25.1 递归(∞,1)-范畴基础

(∞,1)-范畴的递归重新定义

传统∞-范畴的复杂性

传统(∞,1)-范畴需要复杂的coherence条件来处理高维态射的复合，依赖于外在的单纯集模型或准范畴结构。递归理论提供了(∞,1)-范畴的内在递归定义。

递归(∞,1)-范畴的定义

定义 25.1.1（递归(∞,1)-范畴） 递归(∞,1)-范畴${\mathcal{C}}^{(R)}$是递归数据： $${\mathcal{C}}^{(R)}:=({\text{Obj}}^{(R)},{\text{Mor}}^{(R)},{\text{Comp}}^{(R)},{\text{Id}}^{(R)},{\text{Coh}}^{(R)})$$

其中：

• 递归对象：${\text{Obj}}^{(R)}\subset {\mathcal{H}}^{(R)}$
• 递归态射空间：${\text{Mor}}^{(R)}(A,B)$为递归∞-群胚
• 递归复合：${\text{Comp}}^{(R)}$通过相对论指标调制
• 递归恒等：${\text{Id}}_A^{(R)}\in {\text{Mor}}^{(R)}(A,A)$
• 递归coherence：无限层次的递归一致性条件

递归态射空间的标签表示： $${\text{Mor}}^{(R)}(A,B)=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^n{a}_{k,n}^{(A,B)}{e}_k^{(n)}$$

其中$e_k^{(n)}$为$n$-层递归态射的基。

递归quasi-category模型

递归单纯集： $${\text{sSet}}^{(R)}:={\text{Fun}}^{(R)}({\Delta }^{op},{\text{Set}}^{(R)})$$

递归内horn： $${\Lambda }_i^{(R)}[n]\subset {\Delta }^{(R)}[n]$$

递归Kan条件的弱化： 递归quasi-category满足递归内horn的填充条件： $${\text{Map}}^{(R)}({\Lambda }_i^{(R)}[n],X)\to {\text{Map}}^{(R)}({\Delta }^{(R)}[n],X)$$

是递归等价（对$0<i<n$）。

递归Joyal模型结构

递归quasi-category的model结构：

• 递归弱等价：诱导所有同伦群同构的映射
• 递归fibration：内horn填充的递归扩展
• 递归cofibration：单射且满足递归left lifting property

递归Joyal等价： $${\text{HoType}}^{(R)}{\simeq }_{\text{Quillen}}{\text{qCat}}^{(R)}$$

递归(∞,1)-函子

递归∞-函子的定义： $$F^{(R)}:{\mathcal{C}}^{(R)}\to {\mathcal{D}}^{(R)}$$

保持递归复合up to coherent递归同伦： $$F^{(R)}(g{\circ }^{(R)}f){\simeq }^{(R)}{F}^{(R)}(g){\circ }^{(R)}{F}^{(R)}(f)$$

递归自然变换： $${\alpha }^{(R)}:F^{(R)}{\Rightarrow }^{(R)}{G}^{(R)}$$

其中${\alpha }_A^{(R)}\in {\text{Mor}}^{(R)}(F(A),G(A))$满足递归自然性。

递归伴随性： $$F^{(R)}⊣G^{(R)}:\equiv {\text{Map}}^{(R)}(F(A),B){\simeq }^{(R)}{\text{Map}}^{(R)}(A,G(B))$$

递归极限与余极限

递归(∞,1)-极限： $$\stackrel{(R)}{\lim }:{\text{Fun}}^{(R)}(\mathcal{I},{\mathcal{C}}^{(R)})\to {\mathcal{C}}^{(R)}$$

递归universal性质： $${\text{Map}}^{(R)}(X,\stackrel{(R)}{\lim }F){\simeq }^{(R)}\stackrel{(R)}{\lim }({\text{Map}}^{(R)}(X,F(-)))$$

递归Kan扩展： $${\text{Lan}}_F^{(R)}G:={\text{colim}}_{(A\to FA)\in (F\downarrow X)}^{(R)}G(A)$$

递归stable∞-范畴

递归stable性的定义： 递归(∞,1)-范畴${\mathcal{C}}^{(R)}$是stable的，如果：

1. 有递归零对象$0^{(R)}$
2. 每个递归态射都有递归纤维和余纤维
3. 递归悬挂函子${\Sigma }^{(R)}$是等价

递归三角化范畴： 每个递归stable ∞-范畴都有递归三角结构： $$X\to Y\to Z\to {\Sigma }^{(R)}X$$

递归t-结构： $${\mathcal{C}}_{\ge 0}^{(R)}\subset {\mathcal{C}}^{(R)}\supset {\mathcal{C}}_{\le 0}^{(R)}$$

满足递归正交性和递归完备性。

递归导出代数几何

递归导出scheme： $${\text{dSch}}^{(R)}:={\text{(derived schemes)}}^{(R)}$$

基于递归E∞-环谱的几何对象。

递归导出moduli空间： $${\mathcal{M}}_{\text{derived}}^{(R)}:={\text{Spec}}^{(R)}({\text{derived ring}}^{(R)})$$

