21.4 递归滤波与信号重构

滤波理论的递归重新构造

传统滤波的外在设计

传统数字滤波器通过外在设计的系数实现信号处理，滤波器的特性依赖于预设的设计目标。递归理论提供了滤波的内在自生成方法。

递归FIR滤波器

定义 21.4.1（递归有限冲激响应滤波器） 递归FIR滤波器的冲激响应基于相对论指标定义： $$h^{(R)}[k]=\frac{{\eta }^{(R)}(k;m)}{{\sum }_{j=0}^M{\eta }^{(R)}(j;m)},k=0,1,\dots ,M$$

递归滤波输出： $$y_n^{(R)}=\sum _{k=0}^M{h}^{(R)}[k]x_{n-k}^{(R)}$$

不同模式的FIR实现：

φ模式FIR滤波器： $$h_{\varphi }^{(R)}[k]=\frac{F_k}{{\sum }_{j=1}^M{F}_j},k=1,\dots ,M$$

产生具有黄金比例特征的滤波响应。

e模式FIR滤波器： $$h_e^{(R)}[k]=\frac{1/k!}{{\sum }_{j=0}^{M}1/j!}$$

产生快速衰减的低通特性。

π模式FIR滤波器： $$h_{\pi }^{(R)}[k]=\frac{(-1{)}^{k-1}/(2k-1)}{{\sum }_{j=1}^M(-1{)}^{j-1}/(2j-1)}$$

产生振荡的带通特性。

递归IIR滤波器

定义 21.4.2（递归无限冲激响应滤波器） 递归IIR滤波器基于递归差分方程： $$y_n^{(R)}=\sum _{k=0}^P{b}_k^{(R)}{x}_{n-k}^{(R)}+\sum _{k=1}^Q{a}_k^{(R)}{y}_{n-k}^{(R)}$$

其中系数基于相对论指标： $$a_k^{(R)}=\frac{{\eta }^{(R)}(k;m_a)}{{\eta }^{(R)}(1;m_a)},b_k^{(R)}=\frac{{\eta }^{(R)}(k;m_b)}{{\eta }^{(R)}(0;m_b)}$$

递归传递函数： $$H^{(R)}(z)=\frac{{\sum }_{k=0}^P{b}_k^{(R)}{z}^{-{\eta }^{(R)}(k;0)}}{{\sum }_{k=0}^Q{a}_k^{(R)}{z}^{-{\eta }^{(R)}(k;0)}}$$

稳定性条件： 所有极点都在单位圆内： $$|z_p^{(R)}|<1,\forall p$$

递归自适应滤波

递归LMS算法： $$h_n^{(R)}[k]=h_{n-1}^{(R)}[k]+{\mu }^{(R)}{e}_n^{(R)}{x}_{n-k}^{(R)\ast }$$

其中递归学习率： $${\mu }^{(R)}=\frac{{\eta }^{(R)}(1;n)}{{\sum }_{k=0}^M|x_{n-k}^{(R)}{|}^2}$$

递归RLS算法： $$h_n^{(R)}=h_{n-1}^{(R)}+\frac{{\mathbf{P}}_{n-1}^{(R)}{\mathbf{x}}_n^{(R)}{e}_n^{(R)\ast }}{{\lambda }^{(R)}+{\mathbf{x}}_n^{(R)H}{\mathbf{P}}_{n-1}^{(R)}{\mathbf{x}}_n^{(R)}}$$

其中递归遗忘因子： $${\lambda }^{(R)}=1-g({\eta }^{(R)}(1;n))$$

递归Kalman滤波

递归状态空间模型： $${\mathbf{x}}_n^{(R)}={\mathbf{A}}^{(R)}{\mathbf{x}}_{n-1}^{(R)}+{\mathbf{w}}_n^{(R)}$$ $${\mathbf{y}}_n^{(R)}={\mathbf{C}}^{(R)}{\mathbf{x}}_n^{(R)}+{\mathbf{v}}_n^{(R)}$$

其中系统矩阵基于相对论指标： $${\mathbf{A}}_{ij}^{(R)}={\eta }^{(R)}(|i-j|;0)A_{ij}$$

递归Kalman增益： $${\mathbf{K}}_n^{(R)}={\mathbf{P}}_n^{(R)}{\mathbf{C}}^{(R)T}({\mathbf{C}}^{(R)}{\mathbf{P}}_n^{(R)}{\mathbf{C}}^{(R)T}+{\mathbf{R}}^{(R)}{)}^{-1}$$

