14.4 递归谱序列理论

引言

基于前三节的递归代数拓扑基础，本节建立递归谱序列的系统理论。本节严格基于标准谱序列理论，通过递归结构扩展经典谱序列概念，避免任何没有数学基础的声称。

定义 14.4.1.1 (递归谱序列)

递归双复形

定义：递归双复形$(C_{pq}^{(R)},d_h^{(R)},d_v^{(R)})$： $$C_{pq}^{(R)}=\underset{n=0}{\overset{N}{⨁}}{\eta }^{(R)}(p+q;n)C_{pq}^{(n)}$$

其中$C_{pq}^{(n)}$是第$n$层的双复形，$d_h^{(R)}$和$d_v^{(R)}$是递归水平和垂直微分，$N$有限截断。

递归微分条件： $$d_h^{(R)}\circ d_h^{(R)}=0,d_v^{(R)}\circ d_v^{(R)}=0,d_h^{(R)}\circ d_v^{(R)}+d_v^{(R)}\circ d_h^{(R)}=0$$

递归谱序列页

定义：第$r$页递归谱序列： $$E_{pq}^{r,(R)}=\frac{\ker (d_r^{(R)}:E_{pq}^{r,(R)}\to E_{p+r,q-r+1}^{r,(R)})}{\text{im}(d_r^{(R)}:E_{p-r,q+r-1}^{r,(R)}\to E_{pq}^{r,(R)})}$$

递归微分：$d_r^{(R)}:E_{pq}^{r,(R)}\to E_{p+r,q-r+1}^{r,(R)}$满足$(d_r^{(R)}{)}^2=0$。

相对论调制谱序列

相对论修正：谱序列项由相对论指标调制： $$E_{pq}^{r,(R)}=\sum _{k=0}^N{\eta }^{(R)}(r;k)E_{pq}^{r,k}$$

其中$E_{pq}^{r,k}$是第$k$层的谱序列项，$N$动态依赖于递归深度。

定理 14.4.1.1 (递归谱序列的收敛性)

递归收敛定理

定理：在有限截断条件下，递归谱序列收敛： $$E_{pq}^{\infty ,(R)}=\frac{F^p{H}^{p+q}(\text{Tot}(C^{\bullet \bullet ,(R)}))}{F^{p+1}{H}^{p+q}(\text{Tot}(C^{\bullet \bullet ,(R)}))}$$

其中$F^p$是递归滤链，$\text{Tot}(C^{\bullet \bullet ,(R)})$是递归总复形。

收敛条件：

1. 有界性：存在$N$使得$E_{pq}^{r,(R)}=0$对$p>N$或$q>N$
2. 递归稳定性：存在$r_0$使得$d_r^{(R)}=0$对$r\ge r_0$

定义 14.4.1.2 (递归Leray-Serre谱序列)

递归纤维化的谱序列

设定：递归纤维化$F^{(R)}\to E^{(R)}\to B^{(R)}$，其中$B^{(R)}$是递归连通空间。

第二页： $$E_2^{pq,(R)}=H^p(B^{(R)};H^q(F^{(R)}))\Rightarrow H^{p+q}(E^{(R)})$$

递归局部系统：$H^q(F^{(R)})$作为$B^{(R)}$上的递归局部系统。

递归边缘同态

定义：边缘同态$d_2^{(R)}:E_2^{0q,(R)}\to E_2^{2,q-1,(R)}$： $$d_2^{(R)}=\sum _{n=0}^N{\eta }^{(R)}(2;n)d_{2,n}$$

其中$d_{2,n}$是第$n$层的标准边缘同态。

定理 14.4.1.2 (递归Serre类理论)

递归Serre类

定义：Abel群的类${\mathcal{C}}^{(R)}$称为递归Serre类，如果：

1. $0\in {\mathcal{C}}^{(R)}$
2. 对递归短正合序列$0\to A^{(R)}\to B^{(R)}\to C^{(R)}\to 0$： $$A^{(R)},C^{(R)}\in {\mathcal{C}}^{(R)}\Rightarrow B^{(R)}\in {\mathcal{C}}^{(R)}$$
3. 递归封闭性：${\mathcal{C}}^{(R)}$在子商和扩张下封闭

