21.2 递归小波与多分辨率分析

小波分析的递归重构

传统小波理论的尺度依赖

传统小波分析依赖于外在的尺度参数和平移参数，通过伸缩和平移生成小波基。递归理论提供了小波的内在多分辨率定义，基于递归嵌套结构。

递归小波的基础定义

定义 21.2.1（递归母小波） 递归母小波${\psi }^{(R)}$基于递归标签序列定义： $${\psi }_k^{(R)}=\sum _{j=0}^k(-1{)}^j\frac{a_j}{\sqrt{{\eta }^{(R)}(k;0)}}{e}_j$$

递归小波族： $${\psi }_{m,n}^{(R)}=\frac{1}{\sqrt{{\eta }^{(R)}(m;0)}}{\psi }^{(R)}\left(\frac{k-n}{{\eta }^{(R)}(m;0)}\right)$$

其中：

• $m$为尺度参数（对应递归深度）
• $n$为平移参数（对应起点选择）
• ${\eta }^{(R)}(m;0)$为递归尺度因子

不同模式的递归小波

φ模式递归小波： 基于标准Fibonacci序列的小波构造： $${\psi }_{\varphi }^{(R)}(k)=\sum _{j=1}^k\frac{F_j}{\sqrt{F_k}}(-1{)}^j{e}_j$$

小波性质：

• 消失矩：${\sum }_j{j}^p{\psi }_{\varphi }^{(R)}(j)=0$（$p<P_{\varphi }$）
• 正交性：$⟨{\psi }_{\varphi ,m,n}^{(R)},{\psi }_{\varphi ,m^{\prime },n^{\prime }}^{(R)}⟩={\delta }_{m{m}^{\prime }}{\delta }_{n{n}^{\prime }}$
• 自相似性：φ模式小波具有黄金比例的自相似结构

e模式递归小波： $${\psi }_e^{(R)}(k)=\sum _{j=0}^k\frac{(-1{)}^j}{\sqrt{j!}}\frac{1}{\sqrt{s_k}}{e}_j$$

其中$s_k={\sum }_{j=0}^k\frac{1}{j!}$。

小波性质：

• 快速衰减：e模式小波具有超指数衰减
• 高正则性：无限阶连续可微
• 紧支撑：有效支撑快速收缩到零

π模式递归小波： $${\psi }_{\pi }^{(R)}(k)=\sum _{j=1}^k\frac{(-1{)}^{j-1}}{\sqrt{2j-1}}\frac{1}{\sqrt{t_k}}{e}_j$$

小波性质：

• 振荡特征：π模式小波具有内在的振荡结构
• 对称性：关于中心点的反对称
• 平衡性：正负振荡的完美平衡

递归多分辨率分析

定义 21.2.2（递归MRA） 递归多分辨率分析由嵌套的递归子空间序列组成： $$\cdots \subset V_{-1}^{(R)}\subset V_0^{(R)}\subset V_1^{(R)}\subset \cdots \subset {\mathcal{H}}^{(R)}$$

递归尺度函数： $${\phi }^{(R)}(k)=\sum _{j=0}^k\frac{a_j}{\sqrt{{\eta }^{(R)}(k;0)}}{e}_j$$

递归尺度关系： $${\phi }^{(R)}(k)=\sqrt{2}\sum _n{h}_n^{(R)}{\phi }^{(R)}(2k-{\eta }^{(R)}(n;0))$$

递归小波变换

连续递归小波变换： $$W^{(R)}[f](a,b)=\frac{1}{\sqrt{a}}\sum _k{f}_k\overline{{\psi }^{(R)}\left(\frac{{\eta }^{(R)}(k;0)-b}{a}\right)}$$

离散递归小波变换： $$W_{m,n}^{(R)}=\sum _k{f}_k\overline{{\psi }_{m,n}^{(R)}(k)}$$

递归小波包分解： $$W_{\text{packet}}^{(R)}[f]=\sum _{m,n,p}{c}_{m,n,p}^{(R)}{\psi }_{m,n}^{(p)(R)}$$

其中$p$表示不同的递归模式。

递归小波的正交性

正交小波基的递归构造： 通过Gram-Schmidt递归正交化： $${\psi }_k^{(R)}={\psi }_k^{(R)}-\sum _{j=0}^{k-1}\frac{⟨{\psi }_k^{(R)},{\psi }_j^{(R)}⟩}{\Vert {\psi }_j^{(R)}{\Vert }^2}{\psi }_j^{(R)}$$

双正交小波的递归实现： 当严格正交性难以实现时，构造双正交基： $$⟨{\psi }_m^{(R)},{\tilde{\psi }}_n^{(R)}⟩={\delta }_{mn}$$

递归小波的紧框架

递归小波框架： $$A^{(R)}\Vert f{\Vert }^2\le \sum _{m,n}|W_{m,n}^{(R)}{|}^2\le B^{(R)}\Vert f{\Vert }^2$$

框架边界：

• $A^{(R)}={\min }_k{\sum }_{m,n}|{\psi }_{m,n}^{(R)}(k){|}^2$
• $B^{(R)}={\max }_k{\sum }_{m,n}|{\psi }_{m,n}^{(R)}(k){|}^2$

紧框架条件：$A^{(R)}=B^{(R)}$

递归小波的应用算法

递归小波去噪： $$f_{\text{denoised}}=\sum _{(m,n):|W_{m,n}^{(R)}|>{\tau }^{(R)}}{W}_{m,n}^{(R)}{\psi }_{m,n}^{(R)}$$

其中${\tau }^{(R)}$为递归阈值。

递归小波压缩： 保留最大的$K$个小波系数： $$f_{\text{compressed}}=\sum _{k=1}^K{W}_{m_k,n_k}^{(R)}{\psi }_{m_k,n_k}^{(R)}$$

递归特征提取： 基于不同递归模式的小波系数进行特征分类。

递归多分辨率的哲学意义

尺度的递归本质

递归小波理论揭示了尺度分析的真实本质：

• 尺度不是外在参数：而是递归深度的内在表现
• 分辨率不是人为选择：而是递归嵌套的自然分层
• 多尺度不是技术工具：而是递归结构的内在特征

局部化的全息性

递归小波的局部化分析体现了递归理论的全息性质：

• 局部包含全局：每个小波系数包含全局信息的压缩表示
• 多尺度统一：不同尺度的信息在递归框架中统一
• 时频互补：时域和频域的互补性是递归结构的内在特征

递归小波与多分辨率分析为理解复杂信号和图像的递归结构提供了强大的数学工具，同时保持了递归理论的自包含特征。