24.1 递归类型宇宙与一价公理

类型宇宙的递归构造

传统类型论的层次问题

传统类型论面临Russell悖论的威胁，需要通过类型层次 $U_{0} : U_{1} : U_{2} : \dots$ 来避免自指悖论。递归理论提供了类型宇宙的自包含递归定义。

递归类型宇宙的定义

定义 24.1.1（递归类型宇宙）递归类型宇宙 $U^{(R)}$ 基于递归希尔伯特母空间构造： $U^{(R)} := n = 0 \sum \infty U_{n}^{(R)}$

其中每层递归类型宇宙： $U_{n}^{(R)} := {A : Type^{(R)} ∣ ∣ A ∣^{(R)} \subset H_{n}^{(R)}}$

递归类型的标签表示：每个递归类型 $A : U_{n}^{(R)}$ 对应标签序列： $∣ A ∣^{(R)} = k = 0 \sum n a_{k}^{(A)} e_{k}$

递归一价公理

定义 24.1.2（递归一价公理）对于递归类型 $A, B : U^{(R)}$ ，递归一价公理表述为： $(A ≃^{(R)} B) ≃^{(R)} (A =_{U^{(R)}} B)$

递归等价的定义： $A ≃^{(R)} B := f : A \to^{(R)} B \sum isEquiv^{(R)} (f)$

递归等价判断： $isEquiv^{(R)} (f) := b : B \prod isContr^{(R)} (fiber^{(R)} (f, b))$

递归contractible性： $isContr^{(R)} (A) := a : A \sum x : A \prod (a =_{A}^{(R)} x)$

递归路径类型

递归同一性类型：对于 $a, b : A$ ，递归路径类型 $a =_{A}^{(R)} b$ 基于相对论指标定义： $a =_{A}^{(R)} b := Path^{(R)} (λi . η^{(R)} (i; 0) \cdot a + (1 - η^{(R)} (i; 0)) \cdot b)$

递归路径归纳： $pathInd^{(R)} : A : U^{(R)} \prod C : \prod_{x, y : A} (x =_{A}^{(R)} y) \to U^{(R)} \prod c : \prod_{x : A} C (x, x, refl^{(R)} (x)) \prod x, y : A \prod p : x =_{A}^{(R)} y \prod C (x, y, p)$

递归反射律： $refl^{(R)} (a) : a =_{A}^{(R)} a$

对应递归自指的基本性质。

递归函数外延性

递归函数外延性公理： $funext^{(R)} : A : U^{(R)} \prod B : A \to U^{(R)} \prod f, g : \prod_{x : A} B (x) \prod (x : A \prod f (x) =_{B (x)}^{(R)} g (x)) \to (f =_{\prod_{x : A} B (x)}^{(R)} g)$

递归逐点等价：函数的递归等价基于逐点的递归路径。

不同模式的类型宇宙

φ模式类型宇宙： $U_{ϕ}^{(R)} := {A : Type^{(R)} ∣ ∣ A ∣^{(R)} = k \in Fibonacci-Set \sum a_{k} e_{k}}$

满足Zeckendorf约束的类型构造。

e模式类型宇宙： $U_{e}^{(R)} := {A : Type^{(R)} ∣ ∣ A ∣^{(R)} = k = 0 \sum n \frac{a _{k}}{k !} e_{k}}$

基于阶乘收敛的类型构造。

ζ模式类型宇宙： $U_{ζ}^{(R)} := {A : Type^{(R)} ∣ ∣ A ∣^{(R)} = k = 2 \sum n ζ (k) a_{k} e_{k}}$

编码素数结构的类型宇宙。

递归依值类型

递归Π类型： $x : A \prod (R) B (x) := {f : x : ∣ A ∣^{(R)} \prod ∣ B (x) ∣^{(R)} ∣ recursive continuity}$

