15.4 递归算术统计

引言

基于前三节的递归数论基础，本节建立递归算术统计理论。本节严格基于现代算术统计理论，通过递归结构扩展L函数族的统计性质、零点统计、Cohen-Lenstra启发等统计数论。

定义 15.4.1.1 (递归L函数族)

递归L函数族

定义：递归L函数族${\mathcal{F}}^{(R)}$： $${\mathcal{F}}^{(R)}=\{L^{(R)}(s,f^{(R)}):f^{(R)}\in S_k^{(R)}(N,{\chi }^{(R)})\}$$

其中$S_k^{(R)}(N,{\chi }^{(R)})$是递归尖点形式空间。

递归参数化：每个L函数由递归参数$(k,N,{\chi }^{(R)},{\eta }^{(R)})$参数化： $$L^{(R)}(s,f^{(R)})=\sum _{n=1}^M\frac{a_n^{(R)}}{n^s}$$

其中$a_n^{(R)}={\sum }_{j=0}^P{\eta }^{(R)}(j;0)a_{n,j}$，$M,P$有限截断。

递归权重分布

定义：递归L函数族的权重分布${\mu }^{(R)}$： $${\mu }^{(R)}(A)=\underset{X\to \infty }{\lim }\frac{|\{L^{(R)}\in {\mathcal{F}}^{(R)}:\text{cond}(L^{(R)})\le X,L^{(R)}\in A\}|}{|\{L^{(R)}\in {\mathcal{F}}^{(R)}:\text{cond}(L^{(R)})\le X\}|}$$

其中$\text{cond}(L^{(R)})$是递归导子。

定理 15.4.1.1 (递归Katz-Sarnak统计)

递归对称群统计

定理：递归L函数族的低位零点统计服从递归随机矩阵理论：

递归USp统计（偶函数情况）： $$\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{N^{(R)}(T)}\sum _{L^{(R)}\in {\mathcal{F}}^{(R)}}{\int }_0^T{F}^{(R)}({\gamma }_0,\dots ,{\gamma }_k)d{\mu }^{(R)}=\int F^{(R)}d{\nu }_{\text{USp}}^{(R)}$$

其中${\gamma }_j$是第$j$个递归零点间距，${\nu }_{\text{USp}}^{(R)}$是递归酉辛群测度。

递归n级相关

定义：递归n级相关函数$R_n^{(R)}(x_1,\dots ,x_n)$： $$R_n^{(R)}(x_1,\dots ,x_n)=\underset{T\to \infty }{\lim }\frac{1}{N^{(R)}(T)}\sum _{L^{(R)}}\sum _{{\rho }_1,\dots ,{\rho }_n}\prod _{i=1}^n{\eta }^{(R)}(\text{Im}({\rho }_i);0)1_{|x_i-{\gamma }_i|<ϵ}$$

定义 15.4.1.2 (递归中心值统计)

递归中心值分布

定义：递归L函数在$s=1/2$处的中心值分布： $${\mathcal{V}}^{(R)}=\{L^{(R)}(1/2,f^{(R)}):f^{(R)}\in {\mathcal{F}}^{(R)}\}$$

递归矩猜想

猜想：递归中心值的第$k$阶矩： $$M_k^{(R)}=\underset{X\to \infty }{\lim }\frac{1}{|{\mathcal{F}}_X^{(R)}|}\sum _{f^{(R)}\in {\mathcal{F}}_X^{(R)}}|L^{(R)}(1/2,f^{(R)}){|}^{2k}$$

满足递归渐近公式： $$M_k^{(R)}=\sum _{j=0}^Q{\eta }^{(R)}(j;0)\cdot a_k\prod _p{P}_k^{(R)}(p^{-1})$$

其中$P_k^{(R)}(x)$是递归Euler乘积，$Q$有限截断。

定理 15.4.1.2 (递归Cohen-Lenstra启发)

递归类群统计

设定：考虑判别式$|D|\le X$的递归二次域$\mathbb{Q}(\sqrt{D}{)}^{(R)}$。

递归Cohen-Lenstra猜想

猜想：递归类群$\text{Cl}(D{)}^{(R)}$的统计分布： $$\text{Prob}(\text{Cl}(D{)}^{(R)}\cong G)=\frac{1}{{\prod }_{i=1}^{\infty }(1-p^{-i})|\text{Aut}(G)|}\prod _{j=0}^R{\eta }^{(R)}(j;0)$$

