M01.4 遮蔽函数与测量现象的数学涌现

定理M01.4.1 (测量过程的遮蔽函数机制)

陈述：第1章遮蔽函数${\mathcal{S}}^{(R)}(k;obs)$在观察者坐标系中产生测量现象： $$\text{Measurement-Outcome}=\sum _{k\in S_{obs}}{\mathcal{S}}^{(R)}(k;obs)|⟨e_k^{(obs)},\psi ⟩{|}^2|k⟩$$

证明： 步骤1：母空间态的观察者分解 原始态：$|\psi ⟩={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}{a}_k|e_k⟩\in {\mathcal{H}}^{(\infty )}$

观察者投影：$|{\psi }_{obs}⟩={\sum }_{k\in S_{obs}}{a}_k|e_k^{(obs)}⟩$

步骤2：遮蔽函数的测量权重调制 每个分量的“测量概率“由遮蔽函数调制： $$P_{obs}(k)=|a_k{|}^2{\mathcal{S}}^{(R)}(k;obs)$$

步骤3：归一化和概率解释 归一化：${\sum }_{k\in S_{obs}}{P}_{obs}(k)=1$

每次测量得到结果$k$的概率为$P_{obs}(k)$。

步骤4：测量后态的递归坍缩 测量后：$|\psi ⟩\to |e_k^{(obs)}⟩$（测量结果对应的本征态）

这是观察者投影的数学必然结果。$\square$

定理M01.4.2 (量子叠加的数学起源)

陈述：量子叠加态来源于母空间态在观察者坐标系的不完全投影： $$|{\psi }_{superposition}⟩={\mathcal{P}}_{obs}^{(R)}|{\psi }_{mother}⟩=\sum _{k\in S_{obs}}{a}_k|k{⟩}_{obs}$$

证明： 步骤1：母空间态的丰富结构 母空间态：$|{\psi }_{mother}⟩={\sum }_{k\in \mathbb{Z}}{a}_k|e_k⟩$

包含观察者无法直接访问的无限维信息。

步骤2：投影的信息压缩 观察者只能看到有限维投影： $$|{\psi }_{superposition}⟩=\sum _{k\in S_{obs}}{a}_k|e_k^{(obs)}⟩$$

步骤3：叠加系数的递归起源 系数$a_k$来源于母空间的递归结构，不是人为假设的叠加。

步骤4：叠加态的数学必然性 只要母空间态涉及多个观察者可达层，就必然在观察者坐标系中表现为叠加态。$\square$

定理M01.4.3 (量子纠缠的观察者分离机制)

陈述：量子纠缠来源于多体母空间态的观察者投影分离： $$|{\psi }_{entangled}⟩={\mathcal{P}}_A^{(R)}\otimes {\mathcal{P}}_B^{(R)}|{\psi }_{mother}{⟩}_{AB}$$

其中$|{\psi }_{mother}{⟩}_{AB}\in {\mathcal{H}}^{(\infty )}\otimes {\mathcal{H}}^{(\infty )}$。

证明： 步骤1：多体母空间态的统一性 原始态：$|{\psi }_{mother}{⟩}_{AB}={\sum }_{j,k\in \mathbb{Z}}{c}_{jk}|e_j{⟩}_A\otimes |e_k{⟩}_B$

在母空间中是统一的数学对象。

步骤2：观察者的独立投影 观察者A：${\mathcal{P}}_A^{(R)}$投影到${\mathcal{H}}_{A,obs}$ 观察者B：${\mathcal{P}}_B^{(R)}$投影到${\mathcal{H}}_{B,obs}$

步骤3：投影后的非可分性 $$|{\psi }_{entangled}⟩=\sum _{j\in S_A,k\in S_B}{c}_{jk}|j{⟩}_A\otimes |k{⟩}_B$$

当$c_{jk}\ne c_j^{(A)}{c}_k^{(B)}$时，态不可分离。

步骤4：纠缠的数学必然性 母空间的统一性与观察者投影的分离性必然产生纠缠效应。$\square$

定理M01.4.4 (测量问题的遮蔽函数解决)

陈述：量子测量问题通过第1章遮蔽函数的选择性遮蔽解决： $$\underset{t\to \infty }{\lim }{\mathcal{S}}^{(R)}(k;obs,t)=\{\begin{array}{ll}1& k=k_{measured}\\ 0& k\ne k_{measured}\end{array}$$

证明： 步骤1：时间演化下的遮蔽动态 测量过程中，遮蔽函数随时间演化： $$\frac{d}{dt}{\mathcal{S}}^{(R)}(k;obs,t)=-{\gamma }_k^{(R)}{\mathcal{S}}^{(R)}(k;obs,t)$$

其中${\gamma }_k^{(R)}={\varphi }^{-k}{\gamma }_0$。

步骤2：选择性衰减的数学机制 不同$k$值的衰减率不同：

• 测量对应的$k_{measured}$：${\gamma }_{k_{measured}}=0$（不衰减）
• 其他$k$值：${\gamma }_k>0$（指数衰减）

步骤3：测量选择的递归机制 测量装置的设计决定哪个$k$值不被遮蔽： $$k_{measured}=\arg \underset{k}{\min }{\gamma }_k^{(R)}(measurement-setup)$$

步骤4：“坍缩“的数学解释 不是真正的物理坍缩，而是其他分量被遮蔽函数选择性抑制， 只有$k_{measured}$分量保持可观测。$\square$