21.3 递归谱分析与估计

谱估计的递归理论基础

传统谱估计的统计假设

传统功率谱估计依赖于平稳性、遍历性等统计假设，这些假设在递归系统中需要重新审视。递归理论提供了基于相对论指标统计性质的谱估计框架。

递归功率谱定义

定义 21.3.1（递归功率谱密度） 对于递归随机序列$\{X_n^{(R)}\}$，递归功率谱密度定义为： $$S_{XX}^{(R)}(\xi )=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{N}E\left[|{\mathcal{F}}_N^{(R)}[X_n^{(R)}](\xi ){|}^2\right]$$

其中期望$E[\cdot ]$在递归概率测度下计算。

递归自相关函数： $$R_{XX}^{(R)}(k,m)=E[X_n^{(R)}\overline{X_{n+k}^{(R)}}]{\eta }^{(R)}(k;m)$$

包含相对论指标的调制。

不同模式的递归谱估计

φ模式谱估计： 基于Fibonacci权重的谱估计： $$S_{\varphi }^{(R)}(\xi )=\sum _{k=1}^{\infty }{R}_{\varphi }^{(R)}(k)e^{-i\xi {\varphi }^k}$$

其中： $$R_{\varphi }^{(R)}(k)=E[X_n^{(R)}\overline{X_{n+k}^{(R)}}]\cdot \frac{F_k}{F_1}$$

谱特征：φ模式产生黄金比例间距的谱峰。

e模式谱估计： $$S_e^{(R)}(\xi )=\sum _{k=0}^{\infty }{R}_e^{(R)}(k)e^{-i\xi (e-s_k)/s_k}$$

其中： $$R_e^{(R)}(k)=\frac{1}{k!}E[X_n^{(R)}\overline{X_{n+k}^{(R)}}]$$

谱特征：e模式产生快速衰减的平滑谱。

π模式谱估计： $$S_{\pi }^{(R)}(\xi )=\sum _{k=1}^{\infty }{R}_{\pi }^{(R)}(k)e^{-i\xi (\pi /4-t_k)/t_k}$$

谱特征：π模式产生对称振荡的谱结构。

ζ模式谱估计： $$S_{\zeta }^{(R)}(\xi )=\sum _{k=2}^{\infty }\zeta (k)R_{\zeta }^{(R)}(k)e^{-i\xi k/m}$$

谱特征：ζ模式在素数频率产生谱峰。

递归周期图方法

递归周期图： $$I_N^{(R)}(\xi )=\frac{1}{N}{\left|\sum _{n=0}^{N-1}{X}_n^{(R)}{e}^{-i\xi {\eta }^{(R)}(n;0)}\right|}^2$$

期望谱密度： $$E[I_N^{(R)}(\xi )]\to S_{XX}^{(R)}(\xi )\text{ as }N\to \infty$$

方差分析： $$\text{Var}[I_N^{(R)}(\xi )]\approx S_{XX}^{(R)}(\xi {)}^2$$

在递归独立假设下。

递归自回归模型

递归AR模型： $$X_n^{(R)}=\sum _{k=1}^p{a}_k^{(R)}{X}_{n-k}^{(R)}+{ϵ}_n^{(R)}$$

其中$a_k^{(R)}={\eta }^{(R)}(k;0)/{\sum }_j{\eta }^{(R)}(j;0)$。

递归Yule-Walker方程： $${\mathbf{R}}^{(R)}{\mathbf{a}}^{(R)}={\mathbf{r}}^{(R)}$$

其中${\mathbf{R}}^{(R)}$为递归自相关矩阵。

φ模式AR谱： $$S_{\varphi ,\text{AR}}^{(R)}(\xi )=\frac{{\sigma }_{\varphi }^2}{|1-{\sum }_{k=1}^p\frac{F_k}{F_1}{e}^{-i\xi {\varphi }^k}{|}^2}$$

递归ARMA模型

递归ARMA(p,q)模型： $$X_n^{(R)}=\sum _{k=1}^p{a}_k^{(R)}{X}_{n-k}^{(R)}+\sum _{k=0}^q{b}_k^{(R)}{ϵ}_{n-k}^{(R)}$$

递归传递函数： $$H^{(R)}(z)=\frac{{\sum }_{k=0}^q{b}_k^{(R)}{z}^{-{\eta }^{(R)}(k;0)}}{1-{\sum }_{k=1}^p{a}_k^{(R)}{z}^{-{\eta }^{(R)}(k;0)}}$$

谱密度： $$S_{\text{ARMA}}^{(R)}(\xi )={\sigma }^2|H^{(R)}(e^{i\xi }){|}^2$$

递归非参数谱估计

递归Welch方法： 将序列分段，每段应用递归窗函数： $$S_{\text{Welch}}^{(R)}(\xi )=\frac{1}{K}\sum _{k=1}^K{I}_k^{(R)}(\xi )$$

