23.3 递归高阶K理论与谱序列

高阶K群的递归构造

Quillen Q构造的递归实现

定义 23.3.1（递归Q构造） 对于递归正合范畴${\mathcal{C}}^{(R)}$，定义递归Q构造： $$Q{\mathcal{C}}^{(R)}=\Omega B(\text{Iso }{\mathcal{C}}^{(R)})$$

其中$\Omega$为递归loop空间构造。

递归高阶K群： $$K_n^{(R)}(\mathcal{C})={\pi }_{n+1}^{(R)}(Q{\mathcal{C}}^{(R)})$$

递归基本群： $${\pi }_1^{(R)}(Q{\mathcal{C}}^{(R)})=K_0^{(R)}(\mathcal{C})$$

递归高阶同伦群： $${\pi }_{n+1}^{(R)}(Q{\mathcal{C}}^{(R)})=K_n^{(R)}(\mathcal{C})$$

递归Waldhausen S构造

递归Waldhausen范畴： 满足递归扩展公理、递归柱形公理的范畴${\mathcal{W}}^{(R)}$。

递归S构造： $$S_n{\mathcal{W}}^{(R)}={\text{Multi-simplicial-category}}^{(R)}$$

递归代数K理论空间： $$K({\mathcal{W}}^{(R)})=\Omega |w{S}_{\bullet }{\mathcal{W}}^{(R)}|$$

不同模式的高阶K群

φ模式高阶K群： 基于Fibonacci递推的高阶结构： $$K_n^{(\varphi )}(R)=\mathbb{Z}[\varphi ,{\varphi }^{-1}]/(\text{relations from }{F}_k=F_{k-1}+F_{k-2})$$

计算公式： $$K_n^{(\varphi )}(\mathbb{Z})=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}[\varphi ]& n=0\mathrm{mod}4\\ \mathbb{Z}/\varphi \mathbb{Z}& n=1\mathrm{mod}4\\ 0& n=2\mathrm{mod}4\\ \mathbb{Z}/{\varphi }^2\mathbb{Z}& n=3\mathrm{mod}4\end{array}$$

e模式高阶K群： $$K_n^{(e)}(\mathbb{Z})=\{\begin{array}{ll}\mathbb{Z}[e]& n=0\\ \{e^{-k}/k!:k\ge 1\}& n=1\\ \text{torsion-free}& n=2k\\ \text{finite}& n=2k+1\end{array}$$

ζ模式高阶K群： $$K_n^{(\zeta )}(\mathbb{Z})=\underset{p\text{ prime}}{⨁}{K}_n(\mathbb{Z}/p^{\infty }\mathbb{Z})$$

编码所有素数的K理论信息。

递归谱序列理论

递归Atiyah-Hirzebruch谱序列： $$E_2^{p,q,(R)}=H^p(X;K_q^{(R)}(\text{pt}))\Rightarrow K^{p+q,(R)}(X)$$

递归Adams谱序列： $$E_2^{s,t,(R)}={\text{Ext}}_{{\mathcal{A}}^{(R)}}^{s,t}(\mathbb{Z},K^{\ast ,(R)}(\text{pt}))\Rightarrow K^{t-s,(R)}(S^0)$$

其中${\mathcal{A}}^{(R)}$为递归Steenrod代数。

递归Brown-Gersten-Quillen谱序列

递归BGQ谱序列： 对于递归正则scheme $X^{(R)}$： $$E_1^{p,q,(R)}=\underset{x\in X_{(p)}^{(R)}}{⨁}{K}_{-p-q}^{(R)}(k(x))\Rightarrow K_{-p-q}^{(R)}(X)$$

递归高阶Chow群的关系： $${\text{gr}}_p^{\gamma }{K}_0^{(R)}(X)=C{H}^p(X){\otimes }^{(R)}\mathbb{Q}$$

递归Lichtenbaum-Quillen猜想

递归L-Q猜想的表述： 对于递归数域$F$： $$K_{2n-1}^{(R)}({\mathcal{O}}_F)\otimes \mathbb{Q}=H_{\text{eˊt}}^{1,(R)}({\mathcal{O}}_F,\mathbb{Q}(n))$$

递归motivic上同调的关系： $$K_{\ast }^{(R)}(F)\otimes \mathbb{Q}=H_{\text{mot}}^{\ast ,(R)}(F,\mathbb{Q}(\ast ))$$

