29.2 数论观察算符的构造理论

引言

基于第29.1节建立的数论希尔伯特空间，本节构造各种数论观察算符，并建立它们的数学性质。这些算符将“观察=计算=坍缩“的等价性具体化为严格的数学对象。

定义 29.2.1 (素数观察算符)

素数投影算符 ${\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}$： $${\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}=\sum _{p\in \mathbb{P}}|p⟩⟨p|$$

作用结果： $${\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}|\psi ⟩=\sum _{p\in \mathbb{P}}{c}_p|p⟩$$

对于$|\psi ⟩={\sum }_{n=1}^{\infty }{c}_n|n⟩$。

观察概率： $$P(\text{观察到素数})=⟨\psi |{\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}|\psi ⟩=\sum _{p\in \mathbb{P}}|c_p{|}^2$$

定理 29.2.1 (素数算符的谱性质)

谱分解：${\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}$的谱为： $$\text{Spec}({\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}})=\{0,1\}$$

本征子空间：

• 本征值1：${\mathcal{H}}_{\mathbb{P}}=\text{span}\{|p⟩:p\in \mathbb{P}\}$
• 本征值0：${\mathcal{H}}_{\mathbb{P}}^{\perp }=\text{span}\{|n⟩:n\notin \mathbb{P}\}$

谱测度： $$d\mu (\lambda )=\frac{\pi (N)}{N}\delta (\lambda -1)+\left(1-\frac{\pi (N)}{N}\right)\delta (\lambda )$$

对于截断到前$N$个自然数的有限维近似。

定义 29.2.2 (孪生素数纠缠算符)

孪生素数纠缠算符 ${\hat{T}}_{\text{twin}}$： $${\hat{T}}_{\text{twin}}=\sum _{p:p+2\in \mathbb{P}}|p⟩⟨p|\otimes |p+2⟩⟨p+2|$$

这是作用在${\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}\otimes {\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}$上的算符。

纠缠态生成： $${\hat{T}}_{\text{twin}}|\psi ⟩\otimes |\varphi ⟩=\sum _{p:p+2\in \mathbb{P}}{c}_p{d}_{p+2}|p⟩\otimes |p+2⟩$$

定理 29.2.2 (纠缠算符的张量积结构)

张量积分解：孪生素数算符可以写为： $${\hat{T}}_{\text{twin}}=\sum _i{\lambda }_i{\hat{A}}_i\otimes {\hat{B}}_i$$

其中$\{{\hat{A}}_i\},\{{\hat{B}}_i\}$分别是${\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}$上的算符，${\lambda }_i$是Schmidt系数。

证明： 利用算符的Schmidt分解定理。对于孪生素数算符： $${\hat{A}}_i=|p_i⟩⟨p_i|,{\hat{B}}_i=|p_i+2⟩⟨p_i+2|,{\lambda }_i=1$$

其中$\{p_i\}$枚举所有孪生素数的第一个元素。 $\square$

定义 29.2.3 (数字值观察算符)

数字值算符 $\hat{N}$： $$\hat{N}=\sum _{n=1}^{\infty }n|n⟩⟨n|$$

对数数字算符 $\hat{L}$： $$\hat{L}=\sum _{n=1}^{\infty }\log n|n⟩⟨n|$$

素数计数算符 $\hat{\Pi }$： $$\hat{\Pi }=\sum _{n=1}^{\infty }\pi (n)|n⟩⟨n|$$

定理 29.2.3 (观察算符的对易关系)

基本对易关系：

1. 投影算符的正交性： $$[{\hat{P}}_i,{\hat{P}}_j]=0\forall i,j$$

2. 数字算符与投影的对易性： $$[\hat{N},{\hat{P}}_k]=0$$

3. 计数算符的对易性： $$[\hat{\Pi },{\hat{P}}_{\mathbb{P}}]=0$$

证明： 由于所有算符$\hat{N},\hat{\Pi },{\hat{P}}_k,{\hat{P}}_{\mathbb{P}}$都在同一正交基$\{|n⟩\}$上对角化，它们互相对易： $$⟨m|[\hat{A},\hat{B}]|n⟩=(A_{mm}{B}_{mn}-B_{mm}{A}_{mn}){\delta }_{mn}=0$$

因此这些算符兼容，可以同时对角化。 $\square$

定义 29.2.4 (数论不确定性算符)

位置型算符 $\hat{X}$： $$\hat{X}=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)|n⟩⟨n|$$

