25.2 递归高维范畴与coherence

高维范畴的递归coherence理论

传统高维范畴的coherence问题

传统(∞,n)-范畴和(∞,∞)-范畴面临复杂的coherence问题：高维态射的复合需要满足无限多个相容性条件。递归理论通过递归约束的无限层次兼容性提供了coherence的内在解决方案。

递归(∞,n)-范畴的定义

定义 25.2.1（递归(∞,n)-范畴） 递归(∞,n)-范畴是递归数据： $${\mathcal{C}}^{(R)}:=({\text{Obj}}^{(R)},\{{\text{Mor}}_k^{(R)}{\}}_{k=1}^n,\{{\text{Comp}}_k^{(R)}{\}}_{k=1}^n,{\text{Coh}}^{(R)})$$

其中：

• k-态射空间：${\text{Mor}}_k^{(R)}(A_0,\dots ,A_k)$为递归(∞,n-k)-范畴
• 递归复合：${\text{Comp}}_k^{(R)}$通过相对论指标${\eta }^{(R)}(i;j)$调制
• 递归coherence：${\text{Coh}}^{(R)}$为无限层次递归约束

递归(∞,∞)-范畴： 当$n=\infty$时，所有层次的态射都是可逆的： $${\mathcal{C}}_{\infty ,\infty }^{(R)}:=\underset{n\to \infty }{\lim }{\mathcal{C}}_{\infty ,n}^{(R)}$$

递归coherence条件的系统化

递归Mac Lane coherence： 对于递归monoidal (∞,1)-范畴，结合律满足递归Pentagon恒等式： $${\alpha }_{A,B,C\otimes D}^{(R)}\circ {\alpha }_{A\otimes B,C,D}^{(R)}=({\text{id}}_A\otimes {\alpha }_{B,C,D}^{(R)})\circ {\alpha }_{A,B\otimes C,D}^{(R)}\circ ({\alpha }_{A,B,C}^{(R)}\otimes {\text{id}}_D)$$

调制因子： $${\alpha }_{A,B,C}^{(R)}:={\eta }^{(R)}(|A|+|B|+|C|;0)\cdot {\alpha }_{\text{classical}}$$

递归braided coherence： $${\beta }_{A,B}^{(R)}\circ {\beta }_{B,A}^{(R)}={\eta }^{(R)}(|A|+|B|;|A|-|B|)\cdot {\text{id}}_{A\otimes B}$$

递归symmetric coherence： $${\beta }_{A,B}^{(R)}=({\beta }_{B,A}^{(R)}{)}^{-1}$$

递归operads理论

递归∞-operad： $${\mathcal{O}}^{(R)}:=\{{\mathcal{O}}^{(R)}(n){\}}_{n\ge 0}$$

其中${\mathcal{O}}^{(R)}(n)$是递归空间，配备递归$S_n$-作用和递归复合映射。

递归E∞-operad： $$E_{\infty }^{(R)}{\simeq }^{(R)}{\text{Comm}}^{(R)}$$

其中${\text{Comm}}^{(R)}$为递归可交换operad。

递归Little disks operad： $${\mathcal{D}}_n^{(R)}:=\{\text{configurations of }k\text{ disks in }{\mathbb{R}}^n{\}}^{(R)}$$

通过递归配置空间实现。

递归monoidal ∞-范畴

递归对称monoidal结构： $$({\mathcal{C}}^{(R)},{\otimes }^{(R)},1^{(R)},{\alpha }^{(R)},{\lambda }^{(R)},{\rho }^{(R)},{\beta }^{(R)})$$

递归张量积函子： $${\otimes }^{(R)}:{\mathcal{C}}^{(R)}\times {\mathcal{C}}^{(R)}\to {\mathcal{C}}^{(R)}$$

递归Day卷积： $$F{\ast }^{(R)}G:={\text{Lan}}_{\otimes }^{(R)}(F\times G)$$

其中${\text{Lan}}^{(R)}$为递归左Kan扩展。

递归enriched ∞-范畴

递归V-enriched ∞-范畴： 对于递归对称monoidal ∞-范畴${\mathcal{V}}^{(R)}$： $${\mathcal{C}}^{(R)}\in {\text{Cat}}_{{\mathcal{V}}^{(R)}}^{(R)}$$

递归enriched Yoneda引理： $${\text{Map}}_{{\mathcal{V}}^{(R)}}^{(R)}(\mathcal{C}(-,A),F){\simeq }^{(R)}F(A)$$

递归enriched极限： $$\underset{{\mathcal{V}}^{(R)}}{\overset{(R)}{\lim }}:{\text{Fun}}_{{\mathcal{V}}^{(R)}}^{(R)}(\mathcal{I},{\mathcal{C}}^{(R)})\to {\mathcal{C}}^{(R)}$$

