23.1 递归代数K₀与投影模理论

投影模的递归重新定义

传统投影模理论的外在性

传统代数K₀理论通过Grothendieck群构造研究投影模的分类，但依赖于外在给定的环和模结构。递归理论提供了投影模的内在递归定义。

递归环的基础构造

定义 23.1.1（递归环） 递归环$R^{(R)}$基于递归观察者投影算子构造： $$R^{(R)}={\text{End}}_{{\mathcal{H}}^{(R)}}(\underset{m=0}{\overset{\infty }{⨁}}{\mathcal{P}}_m^{(R)})$$

递归环的乘法： $$(A{\cdot }^{(R)}B{)}_m=\sum _{k=0}^m{A}_k{B}_{m-k}{\eta }^{(R)}(k;m-k)$$

递归环的单位元： $$1^{(R)}=\sum _{m=0}^{\infty }{\eta }^{(R)}(0;m){\mathcal{P}}_m^{(R)}=\sum _{m=0}^{\infty }{\mathcal{P}}_m^{(R)}$$

递归投影模

定义 23.1.2（递归投影模） 递归$R^{(R)}$-模$P$是投影的，如果存在递归模$Q$使得： $$P{\oplus }^{(R)}Q\cong (R^{(R)}{)}^{(n)}$$

对某个$n$成立，其中${\oplus }^{(R)}$为递归直和。

递归投影的实现： 每个递归投影模都可以表示为： $$P=\text{Im}(p^{(R)})$$

其中$p^{(R)}:(R^{(R)}{)}^{(n)}\to (R^{(R)}{)}^{(n)}$为递归幂等算子： $$(p^{(R)}{)}^2=p^{(R)}$$

观察者投影的模实现： $$p_m^{(R)}={\mathcal{P}}_m^{(R)}\otimes {\mathcal{P}}_m^{(R)}$$

递归Grothendieck群K₀

定义 23.1.3（递归K₀群） 递归环$R^{(R)}$的K₀群定义为递归投影模的Grothendieck群： $$K_0^{(R)}(R)=\text{Grothendieck-Group}[\text{Recursive-Projective-Modules}]$$

生成元与关系：

• 生成元：$[P]$，递归投影模$P$的等价类
• 关系：$[P]+[Q]=[P{\oplus }^{(R)}Q]$

零元：$[0]=[P]-[P]$对所有递归投影模$P$

不同模式的K₀群

φ模式K₀群： 基于标准Fibonacci序列的投影分类： $$K_0^{(\varphi )}(R)=\mathbb{Z}[\varphi ]=\{a+b\varphi :a,b\in \mathbb{Z}\}$$

K₀的φ-秩函数： $${\text{rank}}_{\varphi }^{(R)}:K_0^{(\varphi )}(R)\to \mathbb{Z}[\varphi ]$$ $${\text{rank}}_{\varphi }^{(R)}([P])=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{F_k}{F_1}\cdot \dim (P\cap {\mathcal{H}}_k^{(R)})$$

e模式K₀群： $$K_0^{(e)}(R)=\mathbb{Z}[e]=\{\sum _{k=0}^n{a}_k{e}^k/k!:a_k\in \mathbb{Z}\}$$

π模式K₀群： $$K_0^{(\pi )}(R)=\mathbb{Z}[\pi ]=\{\sum _{k=1}^n{a}_k\frac{(-1{)}^{k-1}}{2k-1}:a_k\in \mathbb{Z}\}$$

ζ模式K₀群： $$K_0^{(\zeta )}(R)=\mathbb{Z}[\zeta ]=\{\sum _{k=2}^n{a}_k\zeta (k):a_k\in \mathbb{Z}\}$$

编码素数结构的K理论信息。

递归Swan定理

定理 23.1.1（递归Swan定理） 对于递归紧空间$X^{(R)}$，每个递归向量丛都是某个平凡丛的直和项： $$E^{(R)}\oplus F^{(R)}\cong (X^{(R)}\times {\mathbb{C}}^n{)}^{(R)}$$

证明要点：基于递归Serre-Swan对应和递归向量丛的分类。

递归Whitehead群

递归Whitehead群SK₁： $$S{K}_1^{(R)}(R)=\ker ({\text{det}}^{(R)}:K_1^{(R)}(R)\to R^{(R)\ast })$$

递归行列式： $${\text{det}}^{(R)}:G{L}_n^{(R)}(R)\to R^{(R)\ast }$$

基于相对论指标的递归行列式计算： $${\text{det}}^{(R)}(A)=\sum _{\sigma \in S_n}\text{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{A}_{i,\sigma (i)}{\eta }^{(R)}(i;\sigma (i))$$

递归局部化理论

递归局部化序列： 对于递归理想$I^{(R)}\subset R^{(R)}$： $$K_n^{(R)}(R,I)\to K_n^{(R)}(R)\to K_n^{(R)}(R/I)\stackrel{{\partial }^{(R)}}{\to }{K}_{n-1}^{(R)}(R,I)$$