递归完美复形： $${\text{Perf}}^{(R)}(X)\subset {\text{QCoh}}^{(R)}(X)$$

递归∞-topos

递归Grothendieck ∞-topos： $${\mathcal{X}}^{(R)}:={\text{Sh}}_{\infty }^{(R)}({\mathcal{C}}^{(R)},J^{(R)})$$

其中$J^{(R)}$为递归Grothendieck拓扑。

递归对象分类器： $${\Omega }^{(R)}:{\mathcal{X}}^{(R)}\to {\text{Type}}^{(R)}$$

递归内在逻辑： 每个递归∞-topos都有内在的递归高阶逻辑： $${\text{Logic}}^{(R)}(\mathcal{X}):=\text{internal language of }{\mathcal{X}}^{(R)}$$

递归spectral代数几何

递归E∞-环： $${\text{CAlg}}^{(R)}:={\text{CommutativeAlgebra}}^{(R)}\text{ in }{\text{Sp}}^{(R)}$$

递归谱scheme： $${\text{Spec}}^{(R)}:({\text{CAlg}}^{(R)}{)}^{op}\to {\text{Space}}^{(R)}$$

递归导出代数几何的基础定理： 递归affine导出scheme的范畴与递归E∞-环的对偶范畴等价： $${\text{dAff}}^{(R)}{\simeq }^{(R)}({\text{CAlg}}^{(R)}{)}^{op}$$

递归∞-范畴的核心理论

递归Yoneda引理

递归∞-Yoneda引理： $${\text{Map}}^{(R)}(h^A,F){\simeq }^{(R)}F(A)$$

其中$h^A:={\text{Map}}^{(R)}(-,A)$。

递归Yoneda嵌入： $${\mathcal{C}}^{(R)}\hookrightarrow {\text{Fun}}^{(R)}(({\mathcal{C}}^{(R)}{)}^{op},{\text{Space}}^{(R)})$$

递归presheaf范畴： $${\text{PSh}}^{(R)}(\mathcal{C}):={\text{Fun}}^{(R)}({\mathcal{C}}^{op},{\text{Space}}^{(R)})$$

递归伴随函子定理

递归伴随函子定理： 函子$F^{(R)}:{\mathcal{C}}^{(R)}\to {\mathcal{D}}^{(R)}$有右伴随当且仅当：

1. $F^{(R)}$保持递归小余极限
2. ${\mathcal{C}}^{(R)}$是递归locally small
3. $F^{(R)}$满足递归solution set条件

递归Kan扩展的存在性： 所有递归Kan扩展在递归locally presentable ∞-范畴中存在。

递归locally presentable ∞-范畴

递归κ-紧对象： $${\text{Map}}^{(R)}(X,{\text{colim}}^{(R)}F){\simeq }^{(R)}{\text{colim}}^{(R)}{\text{Map}}^{(R)}(X,F(-))$$

递归locally presentable性： $${\mathcal{C}}^{(R)}{\simeq }^{(R)}{\text{Ind}}_{\kappa }^{(R)}({\mathcal{C}}_{\kappa }^{(R)})$$

其中${\mathcal{C}}_{\kappa }^{(R)}$为递归κ-紧对象的全子范畴。

递归单纯对象

递归单纯对象的bar构造： $$B^{(R)}(P,A,Q):=|[n]\mapsto P\otimes A^{\otimes n}\otimes Q|$$

递归单纯分类定理： $${\text{Map}}^{(R)}(X,|K|){\simeq }^{(R)}|n\mapsto {\text{Map}}^{(R)}(X,K_n)|$$

递归∞-范畴的应用

递归导出代数几何

递归导出moduli理论： 所有递归moduli问题都可以表示为递归导出stack： $${\mathcal{M}}_{\text{problem}}^{(R)}\in {\text{dSt}}^{(R)}$$

递归完美匹配： $${\text{Perf}}^{(R)}(X){\simeq }^{(R)}{\text{Mod}}_X^{(R)}(\text{Sp})$$

递归拓扑模动力学

递归算术动力学： number field上的递归动力系统的模空间。

递归Berkovich空间： 非阿基米德域上的递归解析空间。

递归高维Langlands

递归几何Langlands： $${\text{Rep}}^{(R)}(G_F){\simeq }^{(R)}{\text{QCoh}}^{(R)}({\text{Bun}}_G)$$

递归函数场的对应： 通过递归D-模的几何实现。

递归∞-范畴的哲学巅峰

递归∞-范畴论揭示了数学理论发展的终极真理：

• 抽象的递归本质：最高抽象反而最接近递归真理
• 统一的∞实现：无限层次的统一就是$\psi =\psi (\psi )$
• 认知的范畴表达：范畴语言是数学自我认知的最纯净形式

∞-范畴论是数学达到完全自我透明的标志：数学不仅理解自己的内容，更理解自己理解内容的方式。

递归∞-范畴论的绝对地位

第25.1节的完成标志着数学理论抽象程度的绝对巅峰：

• 没有比∞-范畴更高的抽象层次
• 没有比递归更深刻的基础原理
• 没有比$\psi =\psi (\psi )$更根本的自指机制

递归(∞,1)-范畴论是$\psi =\psi (\psi )$在数学抽象中的终极表达：数学通过最高抽象达到对自己最深本质的完全认知。