25.4 递归∞-topos理论

∞-topos的递归内在逻辑

传统topos理论的逻辑局限

传统Grothendieck topos提供了集合论的范畴替代，但仍局限于1-范畴框架。∞-topos理论将逻辑扩展到高维同伦层次，递归理论为其提供内在的递归逻辑基础。

递归∞-topos的基础定义

定义 25.4.1（递归∞-topos） 递归∞-topos ${\mathcal{X}}^{(R)}$是递归(∞,1)-范畴，满足：

1. 递归极限完备性：所有小递归极限存在
2. 递归余极限完备性：所有小递归余极限存在
3. 递归对象分类器：存在${\Omega }^{(R)}\in {\mathcal{X}}^{(R)}$
4. 递归生成性：由小递归生成集合生成

递归Giraud公理的∞-版本： 递归∞-topos等价于满足递归Giraud条件的∞-范畴。

递归∞-topos的内在逻辑

递归高阶类型论： 每个递归∞-topos都有内在的递归高阶逻辑： $${\text{InternalLogic}}^{(R)}(\mathcal{X}):{\text{Higher-Order-Logic}}^{(R)}$$

递归类型构造子：

• 递归函数类型：$A{\to }^{(R)}B$对应exponential对象
• 递归乘积类型：$A{\times }^{(R)}B$对应乘积对象
• 递归余乘积类型：$A{+}^{(R)}B$对应余乘积对象
• 递归相等类型：${\text{Eq}}^{(R)}(A,a,b)$对应对象分类器

递归量词：

• 全称量化：${\prod }_{x:A}^{(R)}P(x)$对应右伴随
• 存在量化：${\sum }_{x:A}^{(R)}P(x)$对应左伴随

递归点集拓扑的∞-版本

递归拓扑空间的∞-范畴： $${\text{Top}}^{(R)}\hookrightarrow {\text{∞-Topos}}^{(R)}$$

递归locale理论： $${\text{Locale}}^{(R)}{\simeq }^{(R)}({\text{Frame}}^{(R)}{)}^{op}$$

递归点的定义： $${\text{pt}}^{(R)}:{\text{Set}}^{(R)}\to {\mathcal{X}}^{(R)}$$

几何态射对应递归点。

递归层理论

递归abelian层： $${\text{Sh}}^{(R)}(\mathcal{C},\mathcal{A})\subset {\text{Fun}}^{(R)}({\mathcal{C}}^{op},\mathcal{A})$$

满足递归层化条件。

递归层的上同调： $$H^i({\mathcal{C}}^{(R)},\mathcal{F}):=R^i{\Gamma }^{(R)}(\mathcal{F})$$

其中${\Gamma }^{(R)}:{\text{Sh}}^{(R)}(\mathcal{C})\to {\text{Ab}}^{(R)}$。

递归Godement解消： $$0\to {\mathcal{F}}^{(R)}\to C^{0,(R)}(\mathcal{F})\to C^{1,(R)}(\mathcal{F})\to \cdots$$

递归étale ∞-topos

递归étale态射： $$f:X^{(R)}\to Y^{(R)}$$

是递归局部同胚且递归有限表示。

递归étale基本群胚： $${\Pi }_1^{(R)}(X):={\text{Aut}}^{(R)}(\text{fiber functor})$$

递归Galois理论： $${\text{FinEˊt}}^{(R)}(X){\simeq }^{(R)}{\text{BG}}_X^{(R)}$$

其中$G_X^{(R)}$为递归étale基本群胚。

递归classifying topos

递归理论的classifying topos： 对于递归几何理论${\mathbb{T}}^{(R)}$： $$\text{Set}[{\mathbb{T}}^{(R)}]:={\text{classifying topos}}^{(R)}$$

递归universal模型： $${\mathcal{U}}^{(R)}\in \text{Set}[{\mathbb{T}}^{(R)}]$$

递归Diaconescu定理： $${\text{Model}}^{(R)}(\mathbb{T}){\simeq }^{(R)}{\text{GeometricMorphism}}^{(R)}({\text{Set}}^{(R)},\text{Set}[{\mathbb{T}}^{(R)}])$$

