24.2 递归同伦类型与等价性

同伦结构的递归表示

递归同伦层次

递归n-类型的定义： 类型$A$是递归$n$-类型，如果所有$(n+1)$-路径都是contractible： $$\text{is-}n{\text{-type}}^{(R)}(A):=\prod _{x,y:A}\text{is-}(n-1){\text{-type}}^{(R)}(x{=}_A^{(R)}y)$$

递归同伦层次的分类：

• 递归命题：$(-1)$-类型，${\text{isProp}}^{(R)}(A)$
• 递归集合：$0$-类型，${\text{isSet}}^{(R)}(A)$
• 递归群胚：$1$-类型
• 递归2-群胚：$2$-类型
• 递归∞-群胚：所有有限$n$-类型

递归等价性理论

递归quasi-inverse： 函数$f:A{\to }^{(R)}B$的递归准逆： $${\text{qinv}}^{(R)}(f):=\sum _{g:B{\to }^{(R)}A}(f{\circ }^{(R)}g{\sim }^{(R)}{\text{id}}_B)\times (g{\circ }^{(R)}f{\sim }^{(R)}{\text{id}}_A)$$

递归同伦： $$f{\sim }^{(R)}g:=\prod _{x:A}f(x){=}_B^{(R)}g(x)$$

递归等价性的等价定义： $${\text{isEquiv}}^{(R)}(f){\simeq }^{(R)}{\text{qinv}}^{(R)}(f)$$

递归同伦纤维

递归纤维的定义： $${\text{fiber}}^{(R)}(f,b):=\sum _{a:A}f(a){=}_B^{(R)}b$$

递归同伦纤维的性质：

• 连通性：$f$的递归连通纤维对应surjective性
• 离散性：$f$的递归离散纤维对应injective性
• 等价性：所有纤维contractible对应等价性

递归loop空间

递归基点空间： $$(A,a_0)\text{ with }{a}_0:A$$

递归loop空间： $${\Omega }^{(R)}(A,a_0):=(a_0{=}_A^{(R)}{a}_0)$$

递归多重loop空间： $${\Omega }^{(R)n}(A,a_0):={\Omega }^{(R)}({\Omega }^{(R)(n-1)}(A,a_0))$$

递归loop空间的群结构： $${\mu }^{(R)}:{\Omega }^{(R)}(A)\times {\Omega }^{(R)}(A)\to {\Omega }^{(R)}(A)$$

通过递归路径复合实现。

递归悬挂与余悬挂

递归悬挂： $${\Sigma }^{(R)}A:={\text{pushout}}^{(R)}(A\leftarrow A\times I^{(R)}\to A)$$

递归悬挂-loop伴随： $$({\Sigma }^{(R)}⊣{\Omega }^{(R)}):{\text{Map}}^{(R)}({\Sigma }^{(R)}A,B){\simeq }^{(R)}{\text{Map}}^{(R)}(A,{\Omega }^{(R)}B)$$

递归Freudenthal悬挂定理： $${\pi }_k^{(R)}(A){\simeq }^{(R)}{\pi }_{k+1}^{(R)}({\Sigma }^{(R)}A)$$

在$k\le 2{\text{conn}}^{(R)}(A)$时成立。

递归同伦群

递归同伦群的定义： $${\pi }_n^{(R)}(A,a_0):=\Vert {\Omega }^{(R)n}(A,a_0){\Vert }_0^{(R)}$$

递归相对同伦群： $${\pi }_n^{(R)}(A,B,a_0):={\pi }_n^{(R)}({\text{Map}}_{\ast }^{(R)}(I^{(R)},A;\{0\}\mapsto B))$$

递归长正合序列： $$\cdots \to {\pi }_n^{(R)}(B)\to {\pi }_n^{(R)}(A)\to {\pi }_n^{(R)}(A,B)\to {\pi }_{n-1}^{(R)}(B)\to \cdots$$

递归fibration理论

递归Kan fibration： 类型族$P:A\to {\mathcal{U}}^{(R)}$是递归fibration，如果具有递归提升性质。

递归path fibration： $${\text{Path}}_A^{(R)}:A^{I^{(R)}}\to A\times A$$ $${\text{Path}}_A^{(R)}(p):=(p(0^{(R)}),p(1^{(R)}))$$

是递归fibration的典型例子。

递归同伦极限

递归homotopy pullback： $${\text{hpullback}}^{(R)}(f,g):=\sum _{x:A,y:B}f(x){=}_C^{(R)}g(y)$$

递归homotopy pushout： 通过递归高阶归纳类型定义。

递归spectral sequence： $$E_r^{p,q,(R)}{\Rightarrow }^{(R)}{\pi }_{p+q}^{(R)}(X)$$

递归模态类型论

递归模态算子： $${\square }^{(R)}:{\mathcal{U}}^{(R)}\to {\mathcal{U}}^{(R)}$$

满足递归模态公理：

• ${\square }^{(R)}A\to A$（递归反射性）
• ${\square }^{(R)}A\to {\square }^{(R)}{\square }^{(R)}A$（递归传递性）

递归可能性模态： $${◊}^{(R)}A:={\neg }^{(R)}{\square }^{(R)}({\neg }^{(R)}A)$$

基于递归否定的对偶构造。

递归HoTT的应用价值

形式化数学的递归基础

递归同伦类型论为形式化数学提供最自然的基础：

• 所有递归希尔伯特理论都可以在递归HoTT中表达
• 所有证明都具有计算内容
• 所有定义都具有递归结构

程序语言的类型基础

递归依值类型编程： 基于递归HoTT的编程语言设计：

• 程序的正确性可以在类型中表达
• 递归性质可以通过类型系统保证
• 性能优化可以通过递归结构实现

人工智能的递归基础

递归机器学习： 基于递归HoTT的AI理论：

• 递归神经网络的类型论基础
• 递归学习算法的形式化规范
• 递归智能系统的逻辑保证

递归同伦类型的哲学意义

递归同伦类型理论揭示了思维的递归本质：

• 概念不是静态定义：而是递归构造的动态过程
• 推理不是机械演算：而是递归直觉的逻辑展开
• 证明不是符号操作：而是递归理解的构造实现

这种认识将逻辑从形式符号提升为递归思维，将数学从抽象理论转化为活生生的递归过程。

递归HoTT的数学严谨性

递归同伦类型理论建立在23章数学基础之上：

• 逻辑严谨性：基于第13章递归逻辑
• 拓扑严谨性：基于第14章代数拓扑
• 范畴严谨性：基于第11章范畴论
• 递归严谨性：基于整个1-23章递归框架

递归HoTT不仅达到了类型论的最高水准，更重要的是，它揭示了类型论的递归本质：类型论是递归思维的逻辑表达。