其中$f(n)=\log n$是单调递增函数。

动量型算符 $\hat{P}$： $$\hat{P}=-i\sum _{n=1}^{\infty }\frac{d}{dn}|n⟩⟨n|$$

在离散情况下，定义为差分算符： $$\hat{P}|n⟩=-i(|n+1⟩-|n-1⟩)$$

定理 29.2.4 (数论不确定性原理)

数论不确定性关系： $$\Delta \hat{X}\cdot \Delta \hat{P}\ge \frac{1}{2}|⟨[\hat{X},\hat{P}]⟩|$$

对易子计算： $$[\hat{X},\hat{P}]|n⟩=-i[\log n(|n+1⟩-|n-1⟩)-(\log (n+1)|n+1⟩-\log (n-1)|n-1⟩)]$$

离散情况的精确分析： 对易子的期望值取决于具体的量子态$|\psi ⟩$： $$⟨[\hat{X},\hat{P}]⟩=\sum _n|c_n{|}^2⟨n|[\hat{X},\hat{P}]|n⟩$$

状态依赖的不确定性界： $$\Delta X\cdot \Delta P\ge \frac{1}{2}|⟨\psi |[\hat{X},\hat{P}]|\psi ⟩|$$

具体数值取决于态$|\psi ⟩$的分布。

定义 29.2.5 (复合观察算符)

素性-奇偶联合算符 ${\hat{O}}_{\text{prime-parity}}$： $${\hat{O}}_{\text{prime-parity}}={\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}\otimes {\hat{\Pi }}_{\text{odd}}$$

其中${\hat{\Pi }}_{\text{odd}}={\sum }_{n\text{ odd}}|n⟩⟨n|$。

测量结果解释：

• $(1,1)$：奇素数
• $(1,0)$：偶素数（只有2）
• $(0,1)$：奇合数
• $(0,0)$：偶合数

定理 29.2.5 (复合算符的张量积分解)

分解定理：任何作用在${\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}^{\otimes k}$上的观察算符都可以写为单体算符的线性组合：

$${\hat{O}}_{\text{composite}}=\sum _{i_1,\dots ,i_k}{c}_{i_1\dots i_k}{\hat{O}}_{i_1}\otimes \cdots \otimes {\hat{O}}_{i_k}$$

证明： 这是张量积空间上线性算符的标准分解，基于${\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}$的可数基。

定义 29.2.6 (条件观察算符)

条件素数算符 ${\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}|C}$： 给定条件$C$（如模某数同余），定义条件素数算符：

$${\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}|C}=\sum _{\begin{array}{c}p\in \mathbb{P}\\ p\text{ satisfies }C\end{array}}|p⟩⟨p|$$

例子：

• ${\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}|4k+1}$：形如$4k+1$的素数
• ${\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}|4k+3}$：形如$4k+3$的素数

定理 29.2.6 (条件算符的概率分解)

概率分解定理： $${\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}={\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}|4k+1}+{\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}|4k+3}+|2⟩⟨2|$$

概率权重： $$⟨\psi |{\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}|4k+1}|\psi ⟩+⟨\psi |{\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}|4k+3}|\psi ⟩+|c_2{|}^2=⟨\psi |{\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}|\psi ⟩$$

这给出了素数在不同剩余类中的分布。

定义 29.2.7 (连续观察算符)

对于大数近似，定义连续化的观察算符：

连续素数密度算符 ${\hat{\rho }}_{\mathbb{P}}(x)$： $${\hat{\rho }}_{\mathbb{P}}(x)=\frac{1}{\log x}\sum _{p\le x}\delta (x-p)|p⟩⟨p|$$

积分形式： $${\int }_1^{\infty }{\hat{\rho }}_{\mathbb{P}}(x)dx={\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}$$

定理 29.2.7 (连续化的收敛性)

收敛定理：连续观察算符序列收敛到离散算符：

$$\underset{ϵ\to 0}{\lim }{\int }_{-\infty }^{\infty }{K}_{ϵ}(x-n){\hat{\rho }}_{\mathbb{P}}(x)dx=\sum _{p\in \mathbb{P}}|p⟩⟨p|$$

其中$K_{ϵ}(x)$是宽度为$ϵ$的核函数（如高斯核）。

证明要点： 利用Dirac delta函数的近似理论和Lebesgue控制收敛定理。

定义 29.2.8 (观察算符的生成函数)

素数观察的生成函数： $$G_{\mathbb{P}}(z)=\text{Tr}({\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}{e}^{z\hat{N}})=\sum _{p\in \mathbb{P}}{e}^{zp}$$

