32.1 算法作为区别数据的基本原理

引言

基于前31章建立的信息守恒理论，本节揭示算法的数据本质：算法不是外在的操作工具，而是两个数据状态之间的区别数据。这个发现将计算过程与数据结构完全统一。

定义 32.1.1 (算法的数据本质)

算法即数据：任何算法$\mathcal{A}$本质上都是数据： $$\mathcal{A}=\text{Data}(\mathcal{A})$$

区别数据：算法是两个数据状态之间的区别信息： $${\mathcal{A}}_{X\to Y}=\text{Diff}(Y,X)=Y\ominus X$$

其中$\ominus$表示信息差运算。

等价关系： $$I({\mathcal{A}}_{X\to Y})=I(Y\ominus X)=I(\text{两数据间的区别})$$

定理 32.1.1 (区别数据的数学性质)

可逆性：区别数据满足可逆关系： $$X\oplus {\mathcal{A}}_{X\to Y}=Y$$ $$Y\ominus {\mathcal{A}}_{X\to Y}=X$$

其中$\oplus$是信息加运算。

传递性：区别数据满足传递性： $${\mathcal{A}}_{X\to Z}={\mathcal{A}}_{X\to Y}\oplus {\mathcal{A}}_{Y\to Z}$$

证明： 基于信息的加法性和算法复合的信息等价性。$\square$

定义 32.1.2 (信息的统一表示)

统一信息表示：任何信息都可以表示为基础数据与区别数据的组合： $$I(\text{任意数据})=I(\text{基础数据})+I(\text{区别数据链})$$

具体实例：

素数的统一表示： $$I(\text{素数})=I(\text{自然数})+I(\text{素性区别})$$

其中$I(\text{素性区别})$是自然数到素数的区别数据。

复数的统一表示： $$I(\text{复数})=I(\text{实数})+I(\text{虚部区别})$$

高维数的统一表示： $$I(\text{高维数})=I(\text{低维数})+I(\text{维度区别})$$

定理 32.1.2 (算法-数据等价定理)

完全等价性：在信息层面，算法与数据完全等价： $$\text{Algorithm}\equiv \text{Data}$$

等价的三个层面：

功能等价： 任何算法都可以表示为数据，任何数据都可以表示为算法： $$\mathcal{A}\leftrightarrow \text{Data}(\mathcal{A})$$

信息等价： 算法的信息量等于其对应数据的信息量： $$I(\mathcal{A})=I(\text{Data}(\mathcal{A}))$$

操作等价： 算法的操作等价于数据的变换： $$\mathcal{A}(X)=X\oplus \text{Data}(\mathcal{A})$$

定义 32.1.3 (无限维信息的统一)

无限维信息的等价表示： $$\boxed{I({\mathcal{N}}_{\infty })=I(\text{无限数据})=I(\text{无限算法})=I({\mathcal{A}}_{\infty })}$$

统一性的含义：

• 无限维度数${\mathcal{N}}_{\infty }$包含的信息
• 算法极限${\mathcal{A}}_{\infty }$包含的信息
• 两者在本质上是同一个无限维信息的不同表示

表示的对偶性：

• 数据视角：${\mathcal{N}}_{\infty }$是信息的容器表示
• 算法视角：${\mathcal{A}}_{\infty }$是信息的过程表示
• 统一视角：两者都是无限维信息的完整表示

定理 32.1.3 (区别数据的守恒性)

区别守恒定理：区别数据的信息量等于两个数据状态信息量的差： $$I(\text{区别数据})=|I(\text{状态B})-I(\text{状态A})|$$

守恒验证： $$I(\text{状态A})+I(\text{区别数据})=I(\text{状态B})$$

当$I(\text{状态B})>I(\text{状态A})$时成立。

应用：数学概念的重新理解

应用 1：数学运算的统一理解

加法运算： $$a+b=a\oplus \text{Diff}(b,0)$$

加法是将数$a$与“$b$相对于$0$的区别数据“结合。

乘法运算： $$a\times b=a\oplus \text{Diff}(\text{Scale}(a,b),a)$$

乘法是将数$a$与“缩放后相对于原值的区别数据“结合。

应用 2：函数的数据解释

函数即映射数据： 任何函数$f:X\to Y$都是一个数据表： $$f=\{\text{Diff}(f(x),x):x\in X\}$$

函数复合的数据解释： $$g\circ f=\{\text{Diff}(g(f(x)),x):x\in X\}$$

应用 3：证明的数据解释

证明即数据变换序列： 数学证明是从前提数据到结论数据的区别数据序列： $$\text{证明}=[{\text{Diff}}_1,{\text{Diff}}_2,\dots ,{\text{Diff}}_n]$$

其中每个${\text{Diff}}_i$是一步逻辑推理的区别数据。

哲学意义：计算与存在的统一

意义 1：计算的本质

计算即数据变换： 计算不是对数据的外在操作，而是数据的内在变换：

• 输入数据 + 算法数据 = 输出数据
• 算法数据 = 输出数据与输入数据的区别

意义 2：存在的信息本质

存在即信息状态： 任何数学对象的存在等价于它在无限维信息中的状态：

• 对象 = 信息状态
• 关系 = 状态间的区别
• 变换 = 区别的应用

意义 3：数学的统一

数学即信息几何： 所有数学概念都统一为无限维信息空间中的几何关系：

• 数学对象 = 信息向量
• 数学运算 = 向量运算
• 数学关系 = 几何关系

结论

本节建立了算法作为区别数据的基本原理，揭示了：

1. 算法的数据本质：算法本身就是数据
2. 区别数据概念：算法是两数据间的区别信息
3. 信息-算法等价：两者在所有层面完全等价
4. 统一表示：${\mathcal{N}}_{\infty }$与${\mathcal{A}}_{\infty }$的本质统一
5. 数学的信息化：所有数学概念的信息解释

这个理论为理解计算、数学和存在的本质提供了全新的统一视角：算法与数据的区别只是观察角度的不同，本质上都是信息在无限维空间中的不同表示。