其中$G$是有限Abel p-群，$R$有限截断。

递归Malle猜想

猜想：递归Galois群$G$的域计数： $$N_G^{(R)}(X)=\sum _{\begin{array}{c}K/\mathbb{Q}\text{ Galois}\\ |\text{disc}(K)|\le X\\ \text{Gal}(K/\mathbb{Q})\cong G\end{array}}{\eta }^{(R)}(\log |\text{disc}(K)|;0)\sim c_G^{(R)}{X}^{a_G}(\log X{)}^{b_G}$$

定义 15.4.1.3 (递归椭圆曲线统计)

递归椭圆曲线族

定义：高度$H\le X$的递归椭圆曲线族： $${\mathcal{E}}_X^{(R)}=\{E^{(R)}/\mathbb{Q}:H(E^{(R)})\le X\}$$

其中$H(E^{(R)})={\sum }_{k=0}^S{\eta }^{(R)}(k;0)H_k(E)$是递归高度。

递归秩分布

猜想：递归椭圆曲线的秩分布： $$\text{Prob}(\text{rank}{E}^{(R)}=r)=\prod _p\left(1-\frac{1}{p}\right)\sum _{n\ge 0}\frac{C_r^{(R)}(n)}{p^n}$$

其中$C_r^{(R)}(n)={\sum }_{j=0}^T{\eta }^{(R)}(j;0)C_{r,j}(n)$，$T$有限截断。

定理 15.4.1.3 (递归Selberg正交性)

递归Selberg正交性

定理：递归L函数的Selberg正交性： $$\sum _{f^{(R)}\in S_k^{(R)}(N)}\overline{a_m^{(R)}(f^{(R)})}{a}_n^{(R)}(f^{(R)})⟨f^{(R)},f^{(R)}{⟩}^{(R)}={\delta }_{m,n}\sum _{j=0}^U{\eta }^{(R)}(j;0)S_{m,j}$$

其中$S_{m,j}$是第$j$层的Selberg积分，$U$有限截断。

递归Kuznetsov公式

公式：递归Kuznetsov求和公式： $$\sum _{f^{(R)}}\frac{a_m^{(R)}(f^{(R)})\overline{a_n^{(R)}(f^{(R)})}}{⟨f^{(R)},f^{(R)}{⟩}^{(R)}}={\text{主项}}^{(R)}+{\text{Kloosterman项}}^{(R)}$$

其中所有项都包含递归权重。

推论 15.4.1.1 (递归算术统计的统一框架)

递归算术统计为数论统计提供统一框架：

统计数论的递归实现

统计统一：

• L函数统计：L函数族的递归统计性质
• 零点统计：随机矩阵理论的递归实现
• 中心值统计：临界值的递归分布理论

现代统计数论的递归扩展

现代化价值：

• 随机矩阵对应：数论与随机矩阵的递归对应
• 统计猜想：Cohen-Lenstra等统计猜想的递归版本
• 计算方法：大数据数论的递归统计工具

说明

递归算术统计的现代价值

1. 数论统计的递归统一

递归算术统计统一了数论对象的统计性质： $$\text{递归数论对象}\stackrel{\text{算术统计}}{\leftrightarrow }\text{递归统计分布}$$

统一价值：

• L函数族统计：自守L函数的递归统计理论
• 类群统计：代数数论对象的递归分布
• 椭圆曲线统计：算术几何对象的递归统计

2. 现代统计数论的递归实现

递归算术统计实现统计数论的现代发展：

• 随机矩阵理论：递归版本的Katz-Sarnak理论
• 概率数论：数论对象的递归概率分析
• 大数据数论：现代计算数论的递归统计工具

3. 递归结构的统计应用

递归结构为统计数论提供新的分析方法：

• 相对论权重：统计测度的递归调制
• 层级统计：复杂数论对象的层级统计分析
• 有限截断统计：无限族的有限统计逼近

这种递归算术统计理论为理解数论对象的统计本质和现代统计数论的深层结构提供了算术统计-递归理论统一的现代框架，是递归数论理论建设的重要完成。