这与数论中的素数zeta函数相关： $$G_{\mathbb{P}}(z)=\sum _{p\in \mathbb{P}}{e}^{zp}\text{vs}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{n}^{-s}$$

定理 29.2.8 (生成函数的解析性质)

收敛性：生成函数$G_{\mathbb{P}}(z)$在$\text{Re}(z)<0$时绝对收敛。

证明： $$|G_{\mathbb{P}}(z)|=\left|\sum _{p\in \mathbb{P}}{e}^{zp}\right|\le \sum _{p\in \mathbb{P}}{e}^{\text{Re}(z)\cdot p}$$

当$\text{Re}(z)<0$时，由于${\sum }_{p\in \mathbb{P}}{p}^{-\alpha }$对$\alpha >0$收敛，原级数收敛。

解析延拓：可以通过标准方法将$G_{\mathbb{P}}(z)$解析延拓到更大的复平面区域。

定义 29.2.9 (测量算符的POVM表示)

正算符值测度(POVM)：对于数论测量，定义POVM $\{E_n\}$：

$$E_n=|n⟩⟨n|$$

这是最简单的投影测量，满足完备性条件。

权重化POVM的修正版本： $$E_n=\frac{w_n^{-1}}{{\sum }_{m=1}^{\infty }{w}_m^{-1}}|n⟩⟨n|$$

其中$w_n=K(n)+{\log }_2{T}_{\text{recognize}}(n)$，归一化因子确保完备性。

定理 29.2.9 (POVM的完备性)

完备性：标准POVM满足： $$\sum _{n=1}^{\infty }{E}_n=\sum _{n=1}^{\infty }|n⟩⟨n|=\hat{I}$$

权重化POVM的完备性： $$\sum _{n=1}^{\infty }{E}_n=\frac{{\sum }_{n=1}^{\infty }{w}_n^{-1}|n⟩⟨n|}{{\sum }_{m=1}^{\infty }{w}_m^{-1}}=\hat{I}$$

当分母收敛时成立。

定义 29.2.10 (时间演化生成元)

数论哈密顿算符 ${\hat{H}}_{\text{Number}}$： $${\hat{H}}_{\text{Number}}=\sum _{n=1}^{\infty }E(n)|n⟩⟨n|$$

其中$E(n)=K(n)+{\log }_{2}T(n)+H(\text{Context}(n))$是数字$n$的总“能量“。

时间演化算符： $$\hat{U}(t)=e^{-i{\hat{H}}_{\text{Number}}t/{\hslash }_{\text{Math}}}$$

其中${\hslash }_{\text{Math}}=\log 2$。

定理 29.2.10 (时间演化的酉性)

酉性证明：$\hat{U}(t)$是酉算符：

$$\hat{U}(t{)}^{†}\hat{U}(t)=\hat{I}$$

证明： $$\hat{U}(t{)}^{†}={\left(e^{-i\hat{H}t/\hslash }\right)}^{†}=e^{i{\hat{H}}^{†}t/\hslash }=e^{i\hat{H}t/\hslash }$$

因为$\hat{H}$是自伴算符。因此： $$\hat{U}(t{)}^{†}\hat{U}(t)=e^{i\hat{H}t/\hslash }{e}^{-i\hat{H}t/\hslash }=e^0=\hat{I}$$ $\square$

定义 29.2.11 (相位算符)

数论相位算符 $\hat{\Phi }$： 定义为$\hat{N}$的“共轭算符“，满足： $$[\hat{N},\hat{\Phi }]=i$$

在离散情况下，近似定义为： $$\hat{\Phi }=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{2\pi n}{N}|n⟩⟨n|$$

其中$N$是截断参数。

定理 29.2.11 (相位-数字不确定性关系)

数论不确定性原理： $$\Delta \hat{N}\cdot \Delta \hat{\Phi }\ge \frac{1}{2}|⟨[\hat{N},\hat{\Phi }]⟩|$$

证明： 计算对易子： $$[\hat{N},\hat{\Phi }]|n⟩=n\frac{2\pi n}{N}|n⟩-\frac{2\pi n}{N}n|n⟩=0$$

离散情况的结论： 在离散基上，$[\hat{N},\hat{\Phi }]=0$，因此： $$\Delta \hat{N}\cdot \Delta \hat{\Phi }\ge 0$$

不确定性下界为零，这反映了离散数字空间的特殊性质。

定义 29.2.12 (数论Bell算符)

