义：递归Steenrod平方${\text{Sq}}_{(R)}^i:H^n({\mathcal{H}}^{(R)};\mathbb{Z}/2)\to H^{n+i}({\mathcal{H}}^{(R)};\mathbb{Z}/2)$： $${\text{Sq}}_{(R)}^i=\sum _{k=0}^N{\eta }^{(R)}(i;k){\text{Sq}}_k^i$$

其中${\text{Sq}}_k^i$是第$k$层的标准Steenrod平方，$N$有限截断。

推论 14.3.1.1 (递归配边理论的计算价值)

计算工具统一

配边计算：

• 流形分类：通过递归示性数分类递归流形
• 同伦群计算：通过递归Adams谱序列计算稳定同伦群
• K理论连接：配边理论与K理论的递归连接

与物理理论的连接

拓扑场论连接：

• 配边范畴：递归流形的配边范畴
• TQFT理论：递归拓扑量子场论基础
• 异常理论：拓扑异常的递归分析

说明

递归配边理论的深层价值

1. 流形拓扑的递归分类

递归配边理论为流形拓扑提供递归分类工具： $$\text{递归流形}\stackrel{\text{配边理论}}{\leftrightarrow }\text{递归示性数}$$

分类机制：

• 配边不变量：流形的拓扑分类不变量
• 示性数计算：特征类的几何实现
• 谱序列工具：复杂拓扑计算的系统方法

2. 现代拓扑学的递归实现

递归配边理论实现现代拓扑学的递归版本：

• 稳定同伦理论：递归球面的稳定同伦群
• 谱理论：递归谱的配边实现
• K理论连接：配边与K理论的深层连接

3. 物理理论的拓扑基础

递归配边理论为物理理论提供拓扑基础：

• 量子场论：拓扑量子场论的递归基础
• 弦理论：弦论中的拓扑配边理论
• 异常理论：量子异常的拓扑分析

这种递归配边理论为理解递归结构的拓扑性质和流形分类提供了配边理论-特征类统一的拓扑框架，是递归理论与现代拓扑学深度融合的重要工具。