29.1 量子数论希尔伯特空间的数学构造

引言

基于第28章建立的无限维度数理论和双重金字塔结构，本节建立量子数论的严格希尔伯特空间表示。我们将无限维度数${\mathcal{N}}_{\infty }$及其投影结构精确地对应到量子力学的态矢量和希尔伯特空间。

定义 29.1.1 (数论量子态空间)

基础希尔伯特空间 ${\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}$： $${\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}={\ell }^2(\mathbb{N})=\left\{|\psi ⟩=\sum _{n=1}^{\infty }{c}_n|n⟩:\sum _{n=1}^{\infty }|c_n{|}^2<\infty \right\}$$

其中$\{|n⟩{\}}_{n=1}^{\infty }$是标准正交基，满足： $$⟨m|n⟩={\delta }_{mn}$$

内积定义： $$⟨\psi |\varphi ⟩=\sum _{n=1}^{\infty }\overline{c_n}{d}_n$$

对于$|\psi ⟩={\sum }_n{c}_n|n⟩$和$|\varphi ⟩={\sum }_n{d}_n|n⟩$。

定义 29.1.2 (无限维度数的量子表示)

无限维度数的量子态： $$|{\mathcal{N}}_{\infty }⟩=\underset{N\to \infty }{\lim }\frac{1}{\sqrt{Z_N}}\sum _{n=1}^N{w}_n|n⟩$$

其中：

• $w_n$：权重函数，反映数字$n$在${\mathcal{N}}_{\infty }$中的“振幅“
• $Z_N={\sum }_{n=1}^N|w_n{|}^2$：归一化常数

权重函数的选择：基于第28章的理论，选择： $$w_n=\frac{1}{\sqrt{K(n)+{\log }_{2}T(n)+H(\text{Context}(n))}}$$

其中$K(n),T(n),H(\text{Context}(n))$如第28.16节定义。

定理 29.1.1 (量子态的存在性和唯一性)

存在性：权重函数$w_n$定义的级数${\sum }_{n=1}^{\infty }|w_n{|}^2$收敛，因此$|{\mathcal{N}}_{\infty }⟩\in {\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}$。

证明： 由于$K(n)\ge {\log }_{2}n-O(\log \log n)$，有： $$|w_n{|}^2\le \frac{C}{n(\log n{)}^{\alpha }}$$

对于适当选择的$\alpha >1$，级数${\sum }_n|w_n{|}^2$收敛。 $\square$

唯一性：在给定权重函数的情况下，$|{\mathcal{N}}_{\infty }⟩$由归一化条件唯一确定。

定义 29.1.3 (数论子空间的量子表示)

对于第28章定义的每个数类${\mathcal{L}}_k$，定义对应的子空间：

$${\mathcal{H}}_k=\text{span}\{|n⟩:n\in {\mathcal{L}}_k\}\subset {\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}$$

投影算符： $${\hat{P}}_k=\sum _{n\in {\mathcal{L}}_k}|n⟩⟨n|$$

性质：

1. ${\hat{P}}_k^2={\hat{P}}_k$（幂等性）
2. ${\hat{P}}_k^{†}={\hat{P}}_k$（自伴性）
3. $\text{Tr}({\hat{P}}_k)=|{\mathcal{L}}_k|$（如果有限）

定理 29.1.2 (子空间的正交分解)

正交分解定理：存在可数个互相正交的子空间$\{{\mathcal{H}}_k\}$使得：

$${\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}=\underset{k}{⨁}{\mathcal{H}}_k$$

其中$⨁$表示希尔伯特空间的正交直和。

证明： 步骤1：验证正交性 对于$k\ne j$，由于${\mathcal{L}}_k\cap {\mathcal{L}}_j=\varnothing$，有： $$⟨{\psi }_k|{\psi }_j⟩=\sum _{n\in {\mathcal{L}}_k}\sum _{m\in {\mathcal{L}}_j}\overline{c_n}{d}_m⟨n|m⟩=0$$

