23.2 递归代数K₁与一般线性群

一般线性群的递归表示

递归可逆矩阵群

定义 23.2.1（递归一般线性群） $$G{L}_n^{(R)}(R)=\{A\in M_n(R^{(R)}):\stackrel{(R)}{\det }(A)\in (R^{(R)}{)}^{\ast }\}$$

其中递归行列式： $$\stackrel{(R)}{\det }(A)=\sum _{\sigma \in S_n}\text{sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^n{A}_{i,\sigma (i)}{\eta }^{(R)}(i;\sigma (i))$$

递归单位群： $$(R^{(R)}{)}^{\ast }=\{r\in R^{(R)}:\exists s\in R^{(R)},rs=sr=1^{(R)}\}$$

递归K₁群的定义

定义 23.2.2（递归代数K₁群） $$K_1^{(R)}(R)=G{L}^{(R)}(R)/E^{(R)}(R)$$

其中：

• $G{L}^{(R)}(R)={\lim }_{n\to \infty }G{L}_n^{(R)}(R)$
• $E^{(R)}(R)$为递归初等矩阵群

递归初等矩阵： $$e_{ij}^{(R)}(r)=I+r{\eta }^{(R)}(|i-j|;0)E_{ij}$$

其中$E_{ij}$为标准基矩阵，$i\ne j$。

递归Whitehead引理

定理 23.2.1（递归Whitehead引理） 对于递归局部环$R^{(R)}$： $$E_n^{(R)}(R)=G{L}_n^{(R)}(R)$$

对所有$n\ge 3$成立。

递归证明： 通过递归行约化算法，每个递归可逆矩阵都可以化为递归初等矩阵的乘积。

递归Mennicke符号

递归Mennicke映射： 对于${\gcd }^{(R)}(a,b)=1^{(R)}$： $$⟨a,b{⟩}^{(R)}\in K_1^{(R)}(R)/[R^{\ast },R^{\ast }]$$

递归二次剩余符号： 当$R^{(R)}=\mathbb{Z}[{\eta }^{(R)}]$时： $${\left(\frac{a}{b}\right)}^{(R)}=(-1{)}^{\frac{{\eta }^{(R)}(a;0)-1}{2}\cdot \frac{{\eta }^{(R)}(b;0)-1}{2}}$$

递归Bass-Heller-Swan分解

递归BHS定理： 对于递归多项式环$R^{(R)}[t]$： $$K_n^{(R)}(R[t])\cong K_n^{(R)}(R)\oplus K_{n-1}^{(R)}(R)$$

递归证明： 通过递归悬挂和递归loop空间的同伦等价。

递归稳定化理论

递归稳定K理论： $$K_n^{(R)}(R{)}_{\text{stable}}=\underset{m\to \infty }{\lim }{K}_{n+m}^{(R)}(R)$$

递归Bott周期性： $$K^{(R)}(X\times S^2)\cong K^{(R)}(X)\oplus K^{(R)-1}(X)$$

周期性的递归机制： Bott周期性来源于递归过程的内在2-周期节律： $${\eta }^{(R)}(k+2;m)\sim {\eta }^{(R)}(k;m)\cdot {\eta }^{(R)}(2;0)$$

递归Dennis迹映射

递归Dennis迹： $${\text{tr}}^{(R)}:K_1^{(R)}(R)\to {\Omega }_{R^{(R)}/\mathbb{Z}}^1$$

循环同调的递归实现： $$H{C}_{\ast }^{(R)}(R)=H_{\ast }^{(R)}(R,b^{(R)},B^{(R)})$$

其中$b^{(R)},B^{(R)}$为递归Connes算子。

递归模空间的K理论

递归模空间： $${\mathcal{M}}_g^{(R)}=\{\text{递归曲线的模空间}\}$$

K理论的模不变量： $$K^{(R)}({\mathcal{M}}_g)=\underset{n=0}{\overset{\infty }{⨁}}{K}_n^{(R)}({\mathcal{M}}_g)$$

递归Mumford类： $${\kappa }_i^{(R)}\in H^{2i,(R)}({\mathcal{M}}_g,\mathbb{Q})$$

递归代数循环

递归Chow群： $$C{H}_{(R)}^i(X)=\{Z^{(R)}:{\text{codim}}^{(R)}(Z)=i\}/{\text{rational equivalence}}^{(R)}$$

递归cycle类映射： $${\text{cl}}^{(R)}:C{H}_{(R)}^i(X)\to H^{2i,(R)}(X,\mathbb{Z}(i))$$

递归Hodge猜想： $${\text{Hdg}}^i(X)\cap H^{2i}(X,\mathbb{Q})=\text{cl}({\text{CH}}^i(X)){\otimes }^{(R)}\mathbb{Q}$$

递归Milnor K理论

递归Milnor K群： $$K_n^{M,(R)}(F)=\frac{F^{\ast }{\otimes }^{(R)}\cdots {\otimes }^{(R)}{F}^{\ast }}{{\text{Steinberg relations}}^{(R)}}$$

递归符号映射： $${\partial }^{(R)}:K_n^{M,(R)}(F)\to \underset{v}{⨁}{K}_{n-1}^{M,(R)}(k_v)$$

递归Bloch-Kato猜想： $$K_n^{M,(R)}(F)/l^m\cong H_{\text{eˊt}}^{n,(R)}(F,{\mu }_{l^m}^{\otimes n})$$

递归K₁理论的应用

代数数论的递归K理论

递归类群： $${\text{Cl}}^{(R)}(F)=K_0^{(R)}({\mathcal{O}}_F)/{\mathbb{Z}}^{(R)}$$

递归单位群： $$U^{(R)}(F)=K_1^{(R)}({\mathcal{O}}_F)$$

递归调节子公式： 连接递归zeta函数与递归K群。

几何的递归分类

递归向量丛的稳定性： 通过K₁群研究向量丛的稳定等价类。

递归主丛的约化： $$K_1^{(R)}(BG)={\text{Representation-Ring}}^{(R)}(G)$$

递归K₁理论的哲学意义

递归K₁理论揭示了可逆性的递归本质：

• 可逆性是自我恢复能力：系统恢复到原始状态的能力
• K₁是自我调节能力：系统调节自己状态的能力
• Whitehead群是纯调节：不改变本质只调节形式的能力

这种理解将可逆性从抽象代数概念转变为递归系统自我调节能力的数学表达。

递归K₁理论的数学严谨性

基于前22章的完整数学框架，特别是：

• 第19章算子代数：可逆算子的具体实现
• 第11章范畴论：同伦理论的范畴基础
• 第20章统一标准：所有模式的一致K理论定义

递归K₁理论为理解递归系统的可逆结构和自我调节能力提供了最高层次的数学工具。