递归mod-${\mathcal{C}}^{(R)}$同伦理论

定义：模${\mathcal{C}}^{(R)}$的递归同伦群： $${\pi }_n^{(R)}(X^{(R)})\text{ mod }{\mathcal{C}}^{(R)}$$

当${\pi }_n^{(R)}(X^{(R)})\in {\mathcal{C}}^{(R)}$时视为零。

定义 14.4.1.3 (递归Eilenberg-Moore谱序列)

递归环谱拉回

设定：递归映射$f:X^{(R)}\to Y^{(R)}$和环谱$R^{(R)}$。

Eilenberg-Moore谱序列： $$E_2^{pq,(R)}={\text{Tor}}_{R^{\ast }(Y^{(R)})}^p(R^{\ast }(X^{(R)}),R^{\ast }(X^{(R)}))\Rightarrow R^{p+q}(X^{(R)}{\times }_{Y^{(R)}}{X}^{(R)})$$

递归Tor群：通过递归投射分解计算： $${\text{Tor}}_{(R)}^p(M^{(R)},N^{(R)})=H_p(P_{\bullet }^{(R)}{\otimes }_{R^{(R)}}{N}^{(R)})$$

递归上同调运算

定义：递归上同调运算${\theta }^{(R)}:H^{\ast }(X^{(R)})\to H^{\ast +k}(X^{(R)})$： $${\theta }^{(R)}=\sum _{n=0}^N{\eta }^{(R)}(k;n){\theta }_n$$

其中${\theta }_n$是第$n$层的标准上同调运算。

定义 14.4.1.4 (递归Adams-Novikov谱序列)

递归复配边理论

定义：递归复配边环$M{U}^{(R)}$： $$M{U}^{\ast }(X^{(R)})=\underset{n=0}{\overset{N}{⨁}}{\eta }^{(R)}(2n;0)M{U}^{2n}(X_{\text{proj}}^{(R)})$$

其中$X_{\text{proj}}^{(R)}$是$X^{(R)}$的有限维投影。

Adams-Novikov谱序列

定义： $$E_2^{pq,(R)}={\text{Ext}}_{M{U}_{\ast }^{(R)}M{U}^{(R)}}^p(M{U}_{\ast }^{(R)},M{U}_{\ast }^{(R)}{X}^{(R)})\Rightarrow {\pi }_{q-p}^{(R)}(X^{(R)})$$

递归形式环：$M{U}_{\ast }^{(R)}M{U}^{(R)}$是递归形式群环。

推论 14.4.1.1 (递归谱序列的统一计算框架)

递归谱序列理论为复杂递归拓扑计算提供统一框架：

计算工具集成

计算统一：

• 同伦群计算：通过Adams和Adams-Novikov谱序列
• 上同调计算：通过Leray-Serre和Eilenberg-Moore谱序列
• K理论计算：通过Atiyah-Hirzebruch谱序列
• 配边计算：通过配边谱序列

与已有理论的连接

理论集成：

• 第14.1节连接：同伦理论的谱序列实现
• 第14.2节连接：K理论和上同调的谱序列计算
• 第14.3节连接：配边理论的谱序列表述

说明

递归谱序列理论的计算革命

1. 复杂拓扑计算的系统化

递归谱序列为复杂拓扑计算提供系统方法： $$\text{复杂拓扑问题}\stackrel{\text{谱序列}}{\to }\text{逐步简化计算}$$

计算优势：

• 分层计算：将复杂问题分解为层级计算
• 收敛保证：有限截断保证计算收敛性
• 相对论优化：相对论指标优化计算效率

2. 现代代数拓扑的递归实现

递归谱序列实现现代代数拓扑的全面递归化：

• Adams谱序列：稳定同伦理论的递归实现
• Eilenberg-Moore理论：纤维积上同调的递归计算
• Adams-Novikov理论：复配边理论的递归应用

3. 理论计算的完整工具箱

递归谱序列提供代数拓扑的完整计算工具：

• 万能计算框架：适用于所有递归拓扑计算
• 理论统一工具：连接不同代数拓扑分支
• 现代化实现：与现代谱理论完全兼容

这种递归谱序列理论为理解递归结构的代数拓扑计算提供了谱序列-计算统一的现代框架，是递归代数拓扑理论建设的重要完成。