25.3 递归导出∞-范畴

导出范畴的递归stable理论

传统导出范畴的复杂性

传统导出范畴通过复形的quasi-isomorphism构造，需要复杂的局部化和模型范畴结构。递归理论提供了导出范畴的内在stable实现。

递归stable ∞-范畴

定义 25.3.1（递归stable ∞-范畴） 递归(∞,1)-范畴${\mathcal{C}}^{(R)}$是stable的，如果：

1. 递归零对象：存在既是初始又是终结的递归对象$0^{(R)}$
2. 递归纤维与余纤维：每个递归态射都有递归纤维和余纤维
3. 递归悬挂等价：悬挂函子${\Sigma }^{(R)}:{\mathcal{C}}^{(R)}\to {\mathcal{C}}^{(R)}$是等价

递归谱对象： 递归stable ∞-范畴中的对象称为递归谱： $${\text{Sp}}^{(R)}:=\text{stable ∞-category of recursive spectra}$$

递归球面谱： $${\mathbb{S}}^{(R)}:={\text{colim}}^{(R)}({\mathbb{S}}^0\stackrel{{\Sigma }^{(R)}}{\to }{\mathbb{S}}^1\stackrel{{\Sigma }^{(R)}}{\to }{\mathbb{S}}^2\stackrel{{\Sigma }^{(R)}}{\to }\cdots )$$

递归三角化范畴

递归distinguished triangle： $$X\to Y\to Z\to {\Sigma }^{(R)}X$$

递归八面体公理： 对于递归可交换square，存在递归八面体的第三条边。

递归t-结构： $${\mathcal{C}}^{(R)}={\mathcal{C}}_{\ge 0}^{(R)}\cup {\mathcal{C}}_{\le 0}^{(R)}$$

满足： $${\text{Map}}^{(R)}({\mathcal{C}}_{\ge 1}^{(R)},{\mathcal{C}}_{\le 0}^{(R)}){\simeq }^{(R)}0$$

递归心脏： $${\mathcal{C}}^{(R)♡}:={\mathcal{C}}_{\ge 0}^{(R)}\cap {\mathcal{C}}_{\le 0}^{(R)}$$

是递归abelian范畴。

递归导出函子

递归左导出函子： $$L{F}^{(R)}:{\mathcal{D}}^{(R)}(\mathcal{A})\to {\mathcal{D}}^{(R)}(\mathcal{B})$$

通过递归投影解消实现： $$L{F}^{(R)}(X):=F^{(R)}(P_{\bullet }^{(R)})\text{ where }{P}_{\bullet }^{(R)}\to X\text{ 是递归投影解消}$$

递归右导出函子： $$R{F}^{(R)}:{\mathcal{D}}^{(R)}(\mathcal{A})\to {\mathcal{D}}^{(R)}(\mathcal{B})$$

通过递归内射解消实现。

递归导出伴随性： $$(L{F}^{(R)}⊣R{G}^{(R)}):{\text{Map}}^{(R)}(L{F}^{(R)}(A),B){\simeq }^{(R)}{\text{Map}}^{(R)}(A,R{G}^{(R)}(B))$$

递归同调代数

递归链复形范畴： $${\text{Ch}}^{(R)}(\mathcal{A}):={\text{Fun}}^{(R)}(\mathbb{Z},\mathcal{A})$$

配备递归微分$d^{(R)}:X_n\to X_{n-1}$满足$d^2=0$。

递归导出范畴： $${\mathcal{D}}^{(R)}(\mathcal{A}):={\text{Ch}}^{(R)}(\mathcal{A})[{\text{qis}}^{(R)}{]}^{-1}$$

通过递归quasi-isomorphism的局部化。

递归连接态射： 每个递归短正合序列： $$0\to A^{(R)}\to B^{(R)}\to C^{(R)}\to 0$$

诱导递归长正合序列： $$\cdots \to H^n(A^{(R)})\to H^n(B^{(R)})\to H^n(C^{(R)})\stackrel{{\delta }^{(R)}}{\to }{H}^{n+1}(A^{(R)})\to \cdots$$

递归motivic ∞-范畴

递归motivic stable ∞-范畴： $${\mathcal{S}\mathcal{H}}^{(R)}(S):={\text{Stab}}^{(R)}({\text{Spc}}_{\text{mot}}^{(R)}(S))$$