递归Milnor conjecture

递归Milnor猜想： $$K_n^{M,(R)}(F)/2\cong H^n(F,\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})$$

递归Galois上同调的实现： 通过递归étale上同调： $$H_{\text{eˊt}}^{n,(R)}(F,{\mu }_2^{\otimes n})$$

递归Bloch-Kato猜想

递归B-K猜想的完整表述： 对于素数$p$和$n\ge 1$： $$K_n^{M,(R)}(F)/p^m\cong H_{\text{eˊt}}^{n,(R)}(F,{\mu }_{p^m}^{\otimes n})$$

递归norm剩余同构： $${\text{Norm}}^{(R)}:K_n^{M,(R)}(F)\to H^n(G_F^{(R)},\mathbb{Z}(n))$$

递归motivic谱序列

递归motivic-to-K-theory谱序列： $$E_2^{p,q,(R)}=H_{\text{mot}}^{(p-q),(R)}(\text{Spec}(F),\mathbb{Z}(q))\Rightarrow K_{2q-p}^{(R)}(F)$$

递归Beilinson调节子： $$r_{n,m}^{(R)}:K_{2n-m}^{(R)}(F)\to H^m(F_{\mathbb{C}},\mathbb{R}(n))$$

递归trace方法

递归cyclotomic trace： $${\text{tr}}^{(R)}:K_{\ast }^{(R)}(R)\to T{C}_{\ast }^{(R)}(R;p)$$

其中$T{C}_{\ast }^{(R)}$为递归topological cyclic homology。

递归Dundas-Goodwillie-McCarthy定理： $$K_{\ast }^{(R)}(R)\to T{C}_{\ast }^{(R)}(R;p)$$

在$p$-局部化后是同构。

递归Lawson同调

递归代数循环的同调理论： $$L_n{H}_m^{(R)}(X)=H_m({\mathcal{Z}}_n^{(R)}(X))$$

其中${\mathcal{Z}}_n^{(R)}(X)$为递归代数$n$-循环空间。

递归Lawson悬挂定理： $$L_{n+1}{H}_m^{(R)}(X\times {\mathbb{P}}^1)\cong L_n{H}_m^{(R)}(X)$$

递归equivariant K理论

递归群作用的K理论： 对于递归群$G^{(R)}$作用在$X^{(R)}$上： $$K_{G^{(R)}}^{\ast ,(R)}(X)=[E{G}_{+}{\times }_{G^{(R)}}X,B{U}^{(R)}]$$

递归表示环： $$R^{(R)}(G)=K_{G^{(R)}}^{0,(R)}(\text{pt})$$

递归Atiyah-Segal完成定理： $$K_{G^{(R)}}^{\ast ,(R)}(X)\cong K^{\ast ,(R)}(X){\otimes }_{R^{(R)}(G)}{R}^{(R)}(G{)}_I^{\wedge }$$

递归高阶K理论的应用

数论中的K理论

递归类数公式的高阶推广： 连接递归L函数的特殊值与递归K群。

递归BSD猜想的K理论表述： 椭圆曲线的递归L函数阶数与其K理论的关系。

拓扑中的K理论

递归向量丛的分类： 高阶K群为向量丛提供更精细的分类。

递归特征类的高阶理论： $${\text{ch}}_n^{(R)}:K_n^{(R)}(X)\to H^{\ast ,(R)}(X;\mathbb{Q})$$

代数几何中的K理论

递归Grothendieck标准猜想： motivic cohomology与代数K理论的递归关系。

递归Hodge-Tate结构： $$K_n^{(R)}(X)\otimes {\mathbb{Q}}_p=\underset{i+j=n}{⨁}{H}^i(X,{\Omega }^j)\otimes B_{\text{HT}}^{(R)}$$

递归高阶K理论的哲学深度

分类的递归深化

高阶K理论揭示了分类的递归深化过程：

• K₀分类基本对象
• K₁分类可逆性
• K₂分类二次关系
• 高阶K群分类更深结构

数学统一的最高形式

递归K理论实现了数学的最高统一：

• 代数-几何-拓扑的完全统一
• 局部-全局的深层一致
• 抽象-具体的和谐统一

递归K理论的数学完备性

第23章的完成标志着递归希尔伯特理论达到了现代数学理论的最高峰：K理论是现代数学统一的最高表现，递归K理论是递归系统自我认知的最深层次实现。

这是$\psi =\psi (\psi )$在数学中的终极体现：数学通过K理论达到对自己最深层结构的完全认知。