步骤2：验证完备性 $$\sum _k{\hat{P}}_k=\sum _k\sum _{n\in {\mathcal{L}}_k}|n⟩⟨n|=\sum _{n=1}^{\infty }|n⟩⟨n|=\hat{I}$$

因此分解是完备的。 $\square$

定义 29.1.4 (层级投影的量子实现)

层级投影算符 ${\hat{\Pi }}_{k\to k+1}$： $${\hat{\Pi }}_{k\to k+1}=\sum _{n\in {\mathcal{L}}_k}\sum _{m\in {\mathcal{L}}_{k+1}}{A}_{mn}|m⟩⟨n|$$

其中矩阵元$A_{mn}$由第28章的投影函数确定： $$A_{mn}=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }m={\Pi }_k(n)\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$

性质验证：

1. ${\hat{\Pi }}_{k\to k+1}{\hat{P}}_k={\hat{\Pi }}_{k\to k+1}$
2. ${\hat{P}}_{k+1}{\hat{\Pi }}_{k\to k+1}={\hat{\Pi }}_{k\to k+1}$
3. $\Vert {\hat{\Pi }}_{k\to k+1}\Vert \le 1$

定理 29.1.3 (量子投影的信息保持性)

信息保持定理：层级投影算符保持量子信息的总量：

$$⟨\psi |{\hat{P}}_k|\psi ⟩+⟨{\hat{\Pi }}_{k\to k+1}\psi |{\hat{P}}_{k+1}|{\hat{\Pi }}_{k\to k+1}\psi ⟩=⟨\psi |{\hat{P}}_k|\psi ⟩$$

证明： 利用投影算符的性质： $${\hat{P}}_{k+1}{\hat{\Pi }}_{k\to k+1}={\hat{\Pi }}_{k\to k+1}$$

因此： $$⟨{\hat{\Pi }}_{k\to k+1}\psi |{\hat{P}}_{k+1}|{\hat{\Pi }}_{k\to k+1}\psi ⟩=⟨\psi |{\hat{\Pi }}_{k\to k+1}^{†}{\hat{\Pi }}_{k\to k+1}|\psi ⟩$$

由于${\hat{\Pi }}_{k\to k+1}^{†}{\hat{\Pi }}_{k\to k+1}\le {\hat{P}}_k$，信息不会增加。 $\square$

定义 29.1.5 (数论相干态)

广义相干态 $|\alpha ,k⟩$： $$|\alpha ,k⟩=e^{-|\alpha {|}^2/2}\sum _{n\in {\mathcal{L}}_k}\frac{{\alpha }^{f(n)}}{\sqrt{f(n)!}}|n⟩$$

其中：

• $\alpha \in \mathbb{C}$：复参数
• $f:{\mathcal{L}}_k\to \mathbb{N}$：数字到自然数的映射（如$f(n)={\pi }^{-1}(n)$对于素数）

归一化验证： $$⟨\alpha ,k|\alpha ,k⟩=e^{-|\alpha {|}^2}\sum _{n\in {\mathcal{L}}_k}\frac{|\alpha {|}^{2f(n)}}{f(n)!}=1$$

当${\sum }_{n\in {\mathcal{L}}_k}\frac{|\alpha {|}^{2f(n)}}{f(n)!}=e^{|\alpha {|}^2}$时（需要选择合适的映射$f$）。

定理 29.1.4 (数论相干态的最小不确定性)

最小不确定性性质：数论相干态在某种意义下最小化不确定性关系：

$$\Delta {\hat{X}}_k\Delta {\hat{P}}_k=\frac{1}{2}|⟨[{\hat{X}}_k,{\hat{P}}_k]⟩|$$

其中${\hat{X}}_k,{\hat{P}}_k$是第$k$层的“位置“和“动量“算符：

• ${\hat{X}}_k={\sum }_{n\in {\mathcal{L}}_k}\log n\cdot |n⟩⟨n|$
• ${\hat{P}}_k=-i{\sum }_{n\in {\mathcal{L}}_k}\frac{d}{d(\log n)}|n⟩⟨n|$

定义 29.1.6 (数论真空态)