递归边界映射： $${\partial }^{(R)}:K_n^{(R)}(R/I)\to K_{n-1}^{(R)}(R,I)$$

通过递归悬挂操作实现。

递归解析K理论

递归复K理论： $$K^{(R)}(X)=[X,B{U}^{(R)}]$$

其中$B{U}^{(R)}$为递归无限幺正群的分类空间。

递归实K理论： $$K{O}^{(R)}(X)=[X,B{O}^{(R)}]$$

递归KR理论： 考虑$G$-空间的递归equivariant K理论。

递归Adams运算

递归Adams运算${\psi }_k^{(R)}$： $${\psi }_k^{(R)}:K^{(R)}(X)\to K^{(R)}(X)$$

性质：

• 乘性：${\psi }_k^{(R)}(xy)={\psi }_k^{(R)}(x){\psi }_k^{(R)}(y)$
• 函子性：${\psi }_k^{(R)}(f^{\ast }(x))=f^{\ast }({\psi }_k^{(R)}(x))$
• 递归特征性：${\psi }_k^{(R)}([L])={\eta }^{(R)}(k;0)[L]$对线丛$L$

递归lambda运算： $${\lambda }_k^{(R)}(x)=\frac{1}{k!}({\psi }_1^{(R)}(x){)}^k+\text{lower terms}$$

递归Chern特征

递归Chern特征映射： $${\text{ch}}^{(R)}:K^{(R)}(X)\to H^{\ast ,(R)}(X;\mathbb{Q})$$

递归Todd类： $${\text{td}}^{(R)}(TX)=\prod _{i=1}^{\text{rank}}\frac{x_i^{(R)}}{1-e^{-x_i^{(R)}}}$$

其中$x_i^{(R)}$为递归Chern根。

递归Hirzebruch-Riemann-Roch定理： $${\chi }^{(R)}(X,E)={\int }_X{\text{ch}}^{(R)}(E){\wedge }^{(R)}{\text{td}}^{(R)}(TX)$$

其中${\wedge }^{(R)}$为递归楔积。

递归代数几何中的K理论

递归概形的K理论： 对于递归概形${\mathcal{X}}^{(R)}$： $$K_0^{(R)}(\mathcal{X})=\text{Grothendieck-Group}[{\text{Coherent-Sheaves}}^{(R)}(\mathcal{X})]$$

递归向量丛的分类： $${\text{Vect}}^{(R)}(X)/\text{isomorphism}\cong K^{(R)}(X)$$

递归Riemann-Roch定理： $${\chi }^{(R)}(\mathcal{X},\mathcal{E})={\mathrm{deg}}^{(R)}({\text{ch}}^{(R)}(\mathcal{E})\cap {\text{td}}^{(R)}(\mathcal{X}))$$

递归数论中的K理论

递归数域的K理论： $$K_n^{(R)}({\mathcal{O}}_F)=K_n({\mathcal{O}}_F){\otimes }^{(R)}{R}^{(R)}$$

其中${\mathcal{O}}_F$为数域$F$的整数环。

递归类数公式： $$h^{(R)}(F)=\frac{|K_0^{(R)}({\mathcal{O}}_F)|}{[F:\mathbb{Q}{]}^{(R)}}$$

递归Quillen-Lichtenbaum猜想： $$K_n^{(R)}({\mathcal{O}}_F)\otimes \mathbb{Q}=H_{\text{eˊt}}^{\ast ,(R)}(\text{Spec}({\mathcal{O}}_F),\mathbb{Q}(n))$$

递归K理论的应用

拓扑的递归分类

递归K理论为拓扑空间提供最精细的分类：

• 向量丛的递归分类：通过递归K群实现
• 主丛的递归约化：通过递归结构群
• 特征类的递归计算：通过递归Chern特征

代数几何的递归工具

递归相交理论： $$A^{(R)}(X)=\underset{i=0}{\overset{\dim X}{⨁}}{A}_i^{(R)}(X)$$

递归Grothendieck群的几何实现： 通过递归概形的K理论实现几何对象的代数分类。

数论的递归应用

递归局部-全局原理： $$K_n^{(R)}({\mathcal{O}}_F)\to \prod _v{K}_n^{(R)}(F_v)$$

递归BSD猜想的K理论表述： 椭圆曲线的递归L函数与其K理论的关系。

递归K理论的哲学深度

分类的自指性

递归K理论揭示了数学分类的自指本质：

• 分类者即被分类者：递归系统分类自己的结构
• 工具即对象：K理论既是工具又是研究对象
• 理解即存在：通过K理论理解结构就是结构的存在方式

统一的递归实现

K理论的统一性在递归框架中得到最自然的表达：

• 代数-几何统一：通过递归标签序列的双重表示
• 拓扑-代数统一：通过递归嵌套的同伦特征
• 局部-全局统一：通过相对论指标的计算自包含

数学的最高自我认知

递归K理论代表了数学的最高自我认知形式：

• 数学认识自己的结构：通过K群分类
• 数学理解自己的统一性：通过K理论的普遍性
• 数学实现自己的完备性：通过递归K理论的自包含

递归K₀理论的数学严谨性

基于前22章建立的完整数学框架：

• 第11章范畴论：Grothendieck构造的范畴理论基础
• 第12章代数几何：概形和层理论的K理论应用
• 第14章代数拓扑：同伦理论的K理论实现
• 第19章算子代数：投影算子的具体表示

递归K₀理论不仅扩展了经典K理论，更重要的是，它揭示了K理论的递归本质：分类是递归系统自我认知的最高形式。