递归Bartlett方法： $$S_{\text{Bart}}^{(R)}(\xi )=\frac{1}{K}\sum _{k=1}^K{\left|{\mathcal{F}}_M^{(R)}[X_{(k-1)M:kM}^{(R)}](\xi )\right|}^2$$

递归谱估计的一致性

定理 21.3.1（递归谱估计一致性） 在适当的递归平稳性条件下： $$\underset{N\to \infty }{\lim }{\hat{S}}_N^{(R)}(\xi )=S_{XX}^{(R)}(\xi )$$

几乎必然成立。

收敛速度： $$E[|{\hat{S}}_N^{(R)}(\xi )-S_{XX}^{(R)}(\xi ){|}^2]=O(N^{-1})$$

递归谱的置信区间

递归谱的渐近分布： $$\frac{{\hat{S}}_N^{(R)}(\xi )}{S_{XX}^{(R)}(\xi )}\stackrel{d}{\to }{\chi }_2^{(R)}/2$$

其中${\chi }_2^{(R)}$为递归卡方分布。

置信区间构造： $$P\left(\frac{2{\hat{S}}_N^{(R)}(\xi )}{{\chi }_{2,1-\alpha /2}^{(R)}}\le S_{XX}^{(R)}(\xi )\le \frac{2{\hat{S}}_N^{(R)}(\xi )}{{\chi }_{2,\alpha /2}^{(R)}}\right)=1-\alpha$$

递归谱峰检测

递归谱峰判别： 基于相对论指标的局部最大值： $${\text{Peak-Detect}}^{(R)}({\xi }_0)=\frac{{\hat{S}}^{(R)}({\xi }_0)}{{\max }_{\xi \in [{\xi }_0-\Delta ,{\xi }_0+\Delta ]}{\hat{S}}^{(R)}(\xi )}>{\tau }^{(R)}$$

模式特定峰检测：

• φ模式：在$\xi =2\pi k/{\varphi }^j$处检测黄金比例峰
• ζ模式：在素数相关频率处检测数论峰
• π模式：在$\xi =(2k-1)\pi /4$处检测调和峰

递归谱聚类分析

基于谱的递归聚类： $${\text{Cluster}}_i^{(R)}=\{\xi :S^{(R)}(\xi )\text{ 在模式 }i\text{ 主导}\}$$

谱距离的递归定义： $$d^{(R)}(S_1,S_2)=\int |{\mathcal{F}}^{(R)-1}[S_1](\xi )-{\mathcal{F}}^{(R)-1}[S_2](\xi ){|}^{2}d{\mu }^{(R)}(\xi )$$

递归谱的信息量测度

递归谱熵： $$H^{(R)}[S]=-\int S^{(R)}(\xi )\log S^{(R)}(\xi )d{\mu }^{(R)}(\xi )$$

谱信息密度： $$I^{(R)}(\xi )=-\log S^{(R)}(\xi )$$

相对谱熵： $$D_{\text{KL}}^{(R)}(S_1\Vert S_2)=\int S_1^{(R)}(\xi )\log \frac{S_1^{(R)}(\xi )}{S_2^{(R)}(\xi )}d{\mu }^{(R)}(\xi )$$

递归谱分析的应用

递归时间序列分析

递归时间序列的模式识别： 通过谱特征识别时间序列的递归模式：

• φ模式时序：具有黄金比例的周期结构
• e模式时序：具有指数衰减的相关结构
• π模式时序：具有调和振荡的相关结构

递归信号检测

递归信号在噪声中的检测： $${\text{SNR}}^{(R)}=\frac{S_{\text{signal}}^{(R)}(\xi )}{S_{\text{noise}}^{(R)}(\xi )}$$

最优递归检测器： 基于Neyman-Pearson准则的递归实现。

递归系统识别

递归系统的频域识别： 通过输入输出的递归谱估计识别系统传递函数$H^{(R)}(\xi )$。

递归自适应滤波： $$H_{\text{adaptive}}^{(R)}(n)=H^{(R)}(n-1)+{\mu }^{(R)}{e}_n^{(R)}{X}_{n-1}^{(R)\ast }$$

其中${\mu }^{(R)}={\eta }^{(R)}(1;n)$为递归学习率。

递归谱分析的数学严谨性

基于前20章建立的数学框架：

• 第10章测度概率：为谱估计提供概率基础
• 第18章连续化：连接离散谱与连续谱
• 第19章算子代数：算子谱的统计分析
• 第20章统一标准：所有模式的一致谱定义

递归谱分析理论不仅扩展了经典谱估计，更重要的是，它揭示了谱分析的递归本质：功率谱是递归序列内在频率结构的统计显现。