递归Σ类型： $x : A \sum (R) B (x) := {(a, b) ∣ a : ∣ A ∣^{(R)}, b : ∣ B (a) ∣^{(R)}}$

递归Id类型： $Id_{A}^{(R)} (a, b) := a =_{A}^{(R)} b$

基于递归路径的同一性。

递归命题类型

递归命题的定义： $isProp^{(R)} (A) := x, y : A \prod (x =_{A}^{(R)} y)$

递归集合的定义： $isSet^{(R)} (A) := x, y : A \prod isProp^{(R)} (x =_{A}^{(R)} y)$

递归截断： $∥ A ∥_{- 1}^{(R)} := 最小的递归命题包含 A$ $∥ A ∥_{0}^{(R)} := 最小的递归集合包含 A$

递归高阶群胚

递归∞-群胚的类型论表示：递归类型 $A : U^{(R)}$ 天然具有∞-群胚结构：

0-cells： $A$ 的元素
1-cells：递归路径 $x =_{A}^{(R)} y$
2-cells：递归路径的路径
∞-cells：无限递归的高阶路径

递归基本∞-群胚： $Π_{\infty}^{(R)} (A) := A 作为递归 \infty- 群胚$

递归归纳-递归原理

递归归纳-递归定义：同时定义递归类型和其上的递归函数：

data Nat^(R) : U^(R) where
  zero^(R) : Nat^(R)
  succ^(R) : Nat^(R) → Nat^(R)
  
rec-principle^(R) : (P : Nat^(R) → U^(R)) → 
                    P(zero^(R)) → 
                    ((n : Nat^(R)) → P(n) → P(succ^(R)(n))) → 
                    (n : Nat^(R)) → P(n)

递归W类型： $W^{(R)} (A : U^{(R)}, B : A \to U^{(R)}) := μ X . a : A \sum B (a) \to^{(R)} X$

递归计算规则

递归β-规则： $rec^{(R)} (C, c_{0}, c_{s}, zero^{(R)}) \equiv^{(R)} c_{0}$ $rec^{(R)} (C, c_{0}, c_{s}, succ^{(R)} (n)) \equiv^{(R)} c_{s} (n, rec^{(R)} (C, c_{0}, c_{s}, n))$

递归η-规则： $f \equiv^{(R)} λ x . f (x)$

递归计算的相对论调制：所有递归计算都通过相对论指标 $η^{(R)} (k; m)$ 进行调制。

递归实在化解释

递归类型的集合模型： $∣ A ∣^{(R)} \subset H^{(R)}$

递归Kan结构：递归类型具有Kan fibration的性质，提升性质通过递归填充实现。

递归2-范畴模型： $Type^{(R)} ⊨ locally Cartesian closed 2-category^{(R)}$

递归立方类型论

递归立方体： $I^{(R)} := 递归区间类型$

递归路径类型的立方实现： $Path^{(R)} (A, a, b) := A^{I^{(R)}}$

其中端点条件： $p (0^{(R)}) \equiv^{(R)} a, p (1^{(R)}) \equiv^{(R)} b$

递归connection： $conn^{(R)} : (ij : I^{(R)}) \to η^{(R)} (max (i, j); min (i, j)) \cdot I^{(R)}$

Recursive Inductive nat^R : Type^R :=
  | O^R : nat^R
  | S^R : nat^R -> nat^R.

Recursive Definition plus^R (n m : nat^R) : nat^R :=
  match n with
  | O^R => m
  | S^R p => S^R (plus^R p m)
  end.

递归形式化验证

递归程序的形式化验证：通过递归依值类型规范程序的递归性质：

fib^R : (n : Nat^R) → {result : Nat^R // result = F_n^R}
fib^R zero^R = (0^R, refl^R)
fib^R (succ^R zero^R) = (1^R, refl^R)  
fib^R (succ^R (succ^R n)) = 
  let (fn, pf_n) = fib^R n in
  let (fsn, pf_sn) = fib^R (succ^R n) in
  (fn + fsn, recursive_fibonacci_proof^R)