15.2 递归L函数理论

引言

基于15.1节的递归解析数论基础，本节建立递归L函数的系统理论。本节严格基于经典L函数理论，通过递归结构扩展Artin L函数、Hecke L函数等现代L函数理论。

定义 15.2.1.1 (递归Artin L函数)

递归Galois表示

定义：递归Galois表示${\rho }^{(R)}:G_K\to G{L}_n(\mathbb{C})$： $${\rho }^{(R)}(g)=\sum _{k=0}^N{\eta }^{(R)}(k;0){\rho }_k(g)$$

其中$G_K$是数域$K$的绝对Galois群，${\rho }_k$是第$k$层的标准Galois表示，$N$有限截断。

递归Artin L函数

定义：与递归Galois表示${\rho }^{(R)}$相伴的Artin L函数： $$L^{(R)}(s,{\rho }^{(R)})=\prod _{\mathfrak{p}}\det (I-{\rho }^{(R)}({\text{Frob}}_{\mathfrak{p}})N{\mathfrak{p}}^{-s}{)}^{-1}$$

其中乘积遍历$K$的所有素理想$\mathfrak{p}$（除有限多个外）。

递归局部因子： $$L_{\mathfrak{p}}^{(R)}(s,{\rho }^{(R)})=\det (I-{\rho }^{(R)}({\text{Frob}}_{\mathfrak{p}})q_{\mathfrak{p}}^{-s}{)}^{-1}$$

其中$q_{\mathfrak{p}}=N\mathfrak{p}$是$\mathfrak{p}$的范数。

定义 15.2.1.2 (递归Hecke L函数)

递归Hecke特征

定义：递归Hecke特征${\chi }^{(R)}$对模理想$\mathfrak{f}$： $${\chi }^{(R)}:I_K(\mathfrak{f})\to {\mathbb{C}}^{\ast }$$ $${\chi }^{(R)}(\mathfrak{a})=\sum _{j=0}^M{\eta }^{(R)}(j;0){\chi }_j(\mathfrak{a})$$

其中$I_K(\mathfrak{f})$是与$\mathfrak{f}$互素的分数理想群，${\chi }_j$是第$j$层的标准Hecke特征。

递归Hecke L函数

定义：递归Hecke L函数： $$L^{(R)}(s,{\chi }^{(R)})=\sum _{\mathfrak{a}}\frac{{\chi }^{(R)}(\mathfrak{a})}{N{\mathfrak{a}}^s}$$

其中求和遍历$K$的所有非零整理想$\mathfrak{a}$。

Euler乘积展开： $$L^{(R)}(s,{\chi }^{(R)})=\prod _{\mathfrak{p}}(1-{\chi }^{(R)}(\mathfrak{p})N{\mathfrak{p}}^{-s}{)}^{-1}$$

定理 15.2.1.1 (递归L函数的函数方程)

递归完全L函数

定义：递归完全L函数${\Lambda }^{(R)}(s,{\chi }^{(R)})$： $${\Lambda }^{(R)}(s,{\chi }^{(R)})={\left(\frac{|d_K|}{N\mathfrak{f}}\right)}^{s/2}\prod _{v|\infty }{\Gamma }^{(R)}(\frac{s+a_v}{2})L^{(R)}(s,{\chi }^{(R)})$$

其中$d_K$是$K$的判别式，$a_v$依赖于${\chi }^{(R)}$在无限素点$v$的性质。

递归函数方程

定理：递归完全L函数满足函数方程： $${\Lambda }^{(R)}(s,{\chi }^{(R)})=W^{(R)}({\chi }^{(R)}){\Lambda }^{(R)}(1-s,\overline{{\chi }^{(R)}})$$

其中$W^{(R)}({\chi }^{(R)})$是递归根数，满足$|W^{(R)}({\chi }^{(R)})|=1$。

定义 15.2.1.3 (递归Dedekind ζ函数)

数域的递归ζ函数

定义：数域$K$的递归Dedekind ζ函数： $${\zeta }_K^{(R)}(s)=\sum _{\mathfrak{a}}\frac{{\eta }^{(R)}(\log N\mathfrak{a};0)}{N{\mathfrak{a}}^s}$$

其中求和遍历$K$的所有非零整理想$\mathfrak{a}$。

Euler乘积： $${\zeta }_K^{(R)}(s)=\prod _{\mathfrak{p}}(1-N{\mathfrak{p}}^{-s}{)}^{-1}$$

递归类数公式

定理：递归Dedekind ζ函数在$s=1$处的留数： $${\text{Res}}_{s=1}{\zeta }_K^{(R)}(s)=\frac{2^{r_1}(2\pi {)}^{r_2}{h}_K^{(R)}{R}_K^{(R)}}{w_K|{\Delta }_K{|}^{1/2}}$$