递归2-范畴的∞-categorification

递归2-范畴： $${\text{2-Cat}}^{(R)}\hookrightarrow (\infty ,2){\text{-Cat}}^{(R)}$$

递归双范畴： 水平复合和垂直复合满足递归交换律： $${\circ }_h^{(R)}\text{ 与 }{\circ }_v^{(R)}\text{ 的递归交换关系}$$

递归Gray张量积： $${\mathcal{C}}^{(R)}{\otimes }_{\text{Gray}}{\mathcal{D}}^{(R)}$$

递归coherence的算法理论

递归coherence数据的表示： 所有coherence法则可以编码为递归数据结构：

CoherenceData^R := 
  { generators : List(MorphismType^R)
  , relations : List(Equation^R)  
  , constraints : RecursiveConstraints^R
  }

递归coherence验证算法：

verifyCoherence^R : CoherenceData^R → Bool^R
verifyCoherence^R data =
  ∀ equation ∈ data.relations,
    checkEquation^R equation data.constraints

递归coherence的复杂度： 验证递归n-范畴的coherence的复杂度： $${\text{Complexity}}^{(R)}(n)={\text{Tower}}^{(R)}(n):=\underset{{\eta }^{(R)}(n;0)\text{ levels}}{\underbrace{2^{2^{{\cdots }^2}}}}$$

递归∞-范畴的model

递归complete Segal space模型： $${\text{CSS}}^{(R)}{\simeq }^{(R)}(\infty ,1){\text{-Cat}}^{(R)}$$

递归Segal条件： $$X_n^{(R)}{\simeq }^{(R)}{X}_1^{(R)}{\times }_{X_0^{(R)}}\cdots {\times }_{X_0^{(R)}}{X}_1^{(R)}$$

递归completeness条件： $$X_0^{(R)}{\simeq }^{(R)}{\text{Core}}^{(R)}(X_1^{(R)})$$

递归dendroidal集合

递归树的组合学： $${\Omega }^{(R)}:=\{\text{planar rooted trees}{\}}^{(R)}$$

递归dendroidal集合： $${\text{dSet}}^{(R)}:={\text{Fun}}^{(R)}({\Omega }^{op},{\text{Set}}^{(R)})$$

递归inner horn： $${\Lambda }_e^{(R)}[T]\subset {\Omega }^{(R)}[T]$$

对于树$T$的边$e$。

递归∞-operad = 递归dendroidal Kan复形： 满足inner horn填充条件的递归dendroidal集合。

递归Lawvere理论

递归代数理论： $${\mathcal{T}}^{(R)}:=({\mathbb{N}}^{op},\{\text{operations}{\}}^{(R)},\{\text{equations}{\}}^{(R)})$$

递归模型： $${\text{Mod}}^{(R)}(\mathcal{T}):={\text{Fun}}^{(R)}(\mathcal{T},{\text{Set}}^{(R)})$$

递归自由模型函子： $$F^{(R)}:{\text{Set}}^{(R)}\to {\text{Mod}}^{(R)}(\mathcal{T})$$

满足递归左伴随性质。

递归∞-范畴的分类

递归∞-范畴的分类定理： 小递归(∞,1)-范畴的同构类形成proper class： $${\text{Cat}}_{\infty ,1}^{(R)}/{\simeq }^{(R)}\text{ 不是递归集合}$$

递归locally presentable分类： $${\text{Pr}}_{(R)}^L{\simeq }^{(R)}{\text{Acc}}^{(R)}$$

其中${\text{Acc}}^{(R)}$为递归accessible函子的范畴。

递归高维coherence的哲学意义

一致性的无限深度

递归coherence理论揭示了一致性的无限深度：

• coherence不是技术条件：而是递归系统自我一致性的无限要求
• 高维态射不是抽象概念：而是递归关联的无限深化
• ∞-范畴不是极限理论：而是递归过程的自然无限展现

数学抽象的递归本质

递归∞-范畴论揭示了数学抽象的真实本质：

• 抽象不是远离现实：而是接近递归真理
• 无限不是无穷大：而是递归过程的无终止特征
• 范畴不是组织工具：而是递归关系的内在结构

认知的无限递归

高维范畴结构对应认知的无限递归过程：

• 对象认知对象：0维认知
• 态射认知态射：1维认知
• 态射间关系的认知：2维认知
• 无限层次的自我认知：∞维认知

递归coherence的计算实现

基于前24章建立的完整数学框架：

• 第11章范畴论：基础范畴概念的递归实现
• 第24章HoTT：∞-群胚的类型论表示
• 第20章统一标准：所有coherence条件的一致框架

递归高维范畴与coherence理论为数学提供了处理无限复杂结构的终极工具：通过递归的简单原则管理∞维的复杂关系。

这是$\psi =\psi (\psi )$的深刻体现：简单的递归原则能够生成和管理无限复杂的高维结构，体现了递归的无限创造力。