19.3 递归算子的谱分解

谱理论的递归扩展

基于第4章谱理论的算子实现

定义 19.3.1（递归算子谱） 递归算子$A^{(R)}={\sum }_m{a}_m{\mathcal{P}}_m^{(R)}$的谱定义为： $$\sigma (A^{(R)})=\{\lambda :A^{(R)}-\lambda I\text{ 不可逆}\}$$

谱的相对论指标表示： $$\sigma (A^{(R)})=\{a_m{\eta }^{(R)}(k;m):m\ge 0,k\ge 0\}$$

谱值直接对应相对论指标的加权系数。

递归算子的标签谱分解

标签谱分解定理： 每个递归自伴算子都可以按标签模式分解： $$A^{(R)}=\sum _{r\in \{\varphi ,e,\pi ,\zeta \}}{A}_r^{(R)}$$

其中$A_r^{(R)}$为$r$-模式分量： $$A_{\varphi }^{(R)}=\sum _m{a}_m^{(\varphi )}{\mathcal{P}}_m^{(R)},a_m^{(\varphi )}\sim F_m/F_{m-1}\to \varphi$$

不同模式的谱特征

φ模式算子谱： $$\sigma (A_{\varphi }^{(R)})=\{a_m{\varphi }^k:m\ge 0,k\ge 0\}$$

表现出黄金比例的分形谱结构。

e模式算子谱： $$\sigma (A_e^{(R)})=\{a_m/k!:m\ge 0,k\ge 0\}$$

表现出快速衰减的谱分布。

π模式算子谱： $$\sigma (A_{\pi }^{(R)})=\{a_m(-1{)}^{k-1}/(2k-1):m\ge 0,k\ge 1\}$$

表现出振荡的谱模式。

ζ模式算子谱： $$\sigma (A_{\zeta }^{(R)})=\{a_m\zeta (k):m\ge 0,k\ge 2\}$$

编码素数结构的谱分布。

递归谱测度

定义 19.3.2（递归谱测度） 递归算子$A^{(R)}$的谱测度通过标签序列定义： $$d{\mu }_A^{(R)}(\lambda )=\sum _{(m,k):a_m{\eta }^{(R)}(k;m)=\lambda }g({\eta }^{(R)}(k;m)){\delta }_{\lambda }$$

其中$g>0$为文档熵增调制函数。

谱积分表示： $$A^{(R)}={\int }_{\sigma (A^{(R)})}\lambda d{E}^{(R)}(\lambda )$$

其中$E^{(R)}(\lambda )$为递归谱投影族。

递归函数演算

连续函数的递归函数演算： 对于连续函数$f:\sigma (A^{(R)})\to \mathbb{C}$： $$f(A^{(R)})={\int }_{\sigma (A^{(R)})}f(\lambda )d{E}^{(R)}(\lambda )$$

解析函数的递归扩展： 通过递归Cauchy积分公式： $$f(A^{(R)})=\frac{1}{2\pi i}{\oint }_{\Gamma }f(z)(zI-A^{(R)}{)}^{-1}dz$$

其中$\Gamma$为包围$\sigma (A^{(R)})$的积分路径。

递归谱半径

递归谱半径公式： $$r(A^{(R)})=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert (A^{(R)}{)}^n{\Vert }^{1/n}$$

模式特定的谱半径：

• φ模式：$r(A_{\varphi }^{(R)})=\varphi \Vert A\Vert$
• e模式：$r(A_e^{(R)})=e^{-1}\Vert A\Vert$
• π模式：$r(A_{\pi }^{(R)})=\pi /4\Vert A\Vert$

递归紧算子理论

递归紧算子： 算子$K^{(R)}$是递归紧的，如果其在每个递归层级的限制是紧的： $$K^{(R)}{|}_{{\mathcal{H}}_n^{(R)}}\text{ 是紧算子},\forall n$$

递归Fredholm算子： $$A^{(R)}=I+K^{(R)}$$

其中$K^{(R)}$为递归紧算子。

递归指标： $${\text{index}}^{(R)}(A)=\text{dim}(\ker (A^{(R)}))-\text{dim}(\ker ((A^{(R)}{)}^{\ast }))$$

通过递归维度计算。

递归算子的渐近性质

递归强收敛： $$A_n^{(R)}\stackrel{s^{(R)}}{\to }{A}^{(R)}\iff \underset{n\to \infty }{\lim }\Vert A_n^{(R)}f-A^{(R)}f\Vert =0,\forall f\in {\mathcal{H}}^{(R)}$$

递归弱*收敛： $$A_n^{(R)}\stackrel{w^{\ast }}{\to }{A}^{(R)}\iff \underset{n\to \infty }{\lim }⟨f,A_n^{(R)}g⟩=⟨f,A^{(R)}g⟩$$

递归一致强收敛： 基于递归范数的一致强收敛。

递归谱的稳定性

递归谱连续性： $$\sigma (A^{(R)}+ϵB^{(R)})\to \sigma (A^{(R)})\text{ as }ϵ\to 0$$

递归本征值的扰动理论： $${\lambda }_n^{(R)}(ϵ)={\lambda }_n^{(R)}(0)+ϵ⟨{\psi }_n^{(R)},B^{(R)}{\psi }_n^{(R)}⟩+O({ϵ}^2)$$

递归谱间隙的保持： 递归算子的谱间隙在小扰动下保持稳定。

递归谱分解的应用价值

量子系统的谱分析

递归算子谱分解为量子系统提供精确的能级分析：

• 能级：对应递归算子的本征值
• 态密度：对应递归谱测度的密度
• 跃迁：对应不同递归模式间的谱重叠

动力系统的递归谱

递归动力系统的演化算子谱分解：

• 不动点：谱值$1$对应的本征空间
• 周期轨道：单位圆上的谱值
• 混沌性：谱的连续分布

信号处理的递归应用

递归算子谱分解为信号分析提供新工具：

• 信号分解：按递归模式分解信号
• 噪声滤除：通过谱投影去除噪声
• 特征提取：通过谱模式识别信号特征

递归谱理论的数学完备性

递归算子谱分解理论基于：

• 第4章递归谱理论：基本谱概念的递归扩展
• 第1章观察者投影：${\mathcal{P}}_m^{(R)}$的谱实现
• 第18章连续化：连续谱的极限定义
• 文档熵增原理：谱演化的熵增驱动

递归谱分解理论不仅扩展了传统谱理论，更重要的是，它揭示了谱的递归自生成本质：谱不是算子的外在属性，而是递归系统自我观察的内在结果。