数论真空 $|0{⟩}_{\text{Number}}$： $$|0{⟩}_{\text{Number}}=\underset{\beta \to \infty }{\lim }\frac{{\sum }_n{e}^{-\beta E_n}|n⟩}{\sqrt{{\sum }_n{e}^{-2\beta E_n}}}$$

其中$E_n=K(n)+{\log }_{2}T(n)+H(\text{Context}(n))$是数字$n$的总“能量“。

性质：

1. 最低能量：$⟨0|{\hat{H}}_{\text{Number}}|0⟩=E_{\min }$
2. 真空湮灭：${\hat{a}}_k|0⟩=0$对所有湮灭算符
3. 平移不变性：在适当意义下对数字平移不变

定理 29.1.5 (Fock空间的数论构造)

数论Fock空间 $\mathcal{F}({\mathcal{H}}_{\mathbb{N}})$： $$\mathcal{F}({\mathcal{H}}_{\mathbb{N}})=\underset{n=0}{\overset{\infty }{⨁}}{\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}^{\otimes n}$$

多粒子态的构造： 对于数字集合$\{n_1,n_2,\dots ,n_k\}$： $$|n_1,n_2,\dots ,n_k⟩=\frac{1}{\sqrt{k!}}\sum _{\sigma \in S_k}(-1{)}^{\text{sgn}(\sigma )}|n_{\sigma (1)}⟩\otimes |n_{\sigma (2)}⟩\otimes \cdots \otimes |n_{\sigma (k)}⟩$$

这定义了反对称化的数论多体态（费米子型）。

定义 29.1.7 (数论产生湮灭算符)

产生算符 ${\hat{a}}_n^{†}$： $${\hat{a}}_n^{†}|n_1,n_2,\dots ,n_k⟩=|n,n_1,n_2,\dots ,n_k⟩$$

湮灭算符 ${\hat{a}}_n$： $${\hat{a}}_n|n_1,n_2,\dots ,n_k⟩=\sum _{i=1}^k{\delta }_{n,n_i}|n_1,\dots ,\widehat{n_i},\dots ,n_k⟩$$

其中$\widehat{n_i}$表示省略第$i$个数字。

反对易关系： $$\{{\hat{a}}_m,{\hat{a}}_n^{†}\}={\delta }_{mn},\{{\hat{a}}_m,{\hat{a}}_n\}=0,\{{\hat{a}}_m^{†},{\hat{a}}_n^{†}\}=0$$

定理 29.1.6 (数论态的完备性)

完备性定理：数论态集合$\{|n_1,n_2,\dots ,n_k⟩\}$在Fock空间中完备：

$$\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{n_1<n_2<\cdots <n_k}|n_1,n_2,\dots ,n_k⟩⟨n_1,n_2,\dots ,n_k|={\hat{I}}_{\mathcal{F}}$$

证明： 步骤1：单粒子完备性 $$\sum _{n=1}^{\infty }|n⟩⟨n|={\hat{I}}_{{\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}}$$

步骤2：多粒子扩展 利用张量积的性质和反对称化： $$\underset{k=0}{\overset{\infty }{⨁}}\text{Anti-Sym}({\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}^{\otimes k})=\mathcal{F}({\mathcal{H}}_{\mathbb{N}})$$

步骤3：完备性传递 单粒子态的完备性通过反对称化传递到多粒子态。 $\square$

定义 29.1.8 (数论密度算符)

混合态的密度算符表示： $$\hat{\rho }=\sum _i{p}_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|$$

其中$p_i\ge 0$，${\sum }_i{p}_i=1$。

纯态条件： $$\text{Tr}({\hat{\rho }}^2)=1\iff \hat{\rho }=|\psi ⟩⟨\psi |$$

混合度量化： $$S(\hat{\rho })=-\text{Tr}(\hat{\rho }\log \hat{\rho })$$

定理 29.1.7 (数论量子态的分类)

