M01.3 递归算子与量子力学结构的数学对应

定理M01.3.1 (递归算子的量子化涌现)

陈述：第4章递归算子$T^{(R)}$在观察者坐标系中表现出离散谱结构： $$\sigma (T_{obs}^{(R)})=\{{\lambda }_n^{(obs)}:n\in \mathbb{Z},|{\lambda }_n|\le {\Lambda }_{obs}\}$$

类似于量子力学的能级结构。

证明： 步骤1：递归算子的观察者投影 $$T_{obs}^{(R)}={\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}\circ T^{(R)}\circ ({\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}{)}^{†}$$

步骤2：投影算子的谱压缩效应 原始谱：$\sigma (T^{(R)})=\{{\eta }^{(R)}(k;0):k\in \mathbb{Z}\}$（可能连续或稠密） 投影谱：$\sigma (T_{obs}^{(R)})\subset \{{\eta }^{(R)}(k;0):k\in S_{obs}\}$（离散有限）

步骤3：谱间距的量子化 $$\Delta {\lambda }_n={\lambda }_{n+1}-{\lambda }_n={\eta }^{(R)}(k_{n+1};0)-{\eta }^{(R)}(k_n;0)$$

间距由递归希尔伯特结构的内在几何确定。

步骤4：量子化现象的数学起源 观察者投影的有限维性质导致连续谱的离散化，类似于量子力学的能量量子化。$\square$

定理M01.3.2 (不确定性关系的递归希尔伯特起源)

陈述：递归希尔伯特空间中的共轭算子对满足不确定性关系： $$\Delta A^{(R)}\cdot \Delta B^{(R)}\ge \frac{1}{2}|⟨[A^{(R)},B^{(R)}]⟩|$$

其中$[A^{(R)},B^{(R)}]=i{\hslash }^{(R)}{C}^{(R)}$。

证明： 步骤1：第4章递归算子的对易关系 设$A^{(R)},B^{(R)}$是观察者坐标系中的两个递归算子： $$A^{(R)}=\sum _{k\in S_{obs}}{a}_k|e_k^{(obs)}⟩⟨e_k^{(obs)}|$$ $$B^{(R)}=\sum _{k\in S_{obs}}{b}_k|e_k^{(obs)}⟩⟨e_k^{(obs)}|$$

步骤2：对易子的计算 $$[A^{(R)},B^{(R)}]=\sum _{j,k\in S_{obs}}(a_j{b}_k-b_j{a}_k)|e_j^{(obs)}⟩⟨e_k^{(obs)}|$$

步骤3：递归“普朗克常数“的定义 $${\hslash }^{(R)}=\text{最小非零对易子}=\underset{j\ne k}{\min }|a_j{b}_k-b_j{a}_k|$$

来源于递归希尔伯特空间的基本量子。

步骤4：Schwarz不等式的递归应用 $$\Delta A^{(R)}\cdot \Delta B^{(R)}=\sqrt{⟨A^2⟩-⟨A{⟩}^2}\sqrt{⟨B^2⟩-⟨B{⟩}^2}$$ $$\ge \frac{1}{2}|⟨[A^{(R)},B^{(R)}]⟩|$$

通过Cauchy-Schwarz不等式在递归希尔伯特内积下的应用。$\square$

定理M01.3.3 (波粒二象性的观察者投影机制)

陈述：母空间状态$|\psi ⟩\in {\mathcal{H}}^{(\infty )}$在不同观察者投影下表现出不同性质： $$\text{Particle-like}:{\mathcal{P}}_{position}^{(R)}|\psi ⟩,\text{Wave-like}:{\mathcal{P}}_{momentum}^{(R)}|\psi ⟩$$

证明： 步骤1：位置型观察者投影的构造 $${\mathcal{P}}_{position}^{(R)}=\sum _{x\in \text{space-grid}}|x⟩⟨x|$$

产生局域化的“粒子性“表现。

步骤2：动量型观察者投影的构造
$${\mathcal{P}}_{momentum}^{(R)}=\sum _{p\in \text{momentum-grid}}|p⟩⟨p|$$

基于第21章Fourier变换：$|p⟩={\mathcal{F}}^{(R)}[|x⟩]$

步骤3：互补性的数学起源 $${\mathcal{P}}_{position}^{(R)}\circ {\mathcal{P}}_{momentum}^{(R)}\ne {\mathcal{P}}_{momentum}^{(R)}\circ {\mathcal{P}}_{position}^{(R)}$$

不同投影不可交换，导致互补的观察效应。

步骤4：同一态的不同投影表现 原始态$|\psi ⟩$是统一的数学对象，但在不同观察者投影下表现为“波“或“粒子“的不同方面。$\square$

定理M01.3.4 (自旋的递归希尔伯特数学起源)

陈述：观察者坐标系的内在旋转对称性产生离散旋转量子数： $$J_z^{(R)}=\sum _{m\in \mathbb{Z}}m{\hslash }^{(R)}{\eta }^{(R)}(m;0)|j,m⟩⟨j,m|$$

证明： 步骤1：观察者坐标系的$SO(3)$旋转对称性 三维观察者空间${\mathcal{H}}_{obs}^{(3)}$具有旋转群$SO(3)$的自然作用。

步骤2：第11章群表示论在旋转群的应用 $SO(3)$表示在递归希尔伯特空间中分解为不可约表示： $${\mathcal{H}}_{obs}^{(3)}=\underset{j}{⨁}{\mathcal{H}}_j^{(spin)}$$

步骤3：角动量算子的递归构造 $$J_z^{(R)}=i{\hslash }^{(R)}\frac{\partial }{\partial \varphi }$$

在球坐标系中，$\varphi$是方位角。

步骤4：自旋量子数的离散化 $$J_z^{(R)}|j,m⟩=m{\hslash }^{(R)}{\eta }^{(R)}(m;0)|j,m⟩$$

其中$m\in \{-j,-j+1,\dots ,j-1,j\}$，$j=0,1/2,1,3/2,\dots$

离散性来源于观察者坐标系的有限维投影。$\square$