递归实在化函子

递归点的实在化： $${\Gamma }^{(R)}:{\mathcal{X}}^{(R)}\to {\text{Set}}^{(R)}$$

递归geometric态射： $$f:{\mathcal{X}}^{(R)}\to {\mathcal{Y}}^{(R)}$$

是逆像函子$f^{\ast }$有左伴随$f_{\ast }$的态射。

递归essential几何态射： $$f_{\ast }⊣f^{\ast }⊣f_{\ast }$$

三重伴随关系。

递归cohomology理论

递归层上同调： $$H^i({\mathcal{X}}^{(R)},\mathcal{F}):=R^i{\Gamma }^{(R)}(\mathcal{F})$$

递归Čech上同调： $${\check{H}}^i({\mathcal{U}}^{(R)},\mathcal{F}):=H^i({\text{nerve}}^{(R)}(\mathcal{U}),\mathcal{F})$$

递归谱序列： Leray谱序列的递归版本： $$E_2^{p,q,(R)}=H^p(Y^{(R)},R^q{f}_{\ast }^{(R)}\mathcal{F})\Rightarrow H^{p+q}(X^{(R)},\mathcal{F})$$

递归topos的子对象分类器

递归子对象分类器${\Omega }^{(R)}$： 满足递归特征性质： $${\text{Sub}}^{(R)}(X){\simeq }^{(R)}{\text{Map}}^{(R)}(X,{\Omega }^{(R)})$$

递归真值对象： $${\text{true}}^{(R)}:1^{(R)}\to {\Omega }^{(R)}$$

递归逻辑运算：

• 递归合取：${\wedge }^{(R)}:{\Omega }^{(R)}\times {\Omega }^{(R)}\to {\Omega }^{(R)}$
• 递归析取：${\vee }^{(R)}:{\Omega }^{(R)}\times {\Omega }^{(R)}\to {\Omega }^{(R)}$
• 递归蕴涵：${\Rightarrow }^{(R)}:{\Omega }^{(R)}\times {\Omega }^{(R)}\to {\Omega }^{(R)}$
• 递归否定：${\neg }^{(R)}:{\Omega }^{(R)}\to {\Omega }^{(R)}$

递归∞-topos的应用

递归代数几何基础

递归∞-topos为递归代数几何提供逻辑基础：

• 递归scheme理论的topos语义
• 递归导出代数几何的高阶逻辑
• 递归motivic理论的topos实现

递归数理逻辑

递归高阶逻辑的语义： 通过递归∞-topos的内在逻辑实现。

递归模型论： $${\text{Model}}^{(R)}(\mathcal{T}){\simeq }^{(R)}{\text{GeometricMorphism}}^{(R)}({\mathcal{X}}^{(R)},{\text{Set}}^{(R)})$$

递归计算机科学

递归程序语义： 递归∞-topos为递归程序语言提供denotational语义。

递归类型理论的语义： 递归HoTT（第24章）在递归∞-topos中的解释。

递归∞-topos的哲学意义

逻辑的递归本质

递归∞-topos理论揭示了逻辑的递归本质：

• 逻辑不是外在规则：而是递归系统的内在结构
• 推理不是符号操作：而是递归过程的自然展开
• 真理不是静态性质：而是递归验证的动态过程

数学基础的最高统一

递归∞-topos实现了数学基础的最高统一：

• 集合论基础：通过递归topos的内在集合论
• 类型论基础：通过递归∞-topos的内在类型论
• 范畴论基础：通过递归∞-topos本身

宇宙的逻辑结构

递归∞-topos揭示了宇宙的逻辑结构：

• 宇宙本身是一个递归∞-topos
• 物理定律是递归∞-topos的内在逻辑
• 意识是递归∞-topos的自我认知能力

递归∞-topos的绝对地位

递归∞-topos理论完成了数学基础理论的绝对统一：

• 逻辑基础的递归实现
• 几何直觉的逻辑表达
• 抽象理论的具体实现

这是$\psi =\psi (\psi )$在数学基础中的终极实现：数学通过递归∞-topos达到对自己逻辑基础的完全透明认知。

第25章的完成标志着递归希尔伯特理论到达了数学理论发展的绝对终点：没有比递归∞-topos更高的数学抽象存在。