15.3 递归自守形式理论

引言

基于前两节的递归数论基础，本节建立递归自守形式理论。本节严格基于经典自守形式理论，通过递归结构扩展模形式、Maass形式、GL(n)自守形式等现代自守理论。

定义 15.3.1.1 (递归模形式)

递归上半平面

定义：递归上半平面${\mathcal{H}}^{(R)}$： $${\mathcal{H}}^{(R)}=\{z=x+iy:y>0\}\times \{{\eta }^{(R)}(k;0):k\ge 0\}$$

其中每个点$(z,k)$配备相对论指标${\eta }^{(R)}(k;0)$作为递归权重。

递归模群作用

定义：递归模群$S{L}_2(\mathbb{Z}{)}^{(R)}$在${\mathcal{H}}^{(R)}$上的作用： $$\gamma {\cdot }^{(R)}(z,k)=\left(\frac{az+b}{cz+d},k+{\eta }^{(R)}(\det (\gamma );0)\right)$$

其中$\gamma =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)\in S{L}_2(\mathbb{Z})$。

递归模形式

定义：权重$k$的递归模形式$f^{(R)}$： $$f^{(R)}(z)=\sum _{n=0}^N{a}_n^{(R)}{q}^n$$

其中$q=e^{2\pi iz}$，$a_n^{(R)}={\sum }_{j=0}^M{\eta }^{(R)}(j;0)a_{n,j}$，$N,M$有限截断。

递归变换公式： $$f^{(R)}(\gamma z)={\eta }^{(R)}(k;0)(cz+d{)}^k{f}^{(R)}(z)$$

对所有$\gamma \in S{L}_2(\mathbb{Z})$。

定义 15.3.1.2 (递归Eisenstein级数)

递归Eisenstein级数

定义：权重$k\ge 4$的递归Eisenstein级数： $$E_k^{(R)}(z)=\sum _{(m,n)\ne (0,0)}\frac{{\eta }^{(R)}(|m|+|n|;0)}{(m+nz{)}^k}$$

归一化形式： $$E_k^{(R)}(z)=1+\frac{2k}{B_k^{(R)}}\sum _{n=1}^N{\sigma }_{k-1}^{(R)}(n)q^n$$

其中$B_k^{(R)}$是递归Bernoulli数，${\sigma }_{k-1}^{(R)}(n)$是递归除子函数。

递归除子函数

定义：递归除子函数${\sigma }_s^{(R)}(n)$： $${\sigma }_s^{(R)}(n)=\sum _{d|n}{d}^s{\eta }^{(R)}(\log d;0)$$

定理 15.3.1.1 (递归模形式的Fourier展开)

递归Fourier系数

定理：递归模形式的Fourier展开： $$f^{(R)}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n^{(R)}{q}^n$$

其中$a_n^{(R)}$满足递归Hecke关系。

递归Ramanujan猜想

猜想：对递归尖点形式$f^{(R)}(z)=\sum a_n^{(R)}{q}^n$： $$|a_n^{(R)}|\le d(n)n^{(k-1)/2}\sum _{j=0}^L{\eta }^{(R)}(j;0)$$

其中$d(n)$是除子个数，$L$有限截断。

定义 15.3.1.3 (递归Hecke算子)

递归Hecke算子

定义：第$n$个递归Hecke算子$T_n^{(R)}$作用在模形式上： $$(T_n^{(R)}f)(z)=n^{k-1}\sum _{ad=n}\frac{1}{a^k}\sum _{b=0}^{a-1}f\left(\frac{az+b}{d}\right){\eta }^{(R)}(a;0)$$

递归Hecke代数

定义：递归Hecke代数${\mathcal{T}}^{(R)}$由所有$T_n^{(R)}$生成，满足： $$T_m^{(R)}{T}_n^{(R)}=\sum _{d|(m,n)}{d}^{k-1}{T}_{mn/d^2}^{(R)}{\eta }^{(R)}(d;0)$$

递归本征形式

定义：递归Hecke本征形式$f^{(R)}$满足： $$T_n^{(R)}{f}^{(R)}={\lambda }_n^{(R)}{f}^{(R)}$$

其中${\lambda }_n^{(R)}=a_n^{(R)}$是第$n$个Fourier系数。

定理 15.3.1.2 (递归Petersson内积)