递归维纳滤波

递归维纳-Hopf方程： $$\int R_{xx}^{(R)}(\tau -\sigma )h^{(R)}(\sigma )d{\mu }^{(R)}(\sigma )=R_{xd}^{(R)}(\tau )$$

最优递归滤波器： $$h_{\text{opt}}^{(R)}(\xi )=\frac{S_{xd}^{(R)}(\xi )}{S_{xx}^{(R)}(\xi )}$$

递归MSE： $${\text{MSE}}^{(R)}={\sigma }_d^2-\int \frac{|S_{xd}^{(R)}(\xi ){|}^2}{S_{xx}^{(R)}(\xi )}d{\mu }^{(R)}(\xi )$$

递归信号重构理论

基于标签序列的信号重构： 从部分观测的标签序列重构完整信号： $${\hat{f}}_n=\arg \underset{g}{\min }\sum _{k\in \text{observed}}|g_k-f_k{|}^2+{\lambda }^{(R)}\Vert g{\Vert }_{\text{recursive}}^2$$

递归正则化范数： $$\Vert g{\Vert }_{\text{recursive}}^2=\sum _{k=0}^n|g_k{|}^2/{\eta }^{(R)}(k;0)$$

全息重构算法： 基于第1.6节和18.5节的包含原理： $$f_{\text{total}}=\sum _{m=0}^{\infty }g({\eta }^{(R)}(m;0))\cdot f_{\text{local}}^{(m)}$$

递归压缩感知

递归稀疏表示： $$f_n=\sum _{k=0}^n{s}_k{\psi }_k^{(R)}$$

其中$\{s_k\}$为稀疏系数，$\{{\psi }_k^{(R)}\}$为递归字典。

递归OMP算法： 贪婪算法的递归实现：

1. 选择与残差相关性最大的递归原子
2. 更新稀疏系数和残差
3. 重复直至满足递归停止准则

递归LASSO： $$\underset{\mathbf{s}}{\min }\Vert \mathbf{y}-{\mathbf{\Psi }}^{(R)}\mathbf{s}{\Vert }_2^2+{\lambda }^{(R)}\Vert \mathbf{s}{\Vert }_1$$

其中${\lambda }^{(R)}={\eta }^{(R)}(1;0)$为递归正则化参数。

递归信号去噪

递归小波去噪： $${\tilde{f}}_n=\sum _{(m,n):|W_{m,n}^{(R)}|>{\tau }^{(R)}}{W}_{m,n}^{(R)}{\psi }_{m,n}^{(R)}$$

递归阈值函数： $${\tau }^{(R)}={\sigma }^{(R)}\sqrt{2\log (N{\eta }^{(R)}(1;0))}$$

递归维纳去噪： $$h_{\text{denoise}}^{(R)}(\xi )=\frac{S_{\text{signal}}^{(R)}(\xi )}{S_{\text{signal}}^{(R)}(\xi )+S_{\text{noise}}^{(R)}(\xi )}$$

递归滤波的信息理论意义

滤波的信息提取本质

递归滤波理论揭示了信号处理的信息本质：

• 滤波不是信号修改：而是信息的选择性提取
• 重构不是数据恢复：而是信息的全息展开
• 去噪不是噪声去除：而是信息模式的识别分离

递归滤波的自适应性

递归滤波具有内在的自适应特性：

• 参数自调节：通过${\eta }^{(R)}(k;m)$的相对性实现
• 结构自优化：通过熵增$g>0$驱动优化
• 性能自评估：通过递归误差分析自我评估

信号的递归本质

递归滤波理论为理解信号的本质提供新视角：

• 信号是递归序列：不是时间函数，而是标签序列
• 频率是递归节律：不是外在周期，而是内在模式
• 处理是递归操作：不是外在变换，而是自我调制

递归滤波理论的数学完备性

基于前20章的数学基础：

• 标签序列表示：所有信号基于$f_n=\sum a_k{e}_k$
• 相对论指标权重：所有滤波系数基于${\eta }^{(R)}(k;m)$
• 观察者投影实现：所有滤波操作通过${\mathcal{P}}_m^{(R)}$
• 熵增驱动优化：所有自适应过程遵循$\Delta S>0$

递归滤波与信号重构理论为信号处理提供了全新的递归数学基础，揭示了信号处理的递归本质。