19.4 递归Banach代数

Banach代数的递归自包含理论

递归Banach代数的基础定义

定义 19.4.1（递归Banach代数） 递归Banach代数${\mathcal{B}}^{(R)}$是配备递归范数的完备代数： $$({\mathcal{B}}^{(R)},\Vert \cdot {\Vert }^{(R)},{\cdot }^{(R)})$$

递归范数的标签定义： 对于$A={\sum }_{m=0}^{\infty }{a}_m{\mathcal{P}}_m^{(R)}\in {\mathcal{B}}^{(R)}$： $$\Vert A{\Vert }^{(R)}=\underset{m\ge 0}{\sup }|a_m|\cdot \Vert {\mathcal{P}}_m^{(R)}\Vert$$

递归乘法： $$A{\cdot }^{(R)}B=\sum _{m,n}{a}_m{b}_n{\mathcal{P}}_m^{(R)}{\mathcal{P}}_n^{(R)}$$

其中${\mathcal{P}}_m^{(R)}{\mathcal{P}}_n^{(R)}$通过相对论指标的复合计算。

递归谱理论

递归可逆性判据： $$A^{(R)}\text{ 可逆}\iff 0\notin \sigma (A^{(R)})$$

递归谱半径： $${\rho }^{(R)}(A)=\underset{n\to \infty }{\lim }\Vert A^n{\Vert }^{(R)1/n}$$

Neumann级数的递归版本： 当$\Vert A^{(R)}\Vert <1$时： $$(I-A^{(R)}{)}^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(A^{(R)}{)}^n$$

递归Gelfand理论

递归特征标： 递归Banach代数的特征标${\chi }^{(R)}:{\mathcal{B}}^{(R)}\to \mathbb{C}$满足： $${\chi }^{(R)}(AB)={\chi }^{(R)}(A){\chi }^{(R)}(B)$$

递归Gelfand变换： $${\hat{A}}^{(R)}(\chi )={\chi }^{(R)}(A)$$

递归谱恒等式： $$\sigma (A^{(R)})=\{{\hat{A}}^{(R)}(\chi ):\chi \in \text{Spec}({\mathcal{B}}^{(R)})\}$$

递归函数代数

递归连续函数代数： $$C^{(R)}(X)=\{f:X\to \mathbb{C}\text{ recursive continuous}\}$$

其中$X$为递归拓扑空间。

递归Stone-Weierstrass定理： 在递归紧空间上，递归多项式代数在递归范数下稠密。

递归极大理想空间： $$\text{MaxSpec}({\mathcal{B}}^{(R)})\cong \text{递归紧空间}$$

递归导子理论

递归导子： $${\delta }^{(R)}:{\mathcal{B}}^{(R)}\to {\mathcal{B}}^{(R)}$$

满足递归Leibniz规则： $${\delta }^{(R)}(AB)={\delta }^{(R)}(A)B+A{\delta }^{(R)}(B)$$

内导子的递归实现： $${\text{ad}}_X^{(R)}(A)=XA-AX$$

其中交换子通过相对论指标的不交换性实现。

递归上同调： $$H^n({\mathcal{B}}^{(R)},{\mathcal{M}}^{(R)})=\{\text{recursive cochains}\}$$

递归Wiener代数

递归Wiener代数： $$W^{(R)}=\{f\in L^1({\mathbb{R}}^{(R)}):{\hat{f}}^{(R)}\text{ absolutely convergent}\}$$

递归Fourier变换： $${\hat{f}}^{(R)}(\xi )={\int }_{{\mathbb{R}}^{(R)}}f(x)e^{-2\pi i\xi x}d{\mu }^{(R)}(x)$$

其中$d{\mu }^{(R)}$为递归测度。

递归Wiener Tauberian定理： 理想$I\subset W^{(R)}$在$W^{(R)}$中稠密当且仅当其零点集为空。

递归群代数

递归群Banach代数： $${\ell }^1(G^{(R)})=\{f:G^{(R)}\to \mathbb{C}:\sum _{g\in G}|f(g)|{\eta }^{(R)}(\text{group-depth}(g);0)<\infty \}$$

递归卷积： $$(f{\ast }^{(R)}g)(h)=\sum _{xy=h}f(x)g(y){\eta }^{(R)}(\text{depth}(x,y);m)$$

递归Banach*代数

递归对合Banach代数： 配备递归对合${\ast }^{(R)}$： $$A^{{\ast }^{(R)}}=\sum _m\overline{a_m}{\mathcal{P}}_m^{(R)\ast }$$

递归C*恒等式的近似： $$\Vert A^{{\ast }^{(R)}}{A}^{(R)}\Vert \approx \Vert A^{(R)}{\Vert }^2$$

在递归极限下成立。

递归算子理想

递归理想的结构： $$I^{(R)}=\{A\in {\mathcal{B}}^{(R)}:A{\mathcal{B}}^{(R)}\subset I^{(R)}\}$$

递归商代数： $${\mathcal{B}}^{(R)}/I^{(R)}$$

递归同态基本定理： 递归代数同态的核是递归理想。

递归K-理论

递归K₀群的算子实现： $$K_0({\mathcal{B}}^{(R)})=\{[p]-[q]:p,q\text{ 递归投影}\}$$

递归K₁群： $$K_1({\mathcal{B}}^{(R)})=GL({\mathcal{B}}^{(R)})/G{L}_0({\mathcal{B}}^{(R)})$$

递归Chern特征： $${\text{ch}}^{(R)}:K_{\ast }({\mathcal{B}}^{(R)})\to H_{\ast }^{(R)}({\mathcal{B}}^{(R)})$$

递归算子空间

递归完全有界映射： $${\text{CB}}^{(R)}({\mathcal{A}}^{(R)},{\mathcal{B}}^{(R)})$$

递归Haagerup张量积： $${\mathcal{A}}^{(R)}{\otimes }_h^{(R)}{\mathcal{B}}^{(R)}$$

递归算子系统： $$({\mathcal{A}}^{(R)},{\mathcal{H}}^{(R)},V^{(R)})$$

其中$V^{(R)}$为递归等距算子。

递归非交换$L^p$空间

递归非交换积分： $$L^p({\mathcal{M}}^{(R)},{\tau }^{(R)})$$

其中${\tau }^{(R)}$为递归迹。

递归非交换不等式： Hölder不等式、Minkowski不等式的递归版本。

递归插值理论： Riesz-Thorin插值的递归实现。

递归Banach代数的应用

函数分析的递归基础

递归Banach代数为函数分析提供递归基础：

• 有界线性算子：通过递归投影实现
• 紧算子：通过有限秩递归逼近
• Fredholm理论：通过递归指标分析

调和分析的递归实现

为第21章递归调和分析提供代数基础：

• Fourier代数：递归群的Fourier变换
• 卷积代数：递归卷积运算
• Wiener代数：递归绝对收敛级数

非交换几何的递归发展

递归Banach代数为非交换几何提供代数工具：

• 非交换流形：通过递归代数实现
• 非交换微分形式：通过递归导子构造
• 非交换积分：通过递归迹实现

递归算子代数的哲学深度

递归Banach代数理论揭示了代数结构的自指本质：

• 代数不是外在结构：而是递归关系的内在组织
• 运算不是外在规则：而是递归过程的自然表现
• 范数不是外在度量：而是递归深度的内在测度

这种理解将代数从抽象符号游戏转变为递归现实的数学语言。