纯态分类：根据在不同数类中的分布，数论纯态可分类为：

1. 自然数主导态：$⟨{\hat{P}}_0⟩>1-ϵ$
2. 素数主导态：$⟨{\hat{P}}_1⟩>1-ϵ$
3. 混合态：没有单一数类占主导
4. 高阶稀疏态：主要分布在$k\ge 2$的稀疏数类中

分类判据： $$\text{Type}(|\psi ⟩)=\arg \underset{k}{\max }⟨\psi |{\hat{P}}_k|\psi ⟩$$

定义 29.1.9 (数论相干长度)

空间相干长度 ${\xi }_{\text{spatial}}$： $${\xi }_{\text{spatial}}=\frac{1}{\sqrt{⟨(\Delta \hat{N}{)}^2⟩}}$$

其中$\hat{N}={\sum }_{n}n|n⟩⟨n|$是数字算符。

时间相干长度 ${\xi }_{\text{temporal}}$： $${\xi }_{\text{temporal}}=\frac{\hslash }{⟨(\Delta \hat{H}{)}^2⟩}$$

其中$\hat{H}$是数论哈密顿算符。

定理 29.1.8 (量子数论态的渐近行为)

大数极限定理：当数字$n\to \infty$时，量子数论态趋于经典行为：

$$\underset{n\to \infty }{\lim }⟨n|\hat{O}|\psi ⟩\to \text{Classical}[\hat{O}](n)$$

对于任意数论观测算符$\hat{O}$。

证明要点： 利用WKB近似和对应原理，大数情况下量子效应被经典行为主导。

定义 29.1.10 (数论纠缠测度)

纠缠熵：对于复合系统${\mathcal{H}}_A\otimes {\mathcal{H}}_B$，定义纠缠熵： $$S_E=-\text{Tr}({\hat{\rho }}_A\log {\hat{\rho }}_A)$$

其中${\hat{\rho }}_A={\text{Tr}}_B({\hat{\rho }}_{AB})$是约化密度算符。

对于数论系统：考虑孪生素数$(p,p+2)$的纠缠： $$|\text{Twin}⟩=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{p:p+2\in \mathbb{P}}|p{⟩}_A\otimes |p+2{⟩}_B$$

纠缠熵计算： $$S_E(\text{Twin})=\log N$$

其中$N$是孪生素数对的总数。

定理 29.1.9 (数论态的稳定性)

稳定性判据：数论量子态的稳定性由其能量和纠缠结构决定：

$$\text{Stability}(|\psi ⟩)=-\frac{⟨\psi |\hat{H}|\psi ⟩}{⟨(\Delta \hat{H}{)}^2⟩}-\alpha S_E(|\psi ⟩)$$

其中$\alpha >0$是纠缠惩罚参数。

物理解释：

• 低能量态更稳定
• 能量涨落小的态更稳定
• 高纠缠态不稳定（容易退相干）

数论希尔伯特空间的拓扑性质

定理 29.1.10 (弱拓扑的紧性)

弱紧性定理：数论态的单位球在弱拓扑下紧致：

$$\{|\psi ⟩\in {\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}:\Vert \psi \Vert =1\}$$

在弱拓扑$\sigma ({\mathcal{H}}_{\mathbb{N}},{\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}^{\ast })$下紧致。

证明： 这是希尔伯特空间的标准结果，利用Banach-Alaoglu定理。

推论 29.1.1 (态序列的收敛性)

任何有界的数论态序列$\{|{\psi }_n⟩\}$存在弱收敛子序列。

这保证了数论量子态空间的良好分析性质。

结论

本节建立了量子数论的严格希尔伯特空间框架，包括：

1. 基础空间构造：${\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}={\ell }^2(\mathbb{N})$
2. 量子态表示：$|{\mathcal{N}}_{\infty }⟩$的精确定义
3. 子空间分解：各数类对应的正交子空间
4. 投影算符：层级间投影的量子实现
5. 相干态构造：数论相干态的数学定义
6. 拓扑性质：希尔伯特空间的分析结构

所有定义都基于严格的泛函分析和量子力学公理，为后续章节的定理证明提供了坚实的数学基础。