其中：

• $h_K^{(R)}={\sum }_{k=0}^P{\eta }^{(R)}(k;0)h_{K,k}$是递归类数
• $R_K^{(R)}={\sum }_{j=0}^Q{\eta }^{(R)}(j;0)R_{K,j}$是递归调节子
• $P,Q$有限截断

定理 15.2.1.2 (递归Chebotarev密度定理)

递归密度定理

设定：$L/K$是Galois扩张，${\rho }^{(R)}:\text{Gal}(L/K)\to G{L}_n(\mathbb{C})$是递归表示。

定理：对共轭类$C\subset \text{Gal}(L/K)$： $$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{{\pi }_C^{(R)}(x)}{{\pi }_K^{(R)}(x)}=\frac{|C|}{|\text{Gal}(L/K)|}$$

其中： $${\pi }_C^{(R)}(x)=\sum _{\begin{array}{c}\mathfrak{p}\text{ 在 }L/K\text{ 中未分歧}\\ N\mathfrak{p}\le x\\ {\text{Frob}}_{\mathfrak{p}}\in C\end{array}}{\eta }^{(R)}(\log N\mathfrak{p};0)$$

定义 15.2.1.4 (递归椭圆曲线L函数)

递归椭圆曲线

定义：数域$K$上的递归椭圆曲线$E^{(R)}/K$： $$E^{(R)}:y^2=x^3+a^{(R)}x+b^{(R)}$$

其中$a^{(R)},b^{(R)}\in K$是递归系数。

递归Hasse-Weil L函数

定义：递归椭圆曲线的L函数： $$L^{(R)}(s,E^{(R)}/K)=\prod _{\mathfrak{p}}{L}_{\mathfrak{p}}^{(R)}(s,E^{(R)})$$

递归局部因子：

• 好约简情况：$L_{\mathfrak{p}}^{(R)}(s,E^{(R)})=(1-a_{\mathfrak{p}}^{(R)}N{\mathfrak{p}}^{-s}+N{\mathfrak{p}}^{1-2s}{)}^{-1}$
• 坏约简情况：$L_{\mathfrak{p}}^{(R)}(s,E^{(R)})=(1-a_{\mathfrak{p}}^{(R)}N{\mathfrak{p}}^{-s}{)}^{-1}$或$1$

其中$a_{\mathfrak{p}}^{(R)}={\sum }_{k=0}^L{\eta }^{(R)}(k;0)a_{\mathfrak{p},k}$，$L$有限截断。

定理 15.2.1.3 (递归BSD猜想)

递归Birch-Swinnerton-Dyer猜想

猜想：对递归椭圆曲线$E^{(R)}/K$：

1. 递归解析秩等于代数秩： $${\text{ord}}_{s=1}{L}^{(R)}(s,E^{(R)}/K)=\text{rank}{E}^{(R)}(K)$$

2. 递归BSD公式： $$\underset{s\to 1}{\lim }\frac{L^{(R)}(s,E^{(R)}/K)}{(s-1{)}^r}=\frac{{\Omega }^{(R)}\cdot {\text{Reg}}^{(R)}\cdot \prod c_{\mathfrak{p}}^{(R)}\cdot |{\text{Ш}}^{(R)}|}{|E^{(R)}(K{)}_{\text{tors}}{|}^2}$$

其中所有量都是相应的递归版本。

推论 15.2.1.1 (递归L函数理论的统一价值)

递归L函数理论统一了代数数论的各个分支：

理论统一框架

统一机制：

• 表示论连接：Galois表示与L函数的递归对应
• 代数几何连接：代数簇的L函数递归理论
• 自守形式连接：为递归自守理论奠定基础

现代数论的递归扩展

现代化价值：

• Langlands纲领：递归版本的Langlands对应
• 算术几何：递归算术几何的L函数工具
• Motif理论：递归Motif的L函数实现

说明

递归L函数理论的核心价值

1. 代数数论的递归统一

递归L函数理论统一了代数数论的核心理论： $$\text{递归代数结构}\stackrel{\text{L函数}}{\leftrightarrow }\text{递归分析性质}$$

统一价值：

• Galois理论连接：表示论与L函数的深度连接
• 类域论扩展：递归版本的类域论L函数
• 算术几何桥梁：代数几何与数论的L函数桥梁

2. 现代数论的递归实现

递归L函数实现现代数论的递归版本：

• Langlands纲领：递归版本的函子性和对应
• 算术统计：L函数族的递归统计性质
• BSD猜想：椭圆曲线理论的递归深化

3. 递归结构的数论应用

递归结构为L函数理论提供新视角：

• 相对论调制：L函数系数的递归调制
• 有限截断方法：避免发散的系统技术
• 层级分析工具：复杂L函数的层级分解

这种递归L函数理论为理解代数数论的递归本质和L函数的深层结构提供了L函数-递归理论统一的现代框架，是递归数论理论建设的重要成就。