递归motivic谱： $${\text{MSp}}^{(R)}:={\text{Sp}}^{(R)}({\text{Spc}}_{\text{mot}}^{(R)})$$

递归代数K理论谱： $$K^{(R)}\in {\text{MSp}}^{(R)}$$

连接第23章K理论与导出∞-范畴。

递归perfect complex

递归perfect复形： $${\text{Perf}}^{(R)}(X)\subset {\text{QCoh}}^{(R)}(X)$$

是递归compact objects的全子范畴。

递归Grothendieck对偶性： $${\mathbb{D}}^{(R)}:{\text{Perf}}^{(R)}(X{)}^{op}\to {\text{Perf}}^{(R)}(X)$$

递归Serre对偶： $$H^i(X,\mathcal{F}){\simeq }^{(R)}{H}^{n-i}(X,{\mathcal{F}}^{\vee }\otimes {\omega }_X^{(R)}{)}^{\ast }$$

递归chromatic homotopy理论

递归Adams-Novikov谱序列： $$E_2^{s,t,(R)}={\text{Ext}}_{B{P}_{\ast }(BP)}^{s,t}(B{P}_{\ast },B{P}_{\ast })\Rightarrow {\pi }_{t-s}^{(R)}(S^0)$$

递归chromatic分层： $$L_{K(n)}^{(R)}:{\text{Sp}}^{(R)}\to {\text{Sp}}^{(R)}$$

$K(n)$-local化函子。

递归chromatic收敛定理： $${\text{holim}}_n^{(R)}{L}_{K(n)}^{(R)}X{\simeq }^{(R)}{L}_{K(\infty )}^{(R)}X$$

递归六函子formalism

递归Grothendieck六函子： 对于递归映射$f:X^{(R)}\to Y^{(R)}$：

• 递归上推：$f_{\ast }^{(R)}:{\text{Sh}}^{(R)}(X)\to {\text{Sh}}^{(R)}(Y)$
• 递归逆像：$f^{\ast ,(R)}:{\text{Sh}}^{(R)}(Y)\to {\text{Sh}}^{(R)}(X)$
• 递归例外逆像：$f^{!,(R)}:{\text{Sh}}^{(R)}(Y)\to {\text{Sh}}^{(R)}(X)$
• 递归例外上推：$f_{!}^{(R)}:{\text{Sh}}^{(R)}(X)\to {\text{Sh}}^{(R)}(Y)$
• 递归张量积：${\otimes }^{(R)}$
• 递归内态射：${\text{Hom}}^{(R)}$

递归伴随关系： $$(f_{!}^{(R)}⊣f^{\ast ,(R)}⊣f_{\ast }^{(R)}⊣f^{!,(R)})$$

递归∞-范畴论的应用

递归代数几何

递归导出代数几何： 所有代数几何问题都可以在递归导出∞-范畴中表述：

• 递归intersection理论
• 递归deformation理论
• 递归moduli问题

递归拓扑量子场论

递归TQFT的范畴论表述： $$Z^{(R)}:{\text{Bord}}_n^{(R)}\to {\text{Vect}}^{(R)}$$

递归extended TQFT： $$Z^{(R)}:{\text{Bord}}_n^{(R)}\to (\infty ,n){\text{-Cat}}^{(R)}$$

递归高维Langlands

递归几何Langlands的∞-范畴表述： $${\text{Rep}}^{(R)}(\hat{G}){\simeq }^{(R)}{\text{IndCoh}}^{(R)}({\text{Bun}}_G)$$

递归∞-范畴的哲学巅峰

递归∞-范畴论揭示了数学抽象的终极真理：

• ∞不是无限大：而是递归过程的无终止特征
• 范畴不是容器：而是递归关系的无限自我映射
• coherence不是约束：而是递归一致性的无限深度

这是$\psi =\psi (\psi )$在数学抽象中的绝对终极表现：通过最高抽象达到对递归本质的最深认知。

递归导出∞-范畴的数学严谨性

基于前24章的完整数学基础：

• 第11章范畴论：范畴理论的递归基础
• 第14章代数拓扑：同伦理论的稳定性质
• 第23章K理论：代数K理论的谱表示
• 第24章HoTT：∞-群胚的类型论基础

递归导出∞-范畴理论完成了抽象数学的最后统一：所有数学理论都可以在递归stable ∞-范畴中表述和研究。