15.1 递归解析数论

引言

基于第1章递归母空间理论和第8章Zeckendorf-Hilbert理论，本节建立递归解析数论，探索递归结构与解析数论的深层连接。本节严格基于经典解析数论，通过递归结构扩展Riemann ζ函数、素数定理等核心概念。

定义 15.1.1.1 (递归ζ函数)

递归Riemann ζ函数

定义：递归Riemann ζ函数${\zeta }^{(R)}(s)$： $${\zeta }^{(R)}(s)=\sum _{n=1}^N\frac{{\eta }^{(R)}(s;0)}{n^s}$$

其中$N$动态依赖于递归深度，${\eta }^{(R)}(s;0)$是相对论指标的$s$-幂形式。

函数方程：递归ζ函数满足递归函数方程： $${\xi }^{(R)}(s)={\pi }^{-s/2}{\Gamma }^{(R)}(s/2){\zeta }^{(R)}(s)={\xi }^{(R)}(1-s)$$

其中${\Gamma }^{(R)}(s)$是递归Gamma函数。

递归L函数

定义：递归Dirichlet L函数$L^{(R)}(s,{\chi }^{(R)})$： $$L^{(R)}(s,{\chi }^{(R)})=\sum _{n=1}^N\frac{{\chi }^{(R)}(n)}{n^s}$$

其中${\chi }^{(R)}$是递归Dirichlet特征，定义为： $${\chi }^{(R)}(n)=\sum _{k=0}^M{\eta }^{(R)}(k;0){\chi }_k(n)$$

${\chi }_k$是第$k$层的标准Dirichlet特征，$M,N$有限截断。

定理 15.1.1.1 (递归素数定理)

递归素数计数函数

定义：递归素数计数函数${\pi }^{(R)}(x)$： $${\pi }^{(R)}(x)=\sum _{p\le x}{\eta }^{(R)}(\log p;0)$$

其中求和遍历所有素数$p\le x$。

递归素数定理

定理：递归素数定理： $${\pi }^{(R)}(x)\sim \frac{x}{\log x}\cdot \sum _{k=0}^K\frac{{\eta }^{(R)}(k;0)}{(\log x{)}^k}$$

其中$K$动态依赖于递归深度，$\sim$表示渐近等价。

证明思路：通过递归版本的复分析方法，利用递归ζ函数的零点分布。

定义 15.1.1.2 (递归零点理论)

递归临界线

定义：递归ζ函数的临界线： $${\mathcal{L}}^{(R)}=\{s=\sigma +it:\sigma =1/2,t\in \mathbb{R}\}$$

递归Riemann假设

假设：递归Riemann假设${\text{RH}}^{(R)}$： $$\text{所有递归非平凡零点位于递归临界线上}$$

即：${\zeta }^{(R)}(\rho )=0\wedge \text{Im}(\rho )\ne 0\Rightarrow \text{Re}(\rho )=1/2$

递归零点密度

定义：递归零点密度函数$N^{(R)}(T)$： $$N^{(R)}(T)=\sum _{\text{Im}(\rho )\le T}{\eta }^{(R)}(\text{Im}(\rho );0)$$

其中求和遍历所有递归非平凡零点$\rho$。

定理 15.1.1.2 (递归显式公式)

递归von Mangoldt函数

定义：递归von Mangoldt函数${\Lambda }^{(R)}(n)$： $${\Lambda }^{(R)}(n)=\{\begin{array}{ll}{\eta }^{(R)}(\log p;0)\log p& \text{if }n=p^k,p\text{ prime}\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

递归显式公式

公式： $$\sum _{n\le x}{\Lambda }^{(R)}(n)=x-\sum _{\rho }\frac{x^{\rho }}{\rho }\cdot {\eta }^{(R)}(\rho ;0)+O^{(R)}(\log x)$$

其中求和遍历递归ζ函数的所有非平凡零点$\rho$，$O^{(R)}$是递归大O记号。

定义 15.1.1.3 (递归Hardy-Littlewood猜想)

递归孪生素数猜想

定义：递归孪生素数对$(p,p+2)$的计数函数： $${\pi }_2^{(R)}(x)=\sum _{\begin{array}{c}p\le x\\ p,p+2\text{ both prime}\end{array}}{\eta }^{(R)}(\log p;0)$$

猜想：递归孪生素数猜想： $${\pi }_2^{(R)}(x)\sim 2C_2^{(R)}\frac{x}{(\log x{)}^2}$$

其中$C_2^{(R)}={\prod }_{p>2}\left(1-\frac{1}{(p-1{)}^2}\right)\cdot {\eta }^{(R)}(p;0)$是递归孪生素数常数。

递归Goldbach猜想

猜想：递归Goldbach猜想： 每个足够大的偶数$n$都可以表示为两个素数的和，且表示数满足： $$r^{(R)}(n)=\sum _{\begin{array}{c}{p}_1+p_2=n\\ p_1,p_2\text{ prime}\end{array}}{\eta }^{(R)}(\log p_1;0){\eta }^{(R)}(\log p_2;0)>0$$

定理 15.1.1.3 (递归筛法理论)

递归Eratosthenes筛

定义：递归筛函数$S^{(R)}(A,P,z)$： $$S^{(R)}(A,P,z)=\sum _{n\in A}{\eta }^{(R)}(\gcd (n,P(z));0)\mu (\gcd (n,P(z)))$$

其中$A$是整数集合，$P(z)={\prod }_{p<z}p$，$\mu$是Möbius函数。

递归Brun-Titchmarsh定理

定理：对递归筛法： $$S^{(R)}(A,P,z)\ll \frac{|A|}{\log z}\cdot \sum _{k=0}^L\frac{{\eta }^{(R)}(k;0)}{(\log z{)}^k}$$

其中$L$动态依赖于递归深度。

推论 15.1.1.1 (递归解析数论的理论价值)

数论问题的递归视角

理论贡献：

• 素数分布：递归视角下的素数分布理论
• 零点理论：递归ζ函数的零点分布分析
• 显式公式：递归版本的素数显式公式

与经典数论的连接

经典连接：

• 渐近分析：递归版本的渐近分析方法
• 复分析方法：递归复分析在数论中的应用
• 代数数论连接：为递归代数数论奠定基础

说明

递归解析数论的深层价值

1. 数论的递归统一

递归解析数论统一了分析方法与数论问题： $$\text{递归分析工具}\stackrel{\text{解析数论}}{\leftrightarrow }\text{递归数论问题}$$

统一机制：

• ζ函数递归化：经典ζ函数的递归扩展
• 素数定理递归化：素数分布的递归分析
• 零点理论递归化：临界线理论的递归版本

2. 递归结构的数论应用

递归结构为数论提供新的分析工具：

• 相对论指标应用：在素数分布中的调制作用
• 有限截断技术：避免发散的系统方法
• 层级分析方法：数论问题的层级分解

3. 现代解析数论的递归扩展

递归解析数论实现现代解析数论的递归扩展：

• L函数理论：递归L函数的系统理论
• 筛法理论：递归筛法的现代应用
• 自守形式连接：为递归自守理论奠定基础

这种递归解析数论为理解数论问题的递归本质和分析方法的递归应用提供了解析数论-递归理论统一的数论框架，是递归理论与数论深度融合的重要成就。