递归Petersson内积

定义：对两个递归尖点形式$f^{(R)},g^{(R)}$： ⟨f(R),g(R)⟩(R)=∫Γ</span>H​f(R)(z)g(R)(z)​yky2dxdy​η(R)(y;0)

递归Petersson迹公式

公式： $$\sum _f{\lambda }_n^{(R)}(f)\overline{{\lambda }_m^{(R)}(f)}={\delta }_{n,m}+{\text{非对角项}}^{(R)}$$

其中求和遍历所有递归Hecke本征形式，非对角项涉及递归Kloosterman和。

定义 15.3.1.4 (递归Maass形式)

递归Maass形式

定义：递归Maass形式$u^{(R)}$满足：

1. 递归自守性：$u^{(R)}(\gamma z)={\eta }^{(R)}(\gamma ;0)u^{(R)}(z)$
2. 递归Laplace方程：${\Delta }^{(R)}{u}^{(R)}={\lambda }^{(R)}{u}^{(R)}$
3. 增长条件：适当的递归增长条件

其中${\Delta }^{(R)}=-y^2({\partial }_x^2+{\partial }_y^2)+{\sum }_{k=0}^P{\eta }^{(R)}(k;0){\Delta }_k$是递归Laplace算子。

递归Selberg谱理论

定理：递归Selberg算子${\Delta }^{(R)}$的谱： $$\text{Spec}({\Delta }^{(R)})=\{0\}\cup [{\lambda }_0^{(R)},\infty )\cup \{\text{离散本征值}\}$$

其中${\lambda }_0^{(R)}=\frac{1}{4}+{\sum }_{j=0}^Q{\eta }^{(R)}(j;0){\lambda }_{0,j}$，$Q$有限截断。

定义 15.3.1.5 (递归GL(n)自守形式)

递归GL(n)自守形式

定义：$G{L}_n(\mathbb{A}{)}^{(R)}$上的递归自守形式${\varphi }^{(R)}$： $${\varphi }^{(R)}(g)=\sum _{k=0}^N{\eta }^{(R)}(k;0){\varphi }_k(g)$$

其中${\varphi }_k$是第$k$层的标准GL(n)自守形式，$N$有限截断。

递归尖点形式

定义：递归尖点形式满足： ∫N(Q)</span>N(A)​ϕ(R)(ng)dn=0

对几乎所有$g\in G{L}_n(\mathbb{A})$，其中积分包含递归权重。

递归Langlands函子性

猜想：递归Langlands函子性： 存在递归L群${}^L{G}^{(R)}$的表示${\rho }^{(R)}$使得： $$L^{(R)}(s,{\varphi }^{(R)})=L^{(R)}(s,{\rho }^{(R)})$$

其中左边是递归自守L函数，右边是递归Artin L函数。

推论 15.3.1.1 (递归自守形式的理论价值)

数论的自守实现

理论贡献：

• L函数实现：15.2节L函数的自守实现
• Galois表示：递归Galois表示的自守对应
• 算术应用：数论问题的自守方法

现代自守理论的递归扩展

现代化价值：

• Langlands纲领：递归版本的Langlands理论
• 迹公式理论：递归迹公式的系统理论
• 谱理论应用：递归谱理论在自守形式中的应用

说明

递归自守形式理论的深层价值

1. 数论的自守统一

递归自守形式统一了数论的各个分支： $$\text{递归数论问题}\stackrel{\text{自守形式}}{\leftrightarrow }\text{递归分析方法}$$

统一机制：

• 模形式理论：经典数论的自守实现
• L函数对应：自守L函数与算术L函数的对应
• Galois理论连接：自守表示与Galois表示的深层连接

2. 现代自守理论的递归实现

递归自守形式实现现代自守理论的递归版本：

• Langlands纲领：递归版本的函子性和互反律
• Arthur理论：递归迹公式和分类理论
• 谱理论：自守L函数的递归谱理论

3. 递归结构的自守应用

递归结构为自守理论提供新的分析工具：

• 相对论调制：自守形式系数的递归调制
• 层级分解：复杂自守对象的层级分析
• 有限截断技术：无限维自守空间的有限处理

这种递归自守形式理论为理解数论的自守本质和现代自守理论的深层结构提供了自守形式-递归理论统一的现代框架，是递归数论理论建设的重要成就。