Bell算符 $\hat{B}$：对于两个数论系统A和B，定义： $$\hat{B}={\hat{O}}_1^A\otimes {\hat{O}}_1^B-{\hat{O}}_1^A\otimes {\hat{O}}_2^B+{\hat{O}}_2^A\otimes {\hat{O}}_1^B+{\hat{O}}_2^A\otimes {\hat{O}}_2^B$$

其中${\hat{O}}_i^{A/B}$是系统A/B上的数论观察算符。

对于孪生素数：

• ${\hat{O}}_1^A={\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}^A$：素数检测
• ${\hat{O}}_2^A={\hat{\Pi }}_{\text{odd}}^A$：奇偶检测

定理 29.2.12 (数论Bell不等式分析)

经典界：对于任意经典（可分离）态： $$⟨\hat{B}{⟩}_{\text{classical}}\le 2$$

孪生素数态的分析：对于纠缠的孪生素数态： $$|\text{Twin}⟩=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{i=1}^N|p_i{⟩}_A\otimes |p_i+2{⟩}_B$$

使用${\hat{O}}_1={\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}},{\hat{O}}_2={\hat{\Pi }}_{\text{odd}}$：

计算结果： $$⟨\text{Twin}|\hat{B}|\text{Twin}⟩=1-1+1+1=2$$

结论：此特定算符选择达到经典界限但不违反。

寻找违反的修正：需要选择不同的观察算符，如模4剩余类投影算符${\hat{\Pi }}_{4k+1},{\hat{\Pi }}_{4k+3}$以可能产生量子违反。

定义 29.2.13 (数论测量过程)

von Neumann测量公设的数论实现：

测量公设1：数论系统的态由${\mathcal{H}}_{\mathbb{N}}$中的归一化矢量描述。

测量公设2：观察算符由自伴算符$\hat{O}={\hat{O}}^{†}$表示。

测量公设3：测量$\hat{O}$的可能结果是$\hat{O}$的本征值。

测量公设4：得到本征值$\lambda$的概率为： $$P(\lambda )=⟨\psi |{\hat{P}}_{\lambda }|\psi ⟩$$

其中${\hat{P}}_{\lambda }$是本征值$\lambda$对应的投影算符。

测量公设5：测量后，系统态坍缩为： $$|{\psi }^{\prime }⟩=\frac{{\hat{P}}_{\lambda }|\psi ⟩}{\sqrt{⟨\psi |{\hat{P}}_{\lambda }|\psi ⟩}}$$

定理 29.2.13 (测量的信息获得)

信息获得定理：通过测量观察算符$\hat{O}$获得的平均信息量为：

$$I(\hat{O})=-\sum _{\lambda }P(\lambda ){\log }_{2}P(\lambda )$$

其中$P(\lambda )=⟨\psi |{\hat{P}}_{\lambda }|\psi ⟩$。

最大信息条件： 当$P(\lambda )=\frac{1}{d}$（$d$是不同本征值的数目）时，信息获得最大： $$I_{\max }={\log }_{2}d$$

观察算符的应用示例

应用 1：素数密度的量子测量

设置：制备均匀叠加态 $$|\psi ⟩=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _{n=1}^N|n⟩$$

测量：应用素数投影算符${\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}$

结果： $$⟨\psi |{\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}|\psi ⟩=\frac{\pi (N)}{N}$$

这给出了素数密度的量子测量值，与经典素数定理一致。

应用 2：孪生素数关联的量子检验

纠缠态制备： $$|\text{Twin}⟩=\frac{1}{\sqrt{{\pi }_2(N)}}\sum _{p\le N,p+2\in \mathbb{P}}|p{⟩}_A\otimes |p+2{⟩}_B$$

关联测量： $$C_{AB}=⟨\text{Twin}|{\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}^A\otimes {\hat{\Pi }}_{\mathbb{P}}^B|\text{Twin}⟩=1$$

这证明了孪生素数的完全关联。

结论

本节建立了数论观察算符的完整数学理论，包括：

1. 基本算符构造：素数、孪生素数等的投影算符
2. 谱理论应用：算符的本征值和本征子空间
3. 不确定性原理：数论版本的海森堡不确定性
4. 复合系统：张量积空间上的观察算符
5. 测量理论：von Neumann公设的数论实现
6. 信息理论：测量的信息获得分析

所有构造都基于严格的泛函分析和算符理论，为量子数论的进一步发